(共14张PPT)
第4章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
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1．我们把多项式各项都含有的___________，叫做这个多项式各项的公因式．
2．确定公因式的方法：
(1)取各项系数(包括常数项)的_____________作为公因式的系数；
(2)取各项中都含有的相同字母(或相同因式)的_____________作为公因式的因式．
相同因式
最大公约数
最低次幂的积
3．把下列各式因式分解：
(1)am＋an＝_____________；
(2)a2b－5ab＝___________；
(3)m2n＋mn2－mn＝___________________；
(4)－2x2y＋4xy2－2xy＝_____________________．
a(m＋n)
ab(a－5)
mn(m＋n－1)
－2xy(x－2y＋1)
探究新知
探究
把下列各式因式分解：
(1)a(x－3)＋2b(x－3)； (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
解：(1)原式＝(x－3)(a＋2b)；
注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出；写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面；提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项．
(2)原式＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：
(1)2－a＝______(a－2)；
(2)y－x＝______(x－y)；
(3)b＋a＝______(a＋b)；
(4)(b－a)2＝______(a－b)2；
(5)－m－n＝______(m＋n)；
(6)－s2＋t2＝______(s2－t2).
探究新知
探究
－
－
＋
＋
－
－
(1)当n为整数时，(y＋x)n＝(x＋y)n；
归纳总结
(2)当n为偶数时，(y－x)n＝(x－y)n；
(3)当n为偶数时，(－y－x)n＝(x＋y)n；
当n为奇数时，(y－x)n＝－(x－y)n；
当n为奇数时，(－y－x)n＝－(x＋y)n.
把下列各式因式分解：
(1)a(x－y)＋b(y－x)；
(2)6(m－n)3－12(n－m)2.
探究新知
探究
解：(1)原式＝(x－y)(a－b)；
(2)原式＝6(m－n)2(m－n－2).
找准公因式，一次要提净；
全家都搬走，留1把家守；
提负要变号，变形看奇偶．
应用举例
【例1】指出下列各多项式中的公因式：
(1)15a(x－y)3＋10(x－y)4；
(2)21a2b(2x－3y)2－14a(3y－2x)2.
【分析】先确定各项系数的最大公约数，再考虑各项中相同字母(相同因式)的最低次幂．
解：(1)5(x－y)3；
(2)7a(2x－3y)2.
【例2】把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)； (2)a(m－2)＋b(2－m)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)； (4)2(y－x)2＋3(x－y).
【分析】先找出公因式，再用各项式的每一项去除以这个公因式．
解：(1)原式＝(a＋b)(x＋y)；
(2)原式＝(m－2)(a－b)；
(3)原式＝6(p＋q)(p＋q－2)；
(4)原式＝(x－y)(2x－2y＋3).
归纳总结
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式 ；
第三步： 将多项式化成两个因式乘积的形式.
【例3】先化简，再求值：a(8－a)＋b(a－8)－c(8－a)，其中
【分析】数值直接代入麻烦，可以观察代数式，先用提公因式法化简，再代入数值求解．
解：原式＝(8－a)(a－b－c)，
随堂练习
1．把4(a－2)＋a(2－a)提取公因式(a－2)后，另一个因式是( )
A．a－4 B．a＋4
C．4－a D．4＋a
C
2．下列各式正确的是( )
A．－x＋y＝－(y－x)
B．x－y＝－(x＋y)
C．10－m＝5(2－m)
D．5－7a＝－(7a－5)
D
3．把－8(x－y)2－4y(y－x)2分解因式，结果是( )
A．－4(x－y)2(2＋y)
B．－(x－y)2(8－4y)
C．4(x－y)2(y＋2)
D．4(x－y)2(y－2)
4．若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－15，则ab的值是______．
A
－3(共20张PPT)
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为 ．在提出“－”号时，多项式的各项都要 ．
当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n.
正数
变号
【例1】把下列各式因式分解：
(1)6x(x＋y)－4y(x＋y)；
(2)10a(x－y)2－5b(y－x).
