2.解一元一次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一元一次方程的定义,能够阐述,并能够用一元一次方程的定义解决问题 抽象能力,运算能力
2.探索含有括号的一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤,并体会解方程中的化归思想 运算能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.一元一次方程的定义
方程中只含有 一 个未知数、左右两边都是 整式 ,并且含未知数的项的次数都是 1 .
2.解含有括号的一元一次方程的一般步骤:
(1) 去括号 ;(2) 移项;
(3) 合并同类项 ;(4)系数化为1.
对点小练
解方程3-(x-6)=5(x-1)时,去括号正确的是(C)
A.3-x+6=5x+5 B.3-x-6=5x+1
C.3-x+6=5x-5 D.3-x-6=5x-1
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 一元一次方程的定义(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P11定义拓展)已知:方程(m-3)x|m|-2+3=m-6是关于x的一元一次方程,求m的值.
【自主解答】根据题意得:|m|-2=1,且m-3≠0,
解得m=-3.
即m的值是-3.
【举一反三】
1.(2024·金华模拟)下列是一元一次方程的是(C)
A.xy=12 B.x+4=
C.6x=0 D.2x=2(x-3)
2.若(m-1)x+1=0是关于x的一元一次方程,则m的值可以是 2(答案不唯一) .
3.若x|m-2|=5是关于x的一元一次方程,则m= 3或1 .
【技法点拨】
一元一次方程的四要素
1.等式;
2.整式;
3.只含有1个未知数;
4.未知数的次数为1.
重点2 解含有括号的一元一次方程(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P12例4拓展)解方程:(1)5(12+5x)-4=8-(12+5x).
(2)2(x+2)+1=7-2(x-1).
【自主解答】(1)5(12+5x)-4=8-(12+5x),
去括号,得60+25x-4=8-12-5x,
移项,得25x+5x=8-12-60+4,
合并同类项,得30x=-60,
系数化为1,得x=-2.
(2)2(x+2)+1=7-2(x-1),
去括号得:2x+4+1=7-2x+2,
移项得:2x+2x=7+2-4-1,
合并同类项得:4x=4,
系数化为1得:x=1.
【举一反三】
1.(2024·金华模拟)已知-2(2-x)+(1+x)=0,则代数式2x2-7的值是(A)
A.-5 B.5 C.1 D.-1
2.当x= -2 时,代数式3-2x与1-5x的差是-4.
3.(2024·新疆中考)解方程:2(x-1)-3=x.
【解析】2(x-1)-3=x,
2x-2-3=x,
2x-x=2+3,
x=5.
【技法点拨】
去括号需要注意的两点
(1)符号 当括号外面的因数为负数时,去掉括号后,括号内的每一项都要改变符号
(2)漏乘 去括号时括号内的每一项都要乘以外面的因数
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)下列方程为一元一次方程的为(A)
A.150(12+x)=240x
B.240(12+x)=150y
C.150(x-)=240
D.240(x2-12)=150
2.(3分·抽象能力、运算能力)如果方程x2n-7-=1是关于x的一元一次方程,那么n的值为(B)
A.2 B.4 C.3 D.1
3.(4分·抽象能力、运算能力)设M=2y-2,N=3y+1,且M-2N=4,则M+N的值是 -11 .
4.(4分·模型观念、应用意识)已知a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算:=ad-bc,那么当=18时,x= .
5.(6分·抽象能力、运算能力)已知方程2(x-6)=-16的解同时也是方程a2(x+3)=a+x的解,求a2-a+1的值.
【解析】解方程2(x-6)=-16得x=-2,
因为方程2(x-6)=-16的解同时也是方程a2(x+3)=a+x的解,
所以x=-2是方程a2(x+3)=a+x的解,
所以a2(-2+3)=a-2,
所以a2=a-2,
所以a2-a=-2,
所以a2-a+1=-2+1=-1.2.解一元一次方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会去分母解一元一次方程 运算能力、推理能力
2.掌握一元一次方程解法的一般步骤,体会解方程中化归和程序化的思想方法
3.通过列方程,进一步体会模型思想
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
解一元一次方程的一般步骤: 去分母 →去括号→ 移项 →合并同类项→ 系数化为1 .
