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第1章 三角形的证明单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 邵东市期末）等腰三角形的两边分别为和，则它的周长是
A． B．或 C． D．
2．（2024秋 平原县期末）、是线段的垂直平分线上的两点，平分．则下列说法不一定正确的是
A． B． C．垂直平分 D．
3．（2024秋 信都区期末）如图，已知，，若用“”判定△和△全等，则需要添加的条件是
A． B． C． D．
4．（2024秋 鄂州期末）一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则
A． B． C． D．
5．（2025 东湖区校级模拟）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2024秋 石狮市期末）如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得△是等腰三角形，则满足条件的格点共有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．（2024秋 石狮市期末）如图，在△中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则
A． B． C． D．
8．（2024秋 吴桥县期末）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024秋 开封期末）如图，在△中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：①，②，③，④设，，则．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024秋 怀化期末）如图在第一个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第二个△，再在边上任取一点，延长到，使，得到第3个△．如此类推，可得到第个等腰三角形．则第个等腰三角形中，以为顶点的内角的度数为
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（填真或假）
12．（2024秋 鄞州区期末）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ．
13．（2024秋 丹徒区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
14．（2025 安阳模拟）如图，在△中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点，，作直线，与相交于点，则的长为 ．
15．（2024秋 海港区期末）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当 时，是直角三角形．
16．（2024秋 阎良区期末）如图，△中，，的垂直平分线分别交、于、，连接，于，若，则下列结论：①；②△和△也都是等腰三角形；③．其中所有正确结论的序号有 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 莱阳市期末）如图，，，点是上一点，于，于，，连接，求证：．
18．（2024秋 岚皋县校级期末）如图所示，已知等腰△的底边，是腰上一点，且，．
（1）求证：；
（2）求△的面积．
19．（2024秋 沂源县期末）如图，△中，，平分，，垂足为点．
（1）线段与是否垂直？说明理由；
（2）若，，求△的周长．
20．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点，联结，使．
，
；
在上取点，使，则，
即：，
．
这与已知相矛盾，
假设不成立；
②若，
综上，．
（1）上述证明过程采用的方法是 （填写：“”或“” ；
．直接证明法；．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
21．（2024秋 安新县期末）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．
（1）求处到灯塔的距离；
（2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
22．（2024秋 长宁区校级期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，联结．
（1）如果，，求证：；
（2）如果，平分，，求的长．
23．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
24．（2024春 大观区校级期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为，用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．
（1）请你利用图1验证勾股定理；
（2）在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长，的值；
（3）学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在△中，，，试求△的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 三角形的证明单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 邵东市期末）等腰三角形的两边分别为和，则它的周长是
A． B．或 C． D．
【答案】
【分析】因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解析】当等腰三角形的腰为时，三边为，，，，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为时，三边为，，，三边关系成立，周长为．
故选：．
2．（2024秋 平原县期末）、是线段的垂直平分线上的两点，平分．则下列说法不一定正确的是
A． B． C．垂直平分 D．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理得到，于是得到结论．
【解析】如图，垂直平分，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
垂直平分，
但不一定等于，故，，正确，错误，
故选：．
3．（2024秋 信都区期末）如图，已知，，若用“”判定△和△全等，则需要添加的条件是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解析】，，
，
在△和△中，
，
△△，
用“”判定△和△全等，需要添加的条件是．
故选：．
4．（2024秋 鄂州期末）一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的外角和求出，进行求解即可．
【解析】如图，，
．
故选：．
5．（2025 东湖区校级模拟）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用平行线的性质可得，，然后根据等边对等角求得，利用三角形内角和定理即可解答．
【解析】由条件可知，
，
，
，
，
故选：．
6．（2024秋 石狮市期末）如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得△是等腰三角形，则满足条件的格点共有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】
【分析】满足的点的位置有5个，满足的点的位置有1个，满足的点的位置有1个，由此得出答案即可．
【解析】如图，满足条件的格点共7个，
故选：．
7．（2024秋 石狮市期末）如图，在△中，点，为边上的两点，，，于点，且，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和，可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可．
【解析】，，，
，
，，，
平分，
，
，
，
故选：．
8．（2024秋 吴桥县期末）意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解析】由勾股定理得：，
由题意得：，
故①、②、③、④正确，
故选：．
9．（2024秋 开封期末）如图，在△中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：①，②，③，④设，，则．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】利用角平分线的定义得到，，则，再根据三角形内角和定理得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，然后利用平分得到，则可对②进行判断；利用互余和可对③进行判断；根据角平分线的性质得到点到的距离等于，然后利用三角形面积公式可对④进行判断．
【解析】和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，
，所以①正确；
，
，
而平分，
，
，所以②正确；
于，
，
，
平分，
，
，所以③正确；
和的平分线相交于点，
点到和的距离相等，点到和的距离相等，
点到的距离等于的长，即点到的距离等于，
，所以④正确．
故选：．
