6.2 二元一次方程组的解法
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过比较代入消元法与加减消元法的解题过程,能够灵活选择合适的方法解二元一次方程组 抽象能力、模型观念
2.能够解决二元一次方程组的实际应用问题 应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.代入消元法与加减消元法 代入消元法与加减消元法都是通过消元的方法将二元一次方程组转化成一元一次方程进行求解. 1.已知方程组,则x+y的值为(C) A.4 B.5 C.3 D.6
2.列方程组解决实际问题 2.小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地,已知A,B两地之间的距离为10 km,小明骑自行车的速度是13 km/h,小强骑自行车的速度是8 km/h,若小强先出发15 min,则小明追上小强时,两人距离B地(A) A.4.8 km B.5.2 km C.3.6 km D.6 km
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】二元一次方程组的解法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P40习题6.2T1拓展)解下列方程组:
(1);(2).
【自主解答】(1),
把①代入②,得:3(y+1)-4y=-2,解得:y=5,
把y=5代入①,得:x=5+1=6,
∴方程组的解是;
(2)整理得,①+②,得:6x=18,解得:x=3,②-①,得:4y=2,
解得:y=,∴方程组的解是.
【举一反三】
1.二元一次方程组的解是(D)
A. B. C. D.
2.已知x,y是二元一次方程组的解,那么x-y的值是 2 .
【技法点拨】
代入消元法与加减消元法的选择技巧
1.如果方程中含有系数为±1的未知数,则优先选择代入消元法;
2.如果方程中未知数的系数都不为1,优先选择加减消元法;
3.当待求式子为多项式时,通常将两个方程直接加减.
【重点2】二元一次方程组的应用(抽象能力、运算能力)
【典例2】一道习题:
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡每小时走5 km,那么从甲地到乙地需54 min,从乙地到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少
根据以上条件,下列解题思路或结论说法正确的有 ①②④ .
①设上坡路长x km,平路长y km,可列方程组.
②根据条件,能求出甲地到乙地的全程是3.1 km.
③列算式(54-42)÷(5-3)即可求出上坡路长.
④设上坡路长x km,可列方程-=-.
【举一反三】
1.打折前,买60件A商品和30件B商品用了1 080元,买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了9 600元,比不打折少花(C)
A.200元 B.300元 C.400元 D.500元
2.街道为环卫工人发放口罩,如果每人发5个,还剩下3个,如果每人发6个,还缺5个,则一共有 8 名环卫工人.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·应用意识、运算能力)甲、乙二人分别从相距40 km的A,B两地出发,相向而行,如果甲比乙早出发1 h,那么乙出发后2 h,他们相遇;如果他们同时出发,那么2.5 h后,两人相距5 km,则甲由A地到B地需要(D)
A. h B.20 h
C.10 h或20 h D. h或10 h
2.(4分·抽象能力、运算能力)已知单项式x3ym-2n与-2x2m+ny4是同类项,则3m-n的值为(A)
A.7 B.5 C.3 D.1
3.(4分·应用意识、运算能力)如图所示的两台天平均能保持平衡,已知每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 20 g,30 g .
4.(8分·抽象能力、运算能力)关于x,y的方程组的解满足x=3,y=6,
(1)求k的值.
(2)化简|k+5|+|k-3|.
【解析】(1)将x=3,y=6代入得:,
解得:k=2;
(2)把k=2代入|k+5|+|k-3|得
原式=|2+5|+|2-3|
=7+1
=8.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十一”6.2 二元一次方程组的解法
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能通过等式的性质将两个方程化为一个未知数的系数相同或互为相反数的形式 抽象能力、模型观念
2.能够用加减消元法解二元一次方程组 运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.(1)当二元一次方程组中同一个未知数的系数相等时,把这两个方程 ,就可以消去这个未知数. (2)当二元一次方程组中同一个未知数的系数互为相反数时,把这两个方程 ,就可以消去这个未知数. 1.二元一次方程组的解为( ) A. B. C. D.