对点小练
在解方程+x=时,去分母正确的是(B)
A.2x-1+6x=3(3x+1) B.2(x-1)+6x=3(3x+1)
C.2(x-1)+x=3(3x+1) D.(x-1)+x=3(x+1)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 解含分母的一元一次方程(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12例5强化)解方程:
(1)(2024·滨州中考)=;
(2)=-3.
【自主解答】(1)去分母,得2(2x-1)=3(x+1),
去括号,得4x-2=3x+3,
移项,得4x-3x=3+2,
合并同类项,得x=5.
(2)=-3,
去分母,得7(1-2x)=3(3x+1)-63,
去括号,得7-14x=9x+3-63,
移项,得-14x-9x=3-63-7,
合并同类项,得-23x=-67,
系数化为1,得x=.
【举一反三】
1.(2024·长沙模拟)下列方程变形中,错误的是(B)
A.2x+6=0变形为2x=-6
B.-=变形为-x+1=1
C.-2(x-4)=2变形为x-4=-1
D.=x+2变形为x+3=4+2x
2.下面是某位同学解方程-=1的解题过程,该解题过程最先出现错误的步骤是(A)
去分母,得2(2x+1)-(x-2)=1(第一步) 去括号,得4x+2-x+2=1(第二步) 移项、合并同类项,得3x=-3(第三步) 系数化为1,得x=-1(第四步)
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.(2024·重庆模拟)解方程:
(1)+=-;
(2)=-1.
【解析】(1)+=-,
去分母得,5(x-5)+2x=-4,
去括号得,5x-25+2x=-4,
移项、合并同类项得,7x=21,
系数化为1得,x=3.
(2)=-1,
去分母得,4(x+1)=5(x-1)-6,
去括号得,4x+4=5x-5-6,
移项、合并同类项得,-x=-15,
系数化为1得,x=15.
【技法点拨】
解含分数系数的方程的注意事项
1.方程两边都乘分母的最小公倍数,注意整数别漏乘.
2.当分母为小数时,利用分数的性质转化为整数,再去分母.
重点2 一元一次方程的简单应用(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P15例7变式)2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”,某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动,志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A,B两款精美的钥匙扣进行售卖.已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元.若某外地游客购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元,求A,B款钥匙扣每个的价格.
【自主解答】设A款钥匙扣每个的价格为x元,则B款钥匙扣每个的价格为(x+7)元,
由题意得:5x+3(x+7)=85,
解得x=8,所以x+7=8+7=15.
答:A款钥匙扣每个的价格为8元,B款钥匙扣每个的价格为15元.
【举一反三】
1.(2024·张家界模拟)在一次美化校园活动中,先安排34人去拔草,18人去植树,后又增派20人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的2倍,问支援拔草和支援植树的分别有多少人 若设支援拔草的有x人,则下列方程中正确的是(B)
A.34+x=2×18 B.34+x=2(38-x)
C.34-x=2(18+x) D.34-x=2×18
2.(2024·宜宾中考)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的天数是(D)
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
3.如图,线段AB=12厘米,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点.
(1)求AD的长.
(2)两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,D两点同时相向而行,甲的速度为1厘米/秒,乙的速度为2厘米/秒.问题:多少秒后甲、乙相遇
【解析】(1)因为点C是线段AB的中点,AB=12厘米,所以AC=CB=AB=6厘米,
又因为点D是线段BC的中点,
所以CD=CB=3厘米,
所以AD=AC+CD=6+3=9(厘米).
(2)设x秒后甲、乙相遇 ,
x+2x=9,解得x=3,
答:3秒后甲、乙相遇.
4.某眼镜厂要制作一批眼镜,已知该工厂共有88名工人,其中女工人数比男工人数的2倍少20人,并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片.
(1)该工厂有男工、女工各多少人
(2)该工厂原计划男工负责制作镜架,女工负责制作镜片,一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜,如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套,那么要调多少名女工帮男工制作镜架
【解析】(1)设该工厂有男工x人,则女工有(2x-20)人.
由题意得x+2x-20=88,
解得x=36,
所以女工有2×36-20=52(人).
答:该工厂有男工36人,女工52人.
