第16章 二次根式 培优测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 第16章 二次根式 培优测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-08 16:16:15 | ||
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文档简介
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第16章 二次根式 培优测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．无法确定
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等
D．若a+b＜0，则
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．3
6．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8．如图所示，从一个大正方形中截去面积分别为5和20的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．11 B．20 C．24 D．25
9．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．当x＝1时，二次根式的值为 ．
12．如果无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
13．若5，12，m为三角形的三边长，则化简m的结果为 ．
14．已知a，b为实数，且，则（a+b）2025的值是 ．
15．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）； （2）．
17．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为，宽AB为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
（1）背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元/m2，大理石造价为200元/m2，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
18．（9分）定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且 a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
19．（9分）已知x，y，求：
（1）的值；
（2）2x2+6xy+2y2的值．
20．（9分）先化简，再求值：，其中x．
21．（9分）解决如下问题：
（1）分母有理化：．
（2）计算：．
（3）若a，求2a2﹣8a+1的值．
22．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
23．（11分）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是最简二次根式，C符合题意；
D、，D不符合题意；
选：C．
2．解：有题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
选：B．
3．解：A.，不是互为倒数，选项错误；
B．若，由于，则，选项错误；
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等，选项正确；
D．由可得，结合a+b＜0可得a≤0，b＜0，则，选项错误．
选：C．
4．解：A、原式＝2，
∴A错；
B、原式没有意义，
∴B错；
C、原式1，
∴C正确；
D、原式，
∴D错；
选：C．
5．解：原式
．
选：A．
6．解：，
选：A．
7．解：原式＝211，
∵45，
∴51＜6，
即原式的值在5和6之间，
选：C．
8．解：由图可得，
大正方形的边长为23，
∴图中阴影部分面积为335﹣20
＝45﹣5﹣20
＝20，
选：B．
9．解：的解为x，
选：C．
10．解：根据各式，，，……，变化规律可知，
第n个式子为（n+1），
当（a、b为正整数）时，
a+1＝8，b＝a+2，
a＝7，b＝9，
∴4，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：当x＝1时，原式，
答案为：．
12．解： 3a，
∵其乘积是一个有理数，
∴a＝5，
答案为：5（答案不唯一）．
13．解：∵5，12，m为三角形的三边长，
∴12﹣5＜m＜12+5，
即7＜m＜17，
∴5﹣m＜0，
∴m
＝m﹣5+m
＝2m﹣5．
答案为：2m﹣5．
14．解：由题意可得：a﹣1≥0且1﹣a≥0，
解得：a＝1，
∴b＝﹣2，
∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1，
答案为：﹣1．
15．解：由数轴可知，0＜a＜1，
∴1﹣a＞0，
∴原式＝1﹣a﹣a＝1﹣2a，
答案为：1﹣2a，
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）
＝22+9
9；
（2）
2+23
2+23
＝4﹣22+23
＝9．
17．解：（1）背景墙长方形ABCD的周长．
答：背景墙的周长为．
（2）长方形ABCD的面积：．
大理石的面积：．
壁纸的面积：．
整个电视墙的总费用：（元）．
答：整个电视背景墙需要花费元．
18．解：（1）原式＝（1）（）
＝5﹣1
＝4；
（2）原式＝（n）（n）
＝2﹣n2．
19．解：（1）∵x，y，
∴x+y＝2，
xy＝1，
∴
＝10；
（2）∵x，y，
∴2x2+6xy+2y2
＝2x2+4xy+2y2+2xy
＝2（x+y）2+2xy
＝2（）2+2×（）×（）
＝24+2
＝26．
20．解：原式
，
当x时，原式．
21．解：（1）1；
（2）原式1
1
＝45﹣1
＝44；
（3）a2，
则2a2﹣8a+1
＝2（a2﹣4a+4）﹣7
＝2（a﹣2）2﹣7
＝2（2﹣2）2﹣7
＝10﹣7
＝3．
22．解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
∴小正方形的边长为2cm．
答案为：2；
（2）由题意a＝2，b＝22，
∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42；
（3）不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x x＝12，
∴x2＝6，
∵x＞0，
∴x，
∴2x＝2，
∵23，
∴24．
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
23．解：（1）；
（2）2；
（3）∵a+6m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
又∵a、m、n为正整数，
∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，
∴当m＝1，n＝3时，a＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝14，
即a的值为46或14．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第16章 二次根式 培优测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．无法确定
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等
D．若a+b＜0，则
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．3
6．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8．如图所示，从一个大正方形中截去面积分别为5和20的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．11 B．20 C．24 D．25
9．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．当x＝1时，二次根式的值为 ．
12．如果无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
13．若5，12，m为三角形的三边长，则化简m的结果为 ．
14．已知a，b为实数，且，则（a+b）2025的值是 ．
15．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）； （2）．
17．（8分）李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为，宽AB为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
（1）背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元/m2，大理石造价为200元/m2，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
18．（9分）定义两种新运算，规定：a★bb，a☆bb，其中a，b为实数且 a≥0．
（1）求（5★1）（5☆1）的值；
（2）化简（2★n）（2☆n）．
19．（9分）已知x，y，求：
（1）的值；
（2）2x2+6xy+2y2的值．
20．（9分）先化简，再求值：，其中x．
21．（9分）解决如下问题：
（1）分母有理化：．
（2）计算：．
（3）若a，求2a2﹣8a+1的值．
22．（10分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
23．（11分）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、是最简二次根式，C符合题意；
D、，D不符合题意；
选：C．
2．解：有题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
选：B．
3．解：A.，不是互为倒数，选项错误；
B．若，由于，则，选项错误；
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等，选项正确；
D．由可得，结合a+b＜0可得a≤0，b＜0，则，选项错误．
选：C．
4．解：A、原式＝2，
∴A错；
B、原式没有意义，
∴B错；
C、原式1，
∴C正确；
D、原式，
∴D错；
选：C．
5．解：原式
．
选：A．
6．解：，
选：A．
7．解：原式＝211，
∵45，
∴51＜6，
即原式的值在5和6之间，
选：C．
8．解：由图可得，
大正方形的边长为23，
∴图中阴影部分面积为335﹣20
＝45﹣5﹣20
＝20，
选：B．
9．解：的解为x，
选：C．
10．解：根据各式，，，……，变化规律可知，
第n个式子为（n+1），
当（a、b为正整数）时，
a+1＝8，b＝a+2，
a＝7，b＝9，
∴4，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：当x＝1时，原式，
答案为：．
12．解： 3a，
∵其乘积是一个有理数，
∴a＝5，
答案为：5（答案不唯一）．
13．解：∵5，12，m为三角形的三边长，
∴12﹣5＜m＜12+5，
即7＜m＜17，
∴5﹣m＜0，
∴m
＝m﹣5+m
＝2m﹣5．
答案为：2m﹣5．
14．解：由题意可得：a﹣1≥0且1﹣a≥0，
解得：a＝1，
∴b＝﹣2，
∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1，
答案为：﹣1．
15．解：由数轴可知，0＜a＜1，
∴1﹣a＞0，
∴原式＝1﹣a﹣a＝1﹣2a，
答案为：1﹣2a，
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）
＝22+9
9；
（2）
2+23
2+23
＝4﹣22+23
＝9．
17．解：（1）背景墙长方形ABCD的周长．
答：背景墙的周长为．
（2）长方形ABCD的面积：．
大理石的面积：．
壁纸的面积：．
整个电视墙的总费用：（元）．
答：整个电视背景墙需要花费元．
18．解：（1）原式＝（1）（）
＝5﹣1
＝4；
（2）原式＝（n）（n）
＝2﹣n2．
19．解：（1）∵x，y，
∴x+y＝2，
xy＝1，
∴
＝10；
（2）∵x，y，
∴2x2+6xy+2y2
＝2x2+4xy+2y2+2xy
＝2（x+y）2+2xy
＝2（）2+2×（）×（）
＝24+2
＝26．
20．解：原式
，
当x时，原式．
21．解：（1）1；
（2）原式1
1
＝45﹣1
＝44；
（3）a2，
则2a2﹣8a+1
＝2（a2﹣4a+4）﹣7
＝2（a﹣2）2﹣7
＝2（2﹣2）2﹣7
＝10﹣7
＝3．
22．解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
∴小正方形的边长为2cm．
答案为：2；
（2）由题意a＝2，b＝22，
∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42；
（3）不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x x＝12，
∴x2＝6，
∵x＞0，
∴x，
∴2x＝2，
∵23，
∴24．
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
23．解：（1）；
（2）2；
（3）∵a+6m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
又∵a、m、n为正整数，
∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，
∴当m＝1，n＝3时，a＝46；
当m＝3，n＝1时，a＝14，
即a的值为46或14．
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