2.用加减消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 加减 求解 回代 写解将方程的两边乘适当的数使两个方程的同一个未知数的系数 或互为相反数 若方程组中同一个未知数的系数相等,则把两个方程 ;若系数互为相反数,则把两个方程 消去一个未知数,把二元一次方程变为一元一次方程解消元后的一元一次方程求出其中一个未知数的值把其中一个未知数的值代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立写出方程组的解
2.(1)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中能消元的是( ) A.①×2+② B.①×(-2)-② C.①×(-3)+② D.①×3+② (2)用加减消元法解方程组,最简单的方法是( ) A.①×3-②×2 B.①×3+②×2 C.①+②×2 D.②×2-① (3)下列各组数是二元一次方程组的解的是( ) A. B. C. D.
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】直接加减解二元一次方程组(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P35例3强化)
(1)(2024·广西中考)解方程组:.
(2)(2024·苏州中考)解方程组:.
【举一反三】
1.若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x-3y=10的解,则k的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.如果实数m,n满足方程组,那么m-2n= .
3.若二元一次方程组的解满足x+y=10,试求m的值.
【技法点拨】
适用直接加减法的方程特点
1.某未知数的系数相同或相反;
2.待求为多项式时,将方程组两方程直接相加减,凑出待求多项式的倍数.
【重点2】加减法解较复杂的二元一次方程组(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P37例5强化)
解下列方程组:
(1); (2).
【举一反三】
1.解方程组时,将①+②×2消去y,得到的方程正确的是( )
A.2x=6 B.2x=15
C.5x=6 D.5x=15
2.关于x,y的二元一次方程组的解为( )
A. B.
C. D.
3.解二元一次方程组:.
【技法点拨】
加减消元法解二元一次方程组的基本步骤
1.确定要消的元:两个相同未知数的系数成倍数关系,则为要优先消的未知数;
2.将两个相同未知数的系数化成相同或相反数;
3.将变形后的等式与第二个等式直接相加减,消元,解一元一次方程.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)已知x,y满足方程组,则代数式x-y的值是( )
A.3 B.1 C.-3 D.-1
2.(3分·抽象能力、运算能力)关于x,y的二元一次方程组的解是,则a+b的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.(4分·应用意识、运算能力)若关于x,y的方程组的解满足x+y=9,则m的值为 .
4.(4分·运算能力、应用意识)已知方程2x2m-n-4+y3m+4n-1=1是关于x,y的二元一次方程,则m= ,n= .
5.(6分·抽象能力、运算能力)解下列二元一次方程组:
(1); (2).6.2 二元一次方程组的解法
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能通过等式的性质将两个方程化为一个未知数的系数相同或互为相反数的形式 抽象能力、模型观念
2.能够用加减消元法解二元一次方程组 运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.(1)当二元一次方程组中同一个未知数的系数相等时,把这两个方程 相减 ,就可以消去这个未知数. (2)当二元一次方程组中同一个未知数的系数互为相反数时,把这两个方程 相加 ,就可以消去这个未知数. 1.二元一次方程组的解为(C) A. B. C. D.
2.用加减消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 加减 求解 回代 写解将方程的两边乘适当的数使两个方程的同一个未知数的系数 相等 或互为相反数 若方程组中同一个未知数的系数相等,则把两个方程 相减 ;若系数互为相反数,则把两个方程 相加 消去一个未知数,把二元一次方程变为一元一次方程解消元后的一元一次方程求出其中一个未知数的值把其中一个未知数的值代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立写出方程组的解
2.(1)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中能消元的是(D) A.①×2+② B.①×(-2)-② C.①×(-3)+② D.①×3+② (2)用加减消元法解方程组,最简单的方法是(D) A.①×3-②×2 B.①×3+②×2 C.①+②×2 D.②×2-① (3)下列各组数是二元一次方程组的解的是(C) A. B. C. D.