(2)设调y名女工帮男工制作镜架.
由题意得50×(36+y)×2=120×(52-y),
解得y=12.
答:如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套,要调12名女工帮男工制作镜架.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)方程6+=去分母正确的是(C)
A.6+2x=3(8-2x)
B.18+2x=3(8-2x)
C.36+2x=3(8-2x)
D.36+2x=2(8-2x)
2.(3分·抽象能力、运算能力)数学课上,小明和小颖对一道应用题进行了合作探究.
一列火车匀速行驶,经过一条长为1 000米的隧道需要50秒,整列火车完全在隧道里的时间是30秒,求火车的长度.请补全小明的探究过程:设火车的长度为x米,则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为(1 000+x)米,所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒;由题意,火车的平均速度还可以表示为 米/秒.再根据火车的平均速度不变,试列方程求解这火车的长度.
3.(4分·模型观念、应用意识)关于x的方程ax=2(a≠0)的解是 x= .
4.(4分·抽象能力、运算能力)在解关于x的方程=-2时,小颖在去分母的过程中,右边的“-2”漏乘了公分母15,因而求得方程的解为x=4,则方程正确的解是 x=-10 .
5.(6分·运算能力)解方程:
(1)2x-7=5-4(2-x);
(2)x-2=.
【解析】(1)2x-7=5-4(2-x),
去括号,得2x-7=5-8+4x,
移项,得2x-4x=5-8+7,
合并同类项,得-2x=4,
系数化为1,得x=-2.
(2)x-2=,
去分母,得2x-12=3(x+1),
去括号,得2x-12=3x+3,
移项,得2x-3x=3+12,
合并同类项,得-x=15,
系数化为1,得x=-15.2.解一元一次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一元一次方程的定义,能够阐述,并能够用一元一次方程的定义解决问题 抽象能力,运算能力
2.探索含有括号的一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤,并体会解方程中的化归思想 运算能力、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.一元一次方程的定义
方程中只含有 个未知数、左右两边都是 ,并且含未知数的项的次数都是 .
2.解含有括号的一元一次方程的一般步骤:
(1) ;(2) 移项;
(3) ;(4)系数化为1.
对点小练
解方程3-(x-6)=5(x-1)时,去括号正确的是( )
A.3-x+6=5x+5 B.3-x-6=5x+1
C.3-x+6=5x-5 D.3-x-6=5x-1
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 一元一次方程的定义(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P11定义拓展)已知:方程(m-3)x|m|-2+3=m-6是关于x的一元一次方程,求m的值.
【举一反三】
1.(2024·金华模拟)下列是一元一次方程的是( )
A.xy=12 B.x+4=
C.6x=0 D.2x=2(x-3)
2.若(m-1)x+1=0是关于x的一元一次方程,则m的值可以是 .
3.若x|m-2|=5是关于x的一元一次方程,则m= .
【技法点拨】
一元一次方程的四要素
1.等式;
2.整式;
3.只含有1个未知数;
4.未知数的次数为1.
重点2 解含有括号的一元一次方程(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P12例4拓展)解方程:(1)5(12+5x)-4=8-(12+5x).
(2)2(x+2)+1=7-2(x-1).
【举一反三】
1.(2024·金华模拟)已知-2(2-x)+(1+x)=0,则代数式2x2-7的值是( )
A.-5 B.5 C.1 D.-1
2.当x= 时,代数式3-2x与1-5x的差是-4.
3.(2024·新疆中考)解方程:2(x-1)-3=x.
【技法点拨】
去括号需要注意的两点
(1)符号 当括号外面的因数为负数时,去掉括号后,括号内的每一项都要改变符号
(2)漏乘 去括号时括号内的每一项都要乘以外面的因数
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)下列方程为一元一次方程的为( )
A.150(12+x)=240x
B.240(12+x)=150y
C.150(x-)=240
D.240(x2-12)=150
2.(3分·抽象能力、运算能力)如果方程x2n-7-=1是关于x的一元一次方程,那么n的值为( )
A.2 B.4 C.3 D.1
3.(4分·抽象能力、运算能力)设M=2y-2,N=3y+1,且M-2N=4,则M+N的值是 .
