(共15张PPT)
第4章 因式分解
3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
导入新课
1．填一填．
(1)(x＋3)(x－3)＝__________；
(2)(4x＋y)(4x－y)＝__________；
(3)(1－2x)(1＋2x)＝__________；
(4)(3m＋2n)(3m－2n)＝__________．
x2－9
16x2－y2
1－4x2
9m2－4n2
2．根据第1题填一填．
(1)x2－9＝______________；
(2)16x2－y2＝________________；
(3)1－4x2＝___________________；
(4)9m2－4n2＝____________________．
你有什么发现
(x＋3)(x－3)
(4x＋y)(4x－y)
(1－2x)(1＋2x)
(3m＋2n)(3m－2n)
探究新知
探究
尝试将它们分别写成两个因式的乘积：
x2 – 25 = __________________;
9x2 - y2 = ______________________;
9m2 - 4n2 = __________________________.
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m-2n)
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b) = a2-b2反过来就得到
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
归纳总结
做一做
判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式．
①x2－1； ②x2＋y2； ③－x2＋y2； ④－x2－y2；
⑥(a＋b)2＋(c＋d)2； ⑦(a＋b)2－(c＋d)2.
观察思考，能用平方差公式来分解因式的是
____________．
①③⑤⑦
探究新知
探究
1．把下列各式因式分解：
（1）25 - 16x2；
（2）9a2 – b2.
解: (1) 25 - 16x2 = 52 – (4x)2 = (5+4x)(5-4x);
分清公式中的a和b，再应用公式进行因式分解．
(2) 9a2 - b2 = (3a)2 – ( b)2 = (3a+ b)(3a- b).
2．把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2)2x3－8x.
解：9(m＋n)2－(m－n)2
＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)；
解：2x3－8x
＝2x(x2－4)
＝2x(x＋2)(x－2).
应用举例
【例1】因式分解：
(2)x3y2－xy4.
【分析】
可以写成
的形式，这样可以
用平方差公式进行因式分解，而其中因式
仍可以继
续用平方差公式因式分解；
(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步因式分解．
(2)原式＝xy2(x2－y2)
＝xy2(x＋y)(x－y).
解：(1)原式＝(a2＋ b2)(a2－ b2)
＝(a2＋ b2)(a－ b)(a＋ b)；
【例2】因式分解：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)m4－1.
【分析】将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式因式分解．
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(m2＋1)(m＋1)(m－1).
随堂练习
1．下列各式：x2－y2，－x2－y2，(－x)2＋(－y)2，
－x2＋y2，x4－y4，其中能用平方差公式因式分解的有
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
2．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是( )
A．3(x2－9) B．3(x－3)2
C．3(x＋3)(x－3) D．3(x＋9)(x－9)
3．计算752－252的结果为_________．
C
5000
4.判断正误：
（1）x2+y2=(x+y)(x+y); （ ）
（2）x2-y2=(x+y)(x-y)； （ ）
（3）-x2+y2=(-x+y)(-x-y)； （ ）
（4）-x2-y2=-(x+y)(x-y)； （ ）
√
×
×
×
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.(共20张PPT)
3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
把乘法公式(a＋b)(a－b)＝ 反过来，就得到a2－b2＝
．运用这一公式，可将一个二项式的平方差因式分解．
当多项式的各项含有公因式时，通常先 ，然后再进一步因式分解．
a2－b2
(a＋b)(a－b)
提出这个公因式
【名师点拨】首先观察每个多项式是否符合平方差公式的特点，再分析公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中的a，b在各多项式中分别是什么，最后按公式写成积的形式．
【学生解答】
【例2】把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；
(2)2x3－8x.
【学生解答】
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n)；
(2)原式＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2).
直接运用平方差公式因式分解
1．下列多项式能用平方差公式因式分解的是( )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．－a2－b2 D．a2－b2
【变式】下列单项式中，使多项式16a2＋M能用平方差公式因式分解的M是( )
A．a B．b2 C．－16a D．－b2
D
D
2．（2024·毕节期末）把a2－4分解因式，结果是( )
A．(a－8)(a＋8) B．(a－4)(a＋4)
C．(a－2)(a＋2) D．(a－2)2
C
(2)4a2－9＝ ；
(3)a2－4b2＝ ．
(2a＋3)(2a－3)
(a＋2b)(a－2b)
解：原式＝(ab＋4)(ab－4).
先提公因式，再运用平方差公式因式分解
5．（2024·云南）分解因式：a3－9a等于( )
A．a(a－3)(a＋3) B．a(a2＋9)
C．(a－3)(a＋3) D．a2(a－9)
A
6．因式分解：
(1)（2024·四川宜宾）2a2－2＝ ；
(2)（贵阳模拟）n3－n＝ ；
(3)（2024·六盘水期末）x3－xy2＝ ．
2(a＋1)(a－1)
n(n＋1)(n－1)
x(x－y)(x＋y)
7．因式分解：
(1)18a2b－8b； (2)b2(a－b)－4(a－b).
解：原式＝2b(9a2－4)
＝2b(3a＋2)(3a－2);
解：原式＝(a－b)(b2－4)
＝(a－b)(b＋2)(b－2).
因式分解的应用
8．利用因式分解计算：11×1022－11×982的结果是( )
A．44 B．800 C．2200 D．8800
9．如图，一长方形模具的长为2a，宽为a，中间开出两个边长均为b的正方形孔．已知a＝15.7，b＝4.3，则阴影部分的面积为
．
D
456
B
11．（六盘水期中）已知a－b＝5，则a2－b2－10b的值为( )
A．5 B．10 C．15 D．25
D
(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)
12．把－16x4＋81y4因式分解的结果为
．
13．学校有一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地．若购买130m2的草坪，则够不够铺满绿地？
解：够铺满绿地．由题意可知需铺设草坪的面积为13.22－4×3.42＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4)＝20×6.4＝128(m2).
∵128<130，
∴购买130m2的草坪够铺满绿地．
14．【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a＞b且a＋b＝10.若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，则得到一个新的两位数，且原来的两位数与新的两位数的平方差是20的倍数．
【解决问题】(1)用含a的式子表示：原来的两位数为 ，新的两位数为 ；
(2)运用因式分解的方法证明【发现】中的结论．
解：(1)9a＋10 100－9a
(2)根据题意，得(9a＋10)2－(100－9a)2
＝(9a＋10＋100－9a)(9a＋10－100＋9a)
＝110(18a－90)
＝1980(a－5)
＝99×20(a－5).
∵a是整数，a＞b且a＋b＝10，
∴a－5为大于0的整数，
∴(9a＋10)2－(100－9a)2能被20整除，
即【发现】中的结论正确．
15．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)请问用这两个图可以验证因式分解中的哪个公式？
(2)若图①中阴影部分的面积是12，a－b＝3，求a＋b的值；
(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.
解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)依题意可得a2－b2＝12，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝12.
∵a－b＝3，∴a＋b＝4；
(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝(216－1)＋1＝216.
