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第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 兴庆区校级期末）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】主要依据不等式的定义用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解析】①是等式；
②符合不等式的定义；
③是多项式；
④符合不等式的定义；
⑤符合不等式的定义；
故选：．
2．（2024春 洪雅县期中）下列不等式的解集中，不包括的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】不包括即不在解集内，由此可得出答案．
【解析】根据题意，不包括即不在解集内，
只有选项，，不包括．
故选：．
3．（2024春 沙坡头区月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值是
A．3 B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可．
【解析】是关于的一元一次不等式，
且，
解得：，
故选：．
4．（2024秋 常德期末）若，且为实数，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质逐项求解即可，
【解析】、，
或或，原选项不符合题意；
、，
，原选项不符合题意；
、，
或或，原选项不符合题意；
、，，
，原选项符合题意；
故选：．
5．（2024秋 浙江期末）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可．
【解析】由数轴上表示的是某不等式组的解集，可得这个不等式组可以是．
故选：．
6．（2024春 定陶区期末）某数学兴趣小组对关于的不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是
A．若，则不等式组的解集为
B．若不等式组无解，则的取值范围为
C．若，则不等式组的解集为
D．若不等式组有解，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据不等式性质逐项分析判断即可．
【解析】、若，则不等式组的解集为，正确，符合题意；
、若不等式组无解，则的取值范围为，原说法错误，不符合题意；
、若，则不等式组的解集为无解，原说法错误，不符合题意；
、若不等式组有解，则的取值范围为，原说法错误，不符合题意；
故选：．
7．（2024秋 成都期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是
A．
B．
C．关于的方程的解是
D．关于的不等式的解集是
【答案】
【分析】运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解．
【解析】根据题意，把交点代入一次函数中得，
，解得，，
，
把点代入一次函数图象得，，
根据一次函数的图象可得，，，故，选项正确，不符合题意；
当时，，故选项正确，不符合题意；
当时，，故选项错误，符合题意；
故选：．
8．（2024春 章丘区校级月考）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则的取值范围是
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】
【分析】分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．
【解析】当，即时，
，
，
，
，
；
当，即时，
，
，
，
，
；
综上所述，或，
故选：．
9．（2024春 大渡口区校级期中）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于3小时，它沿江水逆流航行也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为 ，江水的流速为 ，则根据题意可列不等式组为
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据船只顺流速度船静水中的速度水流流速，船只逆流速度船静水中的速度水流流速，由“顺流航行用时少于3小时，它沿江水逆流航行也用时少于3小时”建立方程，即可得出答案．
【解析】根据题意，得，
故选：．
10．（2024春 大渡口区校级期中）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】
【分析】根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
【解析】由方程，得，
关于的方程的解为非负整数，
，得，
，
由①，得，
由②，得，
关于的不等式组有解，
，得，
由上可得，，
符合条件的整数的值为：，0，1，2，3，
符合条件的整数的值的和为：．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．写出一个解集为的一元一次不等式组 ．
【答案】．答案不唯一
【分析】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可．
【解析】当解集为时，
构造的不等式组为．答案不唯一
12．（2024 河北模拟）不等式的所有正整数解的和是 ．
【答案】6．
【分析】先解不等式，根据解集得出正整数解，再求和即可．
【解析】，
，
所有正整数解为：1，2，3，
，
故答案为：6．
13．（2024 东昌府区校级开学）已知方程组的解、满足，的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】先把两方程相加即可用表示出，再根据即可得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解析】，①②得，，即，
，
，解得．
故答案为：．
14．一次知识竞答比赛，共16道选择题，评选办法是；答对一道题得6分，答错一道题倒扣2分，不答则不扣分，王同学全部作答，如果王同学想成绩在60分以上，试写出他答对题应满足的不等式 ．
【答案】．
【分析】设他答对题道，则答错道，根据题意可得不等关系：答对题得分答错题的分数，根据不等关系列出不等式即可．
【解析】设他答对题道，由题意得：
，
故答案为：．
15．（2024 湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据第二次运算结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解析】依题意得：，
解得：，
故答案为：．
16．（2024春 武侯区期末）定义：若关于的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于的不等式组的解集是一个对称集，则的值为 ．
【答案】4．
【分析】解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解得．
【解析】解不等式，得：，
解不等式，得：，
关于的不等式组的解集是一个对称集，
，
解得，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
17．（2024 义乌市校级开学）（1）解不等式：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（2024春 芗城区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点的横坐标为．
（1）观察图象，直接写出当时，的取值范围．
（2）求的值．
（3）若点，在直线上，求△的面积．
【分析】（1）找到当函数的图象在直线图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案；
（2）先求出点坐标，再把点坐标代入中进行求解即可；
（3）先求出、坐标，再根据进行求解即可．
【解析】（1）由函数图象可知，当函数的图象在直线图象下方或二者交点处时自变量的取值范围为，
当时，的取值范围为；
（2）在中，当时，，
，
把代入中得：，
；
（3）由（2）得，
在中，当时，，当时，，
，，
．
19．对于任意实数，，定义关于的一种运算如下：，例如，．
（1）比较与的大小，并说明理由．
（2）若，求的取值范围．
（3）若不等式组的解集为，求的取值范围．
【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围．
【解析】（1），理由如下：
，
，，
；
（2），
不等式可转化为：，
；
（3），
不等式可转化为：，
，
不等式组组的解集为，
，
．
20．已知关于的方程．
（1）若该方程的解满足，求的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求的值．
【分析】（1）先解一元一次方程可得，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答；
（2）先解一元一次不等式可得，从而可得该不等式的负整数解为：，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答，
【解析】（1），
，
，
该方程的解满足，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
该不等式的负整数解为：，
由题意得：，
，
．
21．（2024春 永城市期末）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，
又，
，
，
又，①，
同理得：②，
由①②得，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题．
（1）已知，且，，则的取值范围是 ．
（2）已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示）
【分析】（1）先把，化为，再根据，，求出，①同理得，②①②得，进而求出的取值范围；
（2）解题方法同（1）类似，不同就是当，即，注意的取值范围．
【解析】（1），
，
，
，
，
，
，①
同理得，②
①②得，
；
故答案为：；
（2），
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
22．（2024春 福田区期末）
生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息．
信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车60座客车载客量（人辆）4560租金（元辆）250300
