5.4 数列的应用 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版2019 高中数学选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 5.4 数列的应用 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版2019 高中数学选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 461.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 15:56:24 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
第五章 数列
5.4 数列的应用
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系.
2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题.
问题1:在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？
“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似.
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息= 本金×利率×存期.
（1）单利计算公式：
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有 .
S=P(1+nr)
复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 .
S=P(1+r)n
（2）复利计算公式：
注意：复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列.
例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
解：设每年还款x元，需10年还清，则每年还款及利息情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清；
第9年还款x元过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；
第8年还款x元过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；
……
第1年还款x元过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元.
依题意有：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20 000(1＋10%)10，
∴x＝≈3 255.
∴每年应还款3 255元.
例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
分期付款的相关规定：
(1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同；
(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)；
(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和．
归纳总结
例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱
解:∵购买设备时已付150万元，∴欠款为1 000万元，
依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}，
且a1=50+1 000×1%=60，a2=50+(1 000-50)×1%=59.5，
a3=50+(1 000-50×2)×1%=59，…，
an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20，n∈N+)，
∴数列{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，
∴a10=60-9×0.5=55.5，S20==1 105.
∴全部按期付清后买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.
例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱
政府支出的乘数效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时支出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数” 效应.
例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使份部分居民收入增加.收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费)，也就是说有了“乘数” 效应.
问题2：为落实惠民政策，假设政府增加某项支出a亿元，每个受惠的居民会将此部分额外收入以r(r>0)的比率用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).
(1)如果设第n轮消费的金额为an亿元，那么an与a和r具有什么关系呢
(2)那么经过n轮影响之后，最后的国内消费总额是多少亿元呢
(1)an=arn.
例3 假设某地政府单位增加某项优惠政策支出200亿元，每个受惠的居民会将65%的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).求经过10轮影响之后，最后的国内消费总额是多少亿元 (结果精确到1亿元)
例4 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
解：设经过n年后，该项目的资金为an万元.
由题意得，an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，
整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一个等比数列，a1=1 000(1+25%)-200=1 050，a1-800=250，
∴an-800=250，an=250+800，
令an≥4 000，得≥16，解得n≥13，
即至少经过13年，该项目的资金可以能达到或超过翻两番的目标.
例4 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
1.某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4
C.4a D.a(1+25%)6
A
2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足( )
A.b＝ B.b＝
C.b＝ D.D
3.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元，约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，付款的总和为( )
A.1 205万元 B.1 255万元
C.1 305万元 D.1 360万元
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.单利计算公式和复利计算公式？
2.如何解决“分期付款”问题？
3.什么是乘数效应？
第五章 数列
5.4 数列的应用
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系.
2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题.
问题1:在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？
“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似.
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息= 本金×利率×存期.
（1）单利计算公式：
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有 .
S=P(1+nr)
复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 .
S=P(1+r)n
（2）复利计算公式：
注意：复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列.
例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
解：设每年还款x元，需10年还清，则每年还款及利息情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清；
第9年还款x元过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；
第8年还款x元过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；
……
第1年还款x元过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元.
依题意有：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20 000(1＋10%)10，
∴x＝≈3 255.
∴每年应还款3 255元.
例1 小张老师年初向银行贷款2万元用于买车，银行贷款的年利率为10%，按复利计算．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
分期付款的相关规定：
(1)分期付款中，每期的利息均按复利计算，分期付款中规定每期所付款额相同；
(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为列方程的依据)；
(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S＝P(1＋r)n来计算，其中P代表本金(可以是每期付款额x，也可以是商品售价)，n代表存期(月数或年数)，r代表利率，S代表本利和．
归纳总结
例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱
解:∵购买设备时已付150万元，∴欠款为1 000万元，
依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}，
且a1=50+1 000×1%=60，a2=50+(1 000-50)×1%=59.5，
a3=50+(1 000-50×2)×1%=59，…，
an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20，n∈N+)，
∴数列{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，
∴a10=60-9×0.5=55.5，S20==1 105.
∴全部按期付清后买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元).
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.
例2 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱 全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱
政府支出的乘数效应与数列
经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时支出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数” 效应.
例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使份部分居民收入增加.收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费)，也就是说有了“乘数” 效应.
问题2：为落实惠民政策，假设政府增加某项支出a亿元，每个受惠的居民会将此部分额外收入以r(r>0)的比率用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).
(1)如果设第n轮消费的金额为an亿元，那么an与a和r具有什么关系呢
(2)那么经过n轮影响之后，最后的国内消费总额是多少亿元呢
(1)an=arn.
例3 假设某地政府单位增加某项优惠政策支出200亿元，每个受惠的居民会将65%的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).求经过10轮影响之后，最后的国内消费总额是多少亿元 (结果精确到1亿元)
例4 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
解：设经过n年后，该项目的资金为an万元.
由题意得，an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，
整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一个等比数列，a1=1 000(1+25%)-200=1 050，a1-800=250，
∴an-800=250，an=250+800，
令an≥4 000，得≥16，解得n≥13，
即至少经过13年，该项目的资金可以能达到或超过翻两番的目标.
例4 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问至少经过多少年，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(lg 2≈0.3)
1.某森林原有木材量为a m3，每年以25%的速度增长，5年后，这片森林共有木材量( )
A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4
C.4a D.a(1+25%)6
A
2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足( )
A.b＝ B.b＝
C.b＝ D.
3.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1 150万元，约定：2024年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，付款的总和为( )
A.1 205万元 B.1 255万元
C.1 305万元 D.1 360万元
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.单利计算公式和复利计算公式？
2.如何解决“分期付款”问题？
3.什么是乘数效应？