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】直接加减解二元一次方程组(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P35例3强化)
(1)(2024·广西中考)解方程组:.
(2)(2024·苏州中考)解方程组:.
【自主解答】(1),
①+②,得2x=4,解得x=2;
①-②,得4y=2,解得y=;
∴方程组的解为;
(2),①—②得,4y=4,解得,y=1.将y=1代入①得x=3.
∴方程组的解是.
【举一反三】
1.若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x-3y=10的解,则k的值为(A)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.如果实数m,n满足方程组,那么m-2n= 8 .
3.若二元一次方程组的解满足x+y=10,试求m的值.
【解析】∵的解满足x+y=10,
∴,
则①-②得y+4y=12,解得y=2.4,
把y=2.4代入x+y=10,得出x=7.6,
则把y=2.4和x=7.6代入3x-2y=m+1,
得3×7.6-2×2.4=m+1,
解得m=17.
【技法点拨】
适用直接加减法的方程特点
1.某未知数的系数相同或相反;
2.待求为多项式时,将方程组两方程直接相加减,凑出待求多项式的倍数.
【重点2】加减法解较复杂的二元一次方程组(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P37例5强化)
解下列方程组:
(1); (2).
【自主解答】(1),
①+②×3得,2x+12x=1-15,
解得:x=-1,
将x=-1代入①得,-2+3y=1,
解得:y=1,∴原方程组的解为;
(2),整理可得:,
由①×2-②得:x=-10,
将x=-10代入①得:-20+y=1,
解得:y=21,∴原方程组的解为.
【举一反三】
1.解方程组时,将①+②×2消去y,得到的方程正确的是(D)
A.2x=6 B.2x=15
C.5x=6 D.5x=15
2.关于x,y的二元一次方程组的解为(D)
A. B.
C. D.
3.解二元一次方程组:.
【解析】方程组整理得,
①+②×5得:21x=-21,
∴x=-1,
将x=-1代入②得:-3+y=-5,
∴y=-2,
∴方程组的解是.
【技法点拨】
加减消元法解二元一次方程组的基本步骤
1.确定要消的元:两个相同未知数的系数成倍数关系,则为要优先消的未知数;
2.将两个相同未知数的系数化成相同或相反数;
3.将变形后的等式与第二个等式直接相加减,消元,解一元一次方程.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)已知x,y满足方程组,则代数式x-y的值是(C)
A.3 B.1 C.-3 D.-1
2.(3分·抽象能力、运算能力)关于x,y的二元一次方程组的解是,则a+b的值为(B)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.(4分·应用意识、运算能力)若关于x,y的方程组的解满足x+y=9,则m的值为 6 .
4.(4分·运算能力、应用意识)已知方程2x2m-n-4+y3m+4n-1=1是关于x,y的二元一次方程,则m= 2 ,n= -1 .
5.(6分·抽象能力、运算能力)解下列二元一次方程组:
(1); (2).
【解析】(1),
②-①×3得:x=18-15=3,
将x=3代入①得:2×3-y=5,
解得:y=1,
故原方程组的解为;
(2)原方程组,
分别去分母和去括号,
整理得,
①+②×5得:46y=46,
解得:y=1,
将y=1代入①得:5x+1=36,
解得:x=7,
故原方程组的解为.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十”6.2 二元一次方程组的解法
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过比较代入消元法与加减消元法的解题过程,能够灵活选择合适的方法解二元一次方程组 抽象能力、模型观念
2.能够解决二元一次方程组的实际应用问题 应用意识、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.代入消元法与加减消元法 代入消元法与加减消元法都是通过消元的方法将二元一次方程组转化成一元一次方程进行求解. 1.已知方程组,则x+y的值为( ) A.4 B.5 C.3 D.6
2.列方程组解决实际问题 2.小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地,已知A,B两地之间的距离为10 km,小明骑自行车的速度是13 km/h,小强骑自行车的速度是8 km/h,若小强先出发15 min,则小明追上小强时,两人距离B地( ) A.4.8 km B.5.2 km C.3.6 km D.6 km
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】二元一次方程组的解法(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P40习题6.2T1拓展)解下列方程组:
(1);(2).