信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3 八年级师生如果租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有 420 人；
任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
【分析】（1）设参加此次活动的七年级教师有人，根据“若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）根据“八年级师生如果租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论；
（3）设租用辆45座客车，则租用辆60座客车，根据“该旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用，且总费用不超过4800元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为自然数，即可得出各租车方案．
【解析】（1）设参加此次活动的七年级教师有人，
根据题意得：，
解得：，
，
参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420；
（2）根据题意得：，
解得：，
．
答：参加此次活动的八年级师生共有480人；
（3）设租用辆45座客车，则租用辆60座客车，
根据题意得：，
解得：，
又，均为自然数，
可以为4，8，12，
共有3种租车方案，
方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车；
方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车；
方案3：租用12辆45座客车，6辆60座客车．
23．（2024春 龙马潭区期末）定义：使方程（组与不等式（组同时成立的未知数的值称为此方程（组和不等式（组的“理想解”．例如：
已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组的“理想解” （直接填写序号）．
①，②，③；
（2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围．
【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
（2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得．
【解析】（1），
解得：，
当时，
①，
解得：，故①不符合题意；
②，
解得：，故②符合题意；
③，
解得：，
故不等式组的解集是：，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）是方程组与不等式的“理想解”，
，
解得：，
，
，
解得：．
24．（2024春 西城区校级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“”“ ”“ ”“ ” 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
则：①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
【分析】（1）①由题可知可以理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式成立的整数有3，；
（2）①根据题意可求的解集为或；
②根据题意可求的解集为；
（3）根据绝对值的几何意义可得答案．
【解析】（1）①由题意可知可以理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；
②使不等式成立的整数有3，，
故答案为：3，；
（2）①根据题意可求或，
或，
故答案为：或；
②根据题意可求的解集为，
故答案为；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与3的点的距离之和大于4的所有的值，
如图可知，不等式的解集是或．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 兴庆区校级期末）已知：①；②；③；④；⑤，其中属于不等式的有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024春 洪雅县期中）下列不等式的解集中，不包括的是
A． B． C． D．
3．（2024春 沙坡头区月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值是
A．3 B． C． D．无法确定
4．（2024秋 常德期末）若，且为实数，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
5．（2024秋 浙江期末）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是
A． B． C． D．
6．（2024春 定陶区期末）某数学兴趣小组对关于的不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是
A．若，则不等式组的解集为
B．若不等式组无解，则的取值范围为
C．若，则不等式组的解集为
D．若不等式组有解，则的取值范围为
7．（2024秋 成都期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是
A．
B．
C．关于的方程的解是
D．关于的不等式的解集是
8．（2024春 章丘区校级月考）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则的取值范围是
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（2024春 大渡口区校级期中）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于3小时，它沿江水逆流航行也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为 ，江水的流速为 ，则根据题意可列不等式组为
A． B．
C． D．
10．（2024春 大渡口区校级期中）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为
A．2 B．3 C．5 D．6
二．填空题（共6小题）
11．写出一个解集为的一元一次不等式组 ．
12．（2024 河北模拟）不等式的所有正整数解的和是 ．
13．（2024 东昌府区校级开学）已知方程组的解、满足，的取值范围是 ．
14．一次知识竞答比赛，共16道选择题，评选办法是；答对一道题得6分，答错一道题倒扣2分，不答则不扣分，王同学全部作答，如果王同学想成绩在60分以上，试写出他答对题应满足的不等式 ．
15．（2024 湖北模拟）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则的取值范围是 ．
16．（2024春 武侯区期末）定义：若关于的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于的不等式组的解集是一个对称集，则的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024 义乌市校级开学）（1）解不等式：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2024春 芗城区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点的横坐标为．
（1）观察图象，直接写出当时，的取值范围．
（2）求的值．
（3）若点，在直线上，求△的面积．
19．对于任意实数，，定义关于的一种运算如下：，例如，．
（1）比较与的大小，并说明理由．
（2）若，求的取值范围．
（3）若不等式组的解集为，求的取值范围．
20．（2023秋 苏州期末）已知关于的方程．
（1）若该方程的解满足，求的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求的值．
21．（2024春 永城市期末）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，
又，
，
，
又，①，
同理得：②，
由①②得，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题．
（1）已知，且，，则的取值范围是 ．
（2）已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示）
22．（2024春 福田区期末）
生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案．经学生会调查，得到以下信息．
信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车60座客车载客量（人辆）4560租金（元辆）250300
信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3 八年级师生如果租用45座的客车辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1 （1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
任务2 （2）求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3 （3）学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
23．（2024春 龙马潭区期末）定义：使方程（组与不等式（组同时成立的未知数的值称为此方程（组和不等式（组的“理想解”．例如：
已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
（1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组的“理想解” （直接填写序号）．
①，②，③；
（2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围．
24．（2024春 西城区校级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“”“ ”“ ”“ ” 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由如图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
则：①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
