(共16张PPT)
第4章 因式分解
1 因式分解
导入新课
长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块如图所示，你能用不同的方法求出花坛的面积吗？
花坛的面积S＝a(m＋n)或S＝am＋an.
由此可知：①a(m＋n)＝am＋an；
②am＋an＝a(m＋n).
探究新知
探究
993－99能被100整除吗？你是怎么想的？
小明同学是这样做的：
993－99＝99×992－99×1
＝99×(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－99能被100整除．
(1)在判断993－99能否被100整除时，你和小明都是怎样做的？
(2)993－99还能被哪些正整数整除？
解：(1)小明通过分解因数的方法，说明993－99这个算式是100的倍数，所以993－99能被100整除；
(2)993－99还能被98，49，2，11，9，99等正整数整除．
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
解：a3－a
＝a×a2－a×1
＝a(a2－1)
＝a(a＋1)(a－1).
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
_____________________________
_____________________________
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
x2＋x＋x＋1＝(x＋1)(x＋1)
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式．
归纳总结
探究新知
探究
1．计算下列各式：
(1)3x(x－1)＝______________；
(2)m(a＋b－1)＝______________；
(3)(m＋4)(m－4)＝______________；
(4)(y－3)2＝__________________．
3x2－3x
ma＋mb－m
m2－16
y2－6y＋9
你有什么发现？
把几个整式的积展开整理之后的结果
归纳
2．根据上面的算式进行因式分解：
(1)3x2－3x＝( )( )；
(2)ma＋mb－m＝( )( )；
(3)m2－16＝( )( )；
(4)y2－6y＋9＝( )( ).
3x
x－1
m
a＋b－1
m＋4
m－4
y－3
y－3
你有什么发现？
是把多项式写成了几个整式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．
归纳
因式分解 整式变形
区别
联系
把一个多项式转化为几个整式的积的形式
把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式
m(a+b+c)
ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a±b)2
a2±2ab+b2
整式乘法
因式分解
应用举例
【例1】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；
(2)m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
(4)2mR＋2mr＝2m(R＋r).
【分析】判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变形是不是把一个多项式改写成几个整式的积的形式．
解：(2)(4)是因式分解，因为符合因式分解的定义．
【例2】因式分解6x2＋ax＋10＝(3x＋2)(2x＋5)，则a＝________．
【分析】因式分解与整式乘法互逆，计算(3x＋2)(2x＋5)＝6x2＋19x＋10，所以a＝19.
19
【例3】将如图所示四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解．
【分析】由题意可知，拼成的大长方形的长是(x＋2)，宽是(x＋1)，面积是(x＋2)(x＋1)，同时这四个图形的面积和这个大长方形面积相等．
解：x2＋x＋2x＋2＝(x＋2)(x＋1).
随堂练习
1．下列变形属于正确的因式分解的是( )
A．x2－7x＋12＝x(x－7)＋12
B．x2－7x＋12＝(x－3)(x＋4)
C．(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12
D．x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)
D
2．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算
D．①是整式乘法运算，②是因式分解
3．3x(2x－y2)＝6x2－3xy2是__________运算；6x2－3xy2＝3x(2x－y2)是__________运算．
C
整式乘法
因式分解
课堂小结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式叫做这个多项式的因式.
与多项式乘法运算的关系
相反的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的乘积，后者是把几个整式的乘积化为一个多项式.(共10张PPT)
第四章 因式分解
1 因式分解
因式分解的概念
1．（教材P93随堂练习T2变式）（2024·六盘水期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
B．m2＋2m＋1＝(m＋1)2
C．m2＋2m－1＝m(m＋2)－1
D．m(m－2)＝m2－2m
B
2．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3从左到右的变形，下列表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
C
3．如果多项式x2－mx－35分解因式为(x－5)(x＋7)，那么m的值为( )
A．－2 B．2 C．12 D．－12
A
4．小明在解答“因式分解：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)；
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3).
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断他分解的对不对．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，∴分解不正确；
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝(2x)2－9＝4x2－9，∴分解正确．
因式分解的简单应用
5．利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99，正确的是( )
A．99×(57＋44)＝99×101＝9999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
B
6．若x2－bx－10＝(x＋5)(x－a)，则ab的值是( )
A．－8 B．8
D
7． 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：
．
x2＋2x＋4x＋8＝(x＋4)(x＋2)
8． 仔细阅读下面例题，解答问题．
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x＋n).
∴x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
∴x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是(2x－5)，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为(x＋a).
∴2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，
∴2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，
∴另一个因式为(x＋4)，k的值为20.
