(共13张PPT)
第4章 因式分解
3 公式法
第1课时 运用完全平方公式因式分解
导入新课
1．把下列各式因式分解：
(1)4a2－9b2； (2)ax4－ax2.
2．你能用前面学过的方法把多项式x2＋8x＋16因式分解吗？
解：(1)原式＝(2a＋3b)(2a－3b)；
(2)原式＝ax2(x＋1)(x－1).
3．填空：
(1)(x＋2)2＝_______________；
(2)(2x－y)2＝________________；
反过来：(1)_______________＝(x＋2)2；
(2)________________＝(2x－y)2.
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
x2＋4x＋4
4x2－4xy＋y2
以上运算，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？你能说明整式乘法与因式分解的关系吗？
探究新知
探究
在下面的等式中，我们用到了整式乘法中的哪个公式？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝a2－2ab＋b2；
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2； a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
在a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2中，形如a2±2ab＋b2的式子称为完全平方式．
归纳总结
由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．
下列各式能用完全平方公式分解因式吗？如果能，把它分解出来；如果不能，请说明理由．
(1)a2－4a＋4； (2)x2＋4xy＋4y2＋16；
(3)4a2＋2ab＋b2； (4)a2－ab＋b2； (5)x2＋6x＋9.
议一议
解：(1)(5)能用完全平方公式分解因式；
(2)(3)(4)不能用完全平方公式分解因式．
1．必须是三项式(或可以看成三项的)；
归纳总结
完全平方式的特征：
2．有两个同号的平方项；
3．有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍)．
简记口诀：头平方，尾平方，乘积2倍在中央
a2＋6a＋9＝a2＋2×____×____＋(____)2＝(________)2；
a2－12a＋36＝a2－2×____×____＋(____)2＝(________)2；
m2＋8m＋16＝m2＋2×____×____＋(____)2＝(________)2；
x2－4xy＋4y2＝x2－2×____×____＋(_____)2＝(_________)2.
练一练
a
3
3
a＋3
a
6
6
a－6
m
4
4
m＋4
x
2y
2y
x－2y
用完全平方公式法因式分解的关键是：判断一个多项式是不是一个完全平方式．左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和(或差)的平方，从而达到因式分解的目的．
归纳
应用举例
【例1】把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
【分析】在(1)中49＝72，14x＝2·x·7，所以x2＋14x＋49是一个完全平方式，即：
x2＋14x＋49＝x2 ＋ 2 × x × 7 ＋ 72＝ (x ＋ 7)2
头2＋2·头·尾＋尾2＝(头＋尾)2
解：原式＝(x＋7)2；
【例1】把下列完全平方式因式分解：
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
【分析】在(2)中多项式中的两个平方项分别是(m＋n)2和32，另一项6(m＋n)＝2·(m＋n)·3，符合完全平方式的形式，这里“m＋n”相当于完全平方式中的a，“3”相当于完全平方式中的b，如果将(m＋n)看作一个整体，即：
(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2×(m＋n)×3＋32＝[(m＋n) － 3]2
头2 － 2 · 头 · 尾 ＋尾2 ＝ (头 － 尾)2
解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
【例2】将下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy.
【分析】在(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中如果把多项式的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式法因式分解．
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
解：(2)－x2－4y2＋4xy
＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－(x－2y)2.
随堂练习
1．若a＋b＝2，则a2＋2ab＋b2的值是( )
A．8 B．16 C．2 D．4
2．如果x2＋6x＋k是一个完全平方式，那么k的值是______．
9
D
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.(共21张PPT)
第2课时 运用完全平方公式因式分解
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝ ，a2－2ab＋b2＝ ．
(a＋b)2
(a－b)2
【名师点拨】先根据两平方项确定出首尾两个数，再根据首尾两项乘积二倍即可确定b的值．
【学生解答】
【例2】把下列各式因式分解：
(1)a2＋8a＋16；
(2)9(x－y)2－12(x－y)＋4.
【名师点拨】(1)可以直接利用完全平方公式因式分解；(2)把(x－y)看作一个整体，利用完全平方公式因式分解．
【学生解答】
解：(1)原式＝a2＋2·a·4＋42＝(a＋4)2；
(2)原式＝[3(x－y)]2－2×2×3(x－y)＋22＝[3(x－y)－2]2＝(3x－3y－2)2.
【例3】分解因式3a2b－6ab＋3b的结果是( )
A．3b(a2－2a)
B． b(3a2－6a＋1)
C．3(a2b－2ab)
D．3b(a－1)2
【学生解答】D
完全平方式
1．下列是完全平方式的是( )
A．x2＋4 B．x2＋4x＋4
C．x2＋x＋1 D．a2＋2b＋b2
2．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
【变式】（贵阳期末）若多项式x2＋kx＋49是一个完全平方式，则常数k的值为 .
B
A
±14
直接运用完全平方公式因式分解
3．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A．4x2－1 B．x2＋2x－1
C．4x2＋4x＋1 D．x2－xy＋y2
4．（2024·江苏盐城）分解因式：x2＋2x＋1＝ ．
【变式】（2024·毕节期末）因式分解：－x2－2x－1＝
．
C
(x＋1)2
－(x＋1)2
5．把下列完全平方式因式分解：
(1)a2＋24a＋144； (2)(m－n)2＋6(m－n)＋9.
解：原式＝(a＋12)2;
解：原式＝(m－n＋3)2.
先提公因式，再运用完全平方公式因式分解
6．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
C
7．因式分解：
(1)（2024·江苏扬州）2x2－4x＋2＝ ；
(2)（毕节期末）x2y＋2xy＋y＝ ；
(3)－a3＋2a2－a＝ ．
2(x－1)2
y(x＋1)2
－a(a－1)2
8．把下列各式因式分解：
(1)a3＋9ab2－6a2b；
解：原式＝a(a2＋9b2－6ab)
＝a(a－3b)2;
(2)（毕节期末）－4a2x＋12ax－9x.
解：原式＝－x(4a2－12a＋9)
＝－x(2a－3)2.
9． 词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．小华令3x，x2＋1，x－y，3x＋y，y，(x＋y)2分别对应6个字：乌，月，西，江，夜，啼，现请你将3x3y＋6x2y2＋3xy3因式分解，结果呈现的词牌名可能为( )
A．乌江夜 B．啼西月
C．西江月 D．乌夜啼
D
10．（2024·广西）如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( )
A．0 B．1 C．4 D．9
D
11．（贵阳期中）观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是
．
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
12． （2024·山东威海）因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝ ．
(x＋3)2
14． 先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).
请你仿照以上方法，探索并解答下列问题：
分解因式：(1)x2－6x－7；
(2)a2＋4ab－5b2.
解：(1)原式＝x2－6x＋9－16
＝(x－3)2－42
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)；
(2)原式＝a2＋4ab＋4b2－9b2
＝(a＋2b)2－9b2
＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)
＝(a＋5b)(a－b).
15． 有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图①.第一次按键后，A，B两区分别显示如图②.
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区式子的和，这个和能为负数吗？说明理由．
解：(1)A区显示的结果为25＋2a2，B区显示的结果为－16－6a；
(2)这个和不能为负数．
理由如下：
从初始状态按4次后，A区显示的结果为25＋4a2，B区显示的结果为－16－12a.
25＋4a2＋(－16－12a)＝25＋4a2－16－12a＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
∵(2a－3)2≥0，
∴这个和不能为负数．