10．（2024秋 怀化期末）如图在第一个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第二个△，再在边上任取一点，延长到，使，得到第3个△．如此类推，可得到第个等腰三角形．则第个等腰三角形中，以为顶点的内角的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角度数．
【解析】在△中，，，
，
，是△的外角，
，
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的内角度数是．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是 ．这个逆命题是 命题．（填真或假）
【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形；真命题．
【分析】命题“等边三角形的三个角都相等．”的条件是等边三角形，结论是三个角都相等，进而交换条件和结论，即可得出答案．
【解析】命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是“三个角都相等的三角形是等边三角形”，这个逆命题是真命题；
故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真命题．
12．（2024秋 鄞州区期末）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ．
【答案】或．
【分析】先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【解析】当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故答案为：或．
13．（2024秋 丹徒区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
【答案】．
【分析】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长．
【解析】三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理，
此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
三角形斜边上的中线是斜边的一半，
三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
14．（2025 安阳模拟）如图，在△中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点，，作直线，与相交于点，则的长为 ．
【答案】．
【分析】先由勾股定理求得，再根据线段的垂直平分线性质得到，，，再设，然后在△中利用勾股定理即可求得的长．
【解析】连接．
，，，
，
由作图可知，点在线段的垂直平分线上，则．
设，则．
在△中，，
即．
解得．
所以的长为．
故答案为：．
15．（2024秋 海港区期末）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止，当 时，是直角三角形．
【答案】1或2．
【分析】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据，的表达式和的度数进行求解即可．
【解析】根据题意得，，
中，，，
，
中，，，若是直角三角形，则
或，
当时，，
即，（秒，
当时，，
，（秒．
答：当秒或秒时，是直角三角形．
故答案为：1或2．
16．（2024秋 阎良区期末）如图，△中，，的垂直平分线分别交、于、，连接，于，若，则下列结论：①；②△和△也都是等腰三角形；③．其中所有正确结论的序号有 ．
【答案】①②③．
【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得：，从而可得，进而可得△和△是等腰三角形，再根据角平分线的性质定理可得，即可解答．
【解析】，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
△和△是等腰三角形，
，
平分，
，，
，
所以，上列结论，其中所有正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 莱阳市期末）如图，，，点是上一点，于，于，，连接，求证：．
【分析】由直角三角形全等的“ “判定定理证得，根据全等三角形的性质得到，再由直角三角形全等的“ “判定定理即可证得．
【解析】证明：，
在和中，
，
，
，
于，于，
，
在和中，
，
．
18．（2024秋 岚皋县校级期末）如图所示，已知等腰△的底边，是腰上一点，且，．
（1）求证：；
（2）求△的面积．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△为直角三角形，进而即可求证；
（2）由等腰三角形的性质得，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
【解析】（1）证明：等腰△的底边，，，
，即，
△为直角三角形，且，
；
（2）解：△为等腰三角形，为底边，
，
设，则，
，
，
，
即，
解得，
，
．
19．（2024秋 沂源县期末）如图，△中，，平分，，垂足为点．
（1）线段与是否垂直？说明理由；
（2）若，，求△的周长．
【分析】（1）利用条件证明△△，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论；
（2）可求得的长，再利用（1）的结论可求得，且，可求得．
【解析】
（1）垂直，理由如下：
平分，
，
，
，
在△和△中
△△，
，
平分，
；
（2），，
在△中由勾股定理可求得，
，
，
又△△，
，
，
即△的周长为12．
20．（2024秋 鲤城区校级期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点，联结，使．
，
；
在上取点，使，则，
即：，
．
这与已知相矛盾，
假设不成立；
②若，
综上，．
（1）上述证明过程采用的方法是 （填写：“”或“” ；
．直接证明法；．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
【分析】（1）这是反证法；（2）根据等角对等边即可解答．
【解析】（1）上述证明过程采用的方法是；
故答案为：；
（2）②若，
，
这与已知相矛盾，
假设不成立；
综上，．
21．（2024秋 安新县期末）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向．
（1）求处到灯塔的距离；
（2）已知在以灯塔为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
【分析】（1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）根据题意得，，（海里），
，
，
（海里），
答：处到灯塔的距离为30海里；
（2）过作交的延长线于点，
，（海里），
（海里），
，
若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
22．（2024秋 长宁区校级期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、，联结．
（1）如果，，求证：；
（2）如果，平分，，求的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理的逆定理证明；
（2）根据三角形内角和定理、直角三角形的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质计算即可．
【解析】（1）证明：是的垂直平分线，，
，
在△中，，，
，
；
（2）解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
23．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解析】证明：（1），
，
，
是等边三角形．
解：
（2）是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
，，
，
，
是直角三角形．
（3）是等边三角形，
．
，，
，
，
．
①当时，，
．
②当时，，
．
③当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
24．（2024春 大观区校级期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为，用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．
（1）请你利用图1验证勾股定理；
（2）在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长，的值；
（3）学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在△中，，，试求△的面积．
【分析】（1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解；
（2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解；
（3）作于点，在△和△中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解析】（1）大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
，
；
（2）由题意得，
，
，
，
，是方程的两根，
解得，
，
，；
（3）作于点，
设，则，
在△中，，
在△中，，
，
即，
解得：．
．
