“一元一次不等式与一次函数点的坐标问题”的提升练习
一、基础不等式与函数关系
已知函数 ，求当 时， 的取值范围。
若一次函数 满足 ，求对应的 的解集。
当 取何值时，函数 的函数值大于 ？
函数 与 交点的横坐标是多少？当 时， 的范围是什么？
若点 在函数 的图像上，求 的值，并判断此时 的解集。
二、不等式解集
函数 的图像与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求不等式 的解集。
直线 和 交于点 ，求点 的坐标，并写出 的解集。
观察函数 和 的图像，求当 时， 的取值范围。
直线 经过点 和 ，求此函数解析式，并解不等式 。
若函数 与 的交点横坐标为 ，求 的值及 的解集。
三、综合交点与不等式
已知函数 和 ，求两直线交点坐标，并写出 的解集。
直线 与 交于点 ，求 和 ，并解不等式 。
函数 与 交于 ，求 的值及 的解集。
若函数 的图像经过点 ，求 ，并解不等式 。
直线 与 的交点纵坐标为 3，求 的值及 的解集。
四、实际应用题
甲、乙两家快递公司收费如下：甲首重 10 元，每千克加 3 元；乙首重 8 元，每千克加 4 元。问物品重量超过多少千克时，甲更便宜？
某停车场收费规则：前 2 小时 10 元，之后每小时 5 元。设停车时间为 小时，费用为 元。写出 关于 的函数式，并求停车费用超过 25 元的时间范围。
手机套餐 A 月租 50 元，通话每分钟 0.2 元；套餐 B 无月租，通话每分钟 0.5 元。每月通话多少分钟时，套餐 A 更划算？
水箱容量 200 升，进水速度 5 升/分钟，同时以 3 升/分钟的速度漏水。写出水量 （升）与时间 （分钟）的关系式，并求水量不低于 100 升的时间范围。
两书店促销：A 店满 50 减 10，B 店全场 8 折。若购买原价 元的书，当 满足什么条件时，选 A 店更优惠？
五、进阶综合题
已知函数 与 ，求两直线及 轴围成的三角形的面积。
若点 和 在函数 上，比较 和 的大小，并解 。
函数 与 的交点在第四象限，求 的取值范围。
已知 与 交于点 ，求 ，并解 。
直线 与 平行，且 经过点 ，求 和 ，并解不等式 。
六、挑战题
函数 与 交于 A、B 两点，求线段 AB 的长度，并解 。
已知 和 ，求两直线交点，并解关于 的不等式 。
函数 与 交于点 ，且 与 轴交于正半轴，求 、 的取值范围。
直线 向上平移 个单位后，与 的交点横坐标为 1，求 ，并解平移后的函数值大于原函数的 范围。
某商品进价 80 元，售价 120 元时每天售出 20 件。若每降价 1 元可多卖 2 件，设降价 元，利润 元。写出 与 的关系式，并求利润不低于 1000 元的降价范围。
答案与解析
一、基础不等式与函数关系
答案：
解析：由 ，解得 ，即 。
答案：
解析：由 ，解得 ，即 。
答案：
解析：由 ，解得 ，即 。
答案：交点横坐标 ，解集
解析：由 ，解得 ；当 时，，即 。
答案：，解集
解析：将 代入 ，得 ，解得 ；由 ，解得 。
二、图像与不等式解集
答案：解集
**解析**：由 ，解得 。
答案：交点 ，解集
解析：解方程组 和 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：解集
解析：由 ，解得 ，即 。
答案：函数解析式 ，解集
解析：由两点 和 ，得斜率 ，截距 ；由 ，解得 。
答案：，解集
解析：由交点横坐标 ，代入 ，得 ；将 代入 ，得 ；由 ，解得 。
三、综合交点与不等式
答案：交点 ，解集
解析：解方程组 和 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：，，解集
解析：将 代入 和 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：，解集
解析：将 代入 ，得 ；由 ，解得 。
答案：，解集
解析：将 代入 ，得 ；由 ，解得 。
答案：，解集
解析：将 代入 ，得 ；将 代入 ，得 ；由 ，解得 。
四、实际应用题
答案：超过 2 千克时，甲更便宜。
解析：设重量为 千克，甲费用 ，乙费用 ；由 ，解得 。