【举一反三】
1.二元一次方程组的解是( )
A. B. C. D.
2.已知x,y是二元一次方程组的解,那么x-y的值是 .
【技法点拨】
代入消元法与加减消元法的选择技巧
1.如果方程中含有系数为±1的未知数,则优先选择代入消元法;
2.如果方程中未知数的系数都不为1,优先选择加减消元法;
3.当待求式子为多项式时,通常将两个方程直接加减.
【重点2】二元一次方程组的应用(抽象能力、运算能力)
【典例2】一道习题:
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡每小时走5 km,那么从甲地到乙地需54 min,从乙地到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少
根据以上条件,下列解题思路或结论说法正确的有 .
①设上坡路长x km,平路长y km,可列方程组.
②根据条件,能求出甲地到乙地的全程是3.1 km.
③列算式(54-42)÷(5-3)即可求出上坡路长.
④设上坡路长x km,可列方程-=-.
【举一反三】
1.打折前,买60件A商品和30件B商品用了1 080元,买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了9 600元,比不打折少花( )
A.200元 B.300元 C.400元 D.500元
2.街道为环卫工人发放口罩,如果每人发5个,还剩下3个,如果每人发6个,还缺5个,则一共有 名环卫工人.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·应用意识、运算能力)甲、乙二人分别从相距40 km的A,B两地出发,相向而行,如果甲比乙早出发1 h,那么乙出发后2 h,他们相遇;如果他们同时出发,那么2.5 h后,两人相距5 km,则甲由A地到B地需要( )
A. h B.20 h
C.10 h或20 h D. h或10 h
2.(4分·抽象能力、运算能力)已知单项式x3ym-2n与-2x2m+ny4是同类项,则3m-n的值为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
3.(4分·应用意识、运算能力)如图所示的两台天平均能保持平衡,已知每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 .
4.(8分·抽象能力、运算能力)关于x,y的方程组的解满足x=3,y=6,
(1)求k的值.
(2)化简|k+5|+|k-3|.6.2 二元一次方程组的解法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过等式的基本性质可以将二元一次方程进行转化,用一个未知数表示另一个未知数 抽象能力、模型观念
2.通过消元思想的应用,学会用代入法解二元一次方程组 运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.消元思想:将未知数的个数 、逐一解决的思想. 1.解关于x,y的二元一次方程组,将①代入②,消去y后所得到的方程是( ) A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8 C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2.用代入消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 代入 求解 回代 写解选取一个系数简单的方程变形,用 表示 变形为“y=ax+b”或“x=ay+b”的形式(a,b是常数,a≠0)把“y=ax+b”或“x=ay+b”代入没有变形的方程消去一个未知数解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值把求得的未知数的值代入步骤“变形”后的方程中求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立求出方程组的解
2.(1)已知二元一次方程2x+y=2,用含x的代数式表示y,正确的是( ) A.x= B.x= C.y=2-2x D.y=2+2x (2)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是( ) A.2x-3x-6=4 B.2x+3x-2=4 C.2x-3x+6=4 D.2x+3x-6=4 (3)用代入消元法解二元一次方程组,下列变形错误的是( ) A.由①,得x= B.由②,得y= C.由①,得y= D.由②,得x=
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】直接代入解二元一次方程组(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P33例1拓展)解下列方程组:(1); (2).
【举一反三】
1.用代入法解方程组时,将②代入①正确的是( )
A.x-2x=6 B.2y+y=6
C.x+2x=6 D.y+y=6
2.已知2xby3a与-3x2ay5-b是同类项,则a= ,b= .
【重点2】用代入法解系数不为1的二元一次方程组(应用意识、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P34例2强化)解方程组:(1);(2).