4.(4分·模型观念、应用意识)已知a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算:=ad-bc,那么当=18时,x= .
5.(6分·抽象能力、运算能力)已知方程2(x-6)=-16的解同时也是方程a2(x+3)=a+x的解,求a2-a+1的值.2.解一元一次方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会去分母解一元一次方程 运算能力、推理能力
2.掌握一元一次方程解法的一般步骤,体会解方程中化归和程序化的思想方法
3.通过列方程,进一步体会模型思想
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
解一元一次方程的一般步骤: →去括号→ →合并同类项→ .
对点小练
在解方程+x=时,去分母正确的是( )
A.2x-1+6x=3(3x+1) B.2(x-1)+6x=3(3x+1)
C.2(x-1)+x=3(3x+1) D.(x-1)+x=3(x+1)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 解含分母的一元一次方程(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12例5强化)解方程:
(1)(2024·滨州中考)=;
(2)=-3.
【举一反三】
1.(2024·长沙模拟)下列方程变形中,错误的是( )
A.2x+6=0变形为2x=-6
B.-=变形为-x+1=1
C.-2(x-4)=2变形为x-4=-1
D.=x+2变形为x+3=4+2x
2.下面是某位同学解方程-=1的解题过程,该解题过程最先出现错误的步骤是( )
去分母,得2(2x+1)-(x-2)=1(第一步) 去括号,得4x+2-x+2=1(第二步) 移项、合并同类项,得3x=-3(第三步) 系数化为1,得x=-1(第四步)
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.第四步
3.(2024·重庆模拟)解方程:
(1)+=-;
(2)=-1.
【技法点拨】
解含分数系数的方程的注意事项
1.方程两边都乘分母的最小公倍数,注意整数别漏乘.
2.当分母为小数时,利用分数的性质转化为整数,再去分母.
重点2 一元一次方程的简单应用(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P15例7变式)2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”,某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动,志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A,B两款精美的钥匙扣进行售卖.已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元.若某外地游客购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元,求A,B款钥匙扣每个的价格.
【举一反三】
1.(2024·张家界模拟)在一次美化校园活动中,先安排34人去拔草,18人去植树,后又增派20人去支援他们,结果拔草的人数是植树人数的2倍,问支援拔草和支援植树的分别有多少人 若设支援拔草的有x人,则下列方程中正确的是( )
A.34+x=2×18 B.34+x=2(38-x)
C.34-x=2(18+x) D.34-x=2×18
2.(2024·宜宾中考)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的天数是( )
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
3.如图,线段AB=12厘米,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点.
(1)求AD的长.
(2)两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,D两点同时相向而行,甲的速度为1厘米/秒,乙的速度为2厘米/秒.问题:多少秒后甲、乙相遇
4.某眼镜厂要制作一批眼镜,已知该工厂共有88名工人,其中女工人数比男工人数的2倍少20人,并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片120片.
(1)该工厂有男工、女工各多少人
(2)该工厂原计划男工负责制作镜架,女工负责制作镜片,一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜,如果要使每天制作的镜架与镜片恰好配套,那么要调多少名女工帮男工制作镜架
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)方程6+=去分母正确的是( )
A.6+2x=3(8-2x)
B.18+2x=3(8-2x)
C.36+2x=3(8-2x)
D.36+2x=2(8-2x)
2.(3分·抽象能力、运算能力)数学课上,小明和小颖对一道应用题进行了合作探究.
一列火车匀速行驶,经过一条长为1 000米的隧道需要50秒,整列火车完全在隧道里的时间是30秒,求火车的长度.请补全小明的探究过程:设火车的长度为x米,则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为(1 000+x)米,所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒;由题意,火车的平均速度还可以表示为 米/秒.再根据火车的平均速度不变,试列方程求解这火车的长度.
3.(4分·模型观念、应用意识)关于x的方程ax=2(a≠0)的解是 .
4.(4分·抽象能力、运算能力)在解关于x的方程=-2时,小颖在去分母的过程中,右边的“-2”漏乘了公分母15,因而求得方程的解为x=4,则方程正确的解是 .
5.(6分·运算能力)解方程:
(1)2x-7=5-4(2-x);
(2)x-2=.