答案：，时间 小时。
解析：由 ，解得 。
答案：通话超过 100 分钟时，套餐 A 更划算。
解析：设通话 分钟，A 费用 ，B 费用 ；由 ，解得 。
答案：，时间 分钟。
解析：由 ，解得 。
答案： 元时，A 店更优惠。
解析：A 店费用 ，B 店费用 ；由 ，解得 。
五、进阶综合题
答案：面积为 12.5
解析：交点 ，与 轴交点 和 ，面积 。
答案：，，解集
解析：将 和 代入 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：
**解析**：交点 ，，由第四象限条件 ，，得 。
答案：，解集
解析：将 代入 和 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：，，解集
解析：由平行条件 ，得 ；将 代入 ，得 ；由 ，解得 。
六、挑战题
答案：AB 长度为 10，解集
解析：由 ，得 或 ；由 ，解得 。
答案：交点 ，解集
解析：解方程组 和 ，得 ，；由 ，解得 。
答案：，
解析：将 代入 和 ，得 ，；由 与 轴交于正半轴，得 。
答案：，解集
解析：平移后函数 ，与 交于 ，得 ；由 ，解得 。
答案：，降价范围
解析：利润 ，由 ，解得 。北师大版初二“一元一次不等式与一次函数点的坐标问题”专题讲义
一、知识梳理
1. 一次函数与不等式的关系
函数图像解不等式：
对于一次函数 ，不等式 的解集是函数图像在 x轴上方 的点的横坐标范围；
不等式 的解集是函数图像在 x轴下方 的点的横坐标范围。
点的坐标与不等式的关系：
若点 满足 ，则该点在直线 的 上方；
若点 满足 ，则该点在直线 的 下方。
2. 不等式组的解集与函数图像的交点
不等式组 的解集是两条直线交点的公共区域。
二、典型例题解析
例题1：函数图像解不等式
题目：已知一次函数 ，求不等式 的解集，并在坐标系中表示。
解析步骤：
解不等式：
图像分析：
直线 与x轴交点为 。
当 时，函数值 ，即图像在x轴上方或恰在x轴上。
解集表示：
在数轴上以实心点标出 ，向右延伸箭头。
在坐标系中，直线右侧（含交点）的区域为解集。
例题2：点的位置与不等式判断
题目：判断点 是否在直线 的上方，并验证是否满足不等式 。
解析步骤：
计算直线在 处的值：
比较点的纵坐标：
点 的纵坐标为5，直线在该点的函数值为4。
因为 ，所以点 在直线上方，满足不等式 。
关键点：代入点的横坐标到直线方程中，比较纵坐标大小。
例题3：不等式组的图像解法
题目：解不等式组：
并在坐标系中标记解集区域。
解析步骤：
画直线 ：
截距：x轴交点 ，y轴交点 。
因不等式为“<”，用虚线表示直线。
画直线 ：
截距：x轴交点 ，y轴交点 。
因不等式为“≥”，用实线表示直线。
确定解集区域：
的解集在虚线下方。
的解集在实线上方（含直线）。
公共区域为两直线交点右侧的三角区域。
求交点坐标：
交点 是解集的边界点。
三、分层训练
基础训练
填空题
直线 与x轴的交点坐标为 ______，不等式 的解集为 ______。
若点 满足不等式 ，则填“是”或“否”：______。
解不等式并用图像表示
解不等式 ，并画出直线 的解集区域。
提升训练
3. 点的位置判断
已知点 、，判断它们是否在直线 的同一侧。
不等式组与实际问题
某商店销售商品，利润 （元）与销量 （件）的关系为 。若要求利润不低于300元，求销量的最小值。
综合应用
5. 动态交点问题
直线 与 的交点为 。
（1）求 和 的值；
（2）若交点满足 ，求 的取值范围。
几何与不等式的结合
已知矩形顶点 、、、，直线 将矩形分成两部分，求直线右侧区域的面积。
四、答案与解析
基础训练
答案
交点坐标：，解集：；
是（，等号成立）。
解析
解不等式：；
图像为直线 在 的区域（包括交点 ）。
提升训练
3. 解析
计算点 和 代入直线方程的结果：
，，故点 在直线上；
，，点 在直线下方。
结论：两点不在同一侧。
解析
利润不等式：。
综合应用
5. 解析
（1）代入交点 ：
（2）交点 需满足 ，恒成立，故 为任意实数。
解析
矩形边长为3（横向）和3（纵向），面积9；
直线 穿过矩形左侧边 时 ，右侧边 时 ，分割右侧为梯形，面积计算：