【名师点拨】解答此题要准确地找出公因式，有的需要变号后才能找出公因式．
【学生解答】
解：(1)原式＝(x＋y)(6x－4y)＝2(x＋y)(3x－2y)；
(2)原式＝10a(x－y)2＋5b(x－y)＝5(x－y)[2a(x－y)＋b]＝5(x－y)(2ax－2ay＋b).
【例2】已知x，y满足方程组 求代数式7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
【名师点拨】先利用因式分解化简代数式，根据化简的结果进行观察，再看是否需要解方程组求出x，y的值．
【学生解答】
解：原式＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(2x＋y).
又∵x－3y＝2，2x＋y＝6，
∴原式＝22×6＝24.
提多项式因式分解
1．多项式(a－b)＋c(a－b)因式分解的结果是( )
A．(a－b)(c＋1) B．(a－b)(1－c)
C．(a－b)(c－1) D．c(a－b)
A
2．把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )
A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2
【变式】把5(a－b)＋m(b－a)提公因式后，一个因式是(a－b)，则另一个因式是( )
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
D
A
3．多项式m2－4与(m－2)(m＋3)的公因式是 ．
4．因式分解：
(1)x(x－3)－(x－3)＝ ；
(2)x(x－y)＋y(y－x)＝ ．
m－2
(x－1)(x－3)
(x－y)2
5．将下列各式因式分解：
(1)(x＋2)x－3(x＋2); (2)6(x－3)＋(3－x)x.
利用因式分解求值
6．（教材P98习题T2变式）先因式分解，再计算求值：
(1)4a(b＋7)－3(b＋7)，其中a＝－5，b＝3；
解：原式＝(b＋7)(4a－3).
当a＝－5，b＝3时，
原式＝(3＋7)×(－20－3)＝10×(－23)＝－230；
(2)3(a－2)2＋6(a－2)，其中a＝－2.
解：原式＝3(a－2)(a－2＋2)
＝3a(a－2).
当a＝－2时，原式＝3×(－2)×(－2－2)＝24.
7.不解方程组 求(2x＋y)(2x－3y)＋3x(2x＋y)的值．
解：原式＝(2x＋y)(2x－3y＋3x)
＝(2x＋y)(5x－3y).
当2x＋y＝3，5x－3y＝－2时，
原式＝3×(－2)＝－6.
8．下列各组多项式中，公因式是(x－2)的是( )
A．x2－2x与4x－6 B．2x－4与x2－4x
C．(x＋2)2与(x－2)2 D．x－2与6x－12
9．（毕节期中）把多项式m(n－2)－m2(2－n)因式分解得( )
A．(n－2)(m2＋m) B．(n－2)(n－m)2
C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(1－m)
D
C
10．若m，n互为相反数，则m(a－3b)－n(3b－a)的值为 ．
11．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b的值为 ．
0
－31
(2)已知2m－n＝3，4m＋3n＝1，求5n(2m－n)2－2(n－2m)3的值．
解：原式＝5n(n－2m)2－2(n－2m)3
＝(n－2m)2[5n－2(n－2m)]
＝(n－2m)2(5n－2n＋4m)
＝(n－2m)2(3n＋4m).
∵2m－n＝3，4m＋3n＝1，
∴n－2m＝－3，
∴原式＝(－3)2×1＝9.
13．(1)因式分解：(x－y)(3x－y)＋2x(3x－y)；
解：(1)原式＝(3x－y)(x－y＋2x)
＝(3x－y)(3x－y)
＝(3x－y)2；
(2)设y＝kx，是否存在实数k，使得(1)式的化简结果为x2？若存
在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
(2)存在．当y＝kx时，
原式＝(3x－kx)2＝(3－k)2x2.
∵原式的化简结果为x2，即(3－k)2x2＝x2，
∴3－k＝±1，
解得k＝4或k＝2.
14． （六盘水期末）阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是 ；
(2)分解1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2024的结果是
；
(3)因式分解1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n＝ ．（n为正整数）
提公因式法
(1＋x)2025
(1＋x)n+1