【举一反三】
1.把2x-3y=1变形成用x表示y的形式为( )
A.y= B.y=
C.x= D.x=
2.方程组的解为 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用代入消元法解关于x,y的方程组时,将方程①代入方程②正确的是( )
A.2(4y-3)-3y=-1 B.4y-3-3y=-1
C.4y-3-3y=1 D.2(4y-3)-3y=1
2.(3分·应用意识、运算能力)已知x与y互为相反数,并且2x-y=6,则代数式x+2y= .
3.(3分·抽象能力、运算能力)方程组的解为 .
4.(3分·运算能力、应用意识)已知关于x,y的方程组,用含有x的式子表示y,可得y= .
5.(8分·运算能力)解下列方程组:
(1);(2).6.2 二元一次方程组的解法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过等式的基本性质可以将二元一次方程进行转化,用一个未知数表示另一个未知数 抽象能力、模型观念
2.通过消元思想的应用,学会用代入法解二元一次方程组 运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.消元思想:将未知数的个数 由多化少 、逐一解决的思想. 1.解关于x,y的二元一次方程组,将①代入②,消去y后所得到的方程是(D) A.3x-x-5=8 B.3x+x-5=8 C.3x+x+5=8 D.3x-x+5=8
2.用代入消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 代入 求解 回代 写解选取一个系数简单的方程变形,用 一个未知数 表示 另一个未知数 变形为“y=ax+b”或“x=ay+b”的形式(a,b是常数,a≠0)把“y=ax+b”或“x=ay+b”代入没有变形的方程消去一个未知数解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值把求得的未知数的值代入步骤“变形”后的方程中求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立求出方程组的解
2.(1)已知二元一次方程2x+y=2,用含x的代数式表示y,正确的是(C) A.x= B.x= C.y=2-2x D.y=2+2x (2)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是(D) A.2x-3x-6=4 B.2x+3x-2=4 C.2x-3x+6=4 D.2x+3x-6=4 (3)用代入消元法解二元一次方程组,下列变形错误的是(B) A.由①,得x= B.由②,得y= C.由①,得y= D.由②,得x=
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】直接代入解二元一次方程组(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P33例1拓展)解下列方程组:(1); (2).
【自主解答】(1),①代入②,可得:2x+(x+1)=4,解得x=1,
把x=1代入①,解得y=1+1=2,
∴原方程组的解是;
(2),将②变形可得x=2y-1,代入①可得3(2y-1)+y=1,
解得y=,把y=代入①,
解得x=,∴原方程组的解是.
【举一反三】
1.用代入法解方程组时,将②代入①正确的是(C)
A.x-2x=6 B.2y+y=6
C.x+2x=6 D.y+y=6
2.已知2xby3a与-3x2ay5-b是同类项,则a= 1 ,b= 2 .
【重点2】用代入法解系数不为1的二元一次方程组(应用意识、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P34例2强化)解方程组:(1);(2).
【解析】(1),将①变形为3x+2=2y③,把③代入②得:4x-(3x+2)=10,
解得x=12,
把x=12代入①得:y=19,
∴原方程组的解为.
(2),将①变形为x=③,
把③代入②得:3y+y=2×,
解得:y=-,
把y=-代入①中得:x=-,
∴原方程组的解为.
【举一反三】
1.把2x-3y=1变形成用x表示y的形式为(A)
A.y= B.y=
C.x= D.x=
2.方程组的解为 .
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用代入消元法解关于x,y的方程组时,将方程①代入方程②正确的是(D)
A.2(4y-3)-3y=-1 B.4y-3-3y=-1
C.4y-3-3y=1 D.2(4y-3)-3y=1
2.(3分·应用意识、运算能力)已知x与y互为相反数,并且2x-y=6,则代数式x+2y= -2 .
3.(3分·抽象能力、运算能力)方程组的解为 .
4.(3分·运算能力、应用意识)已知关于x,y的方程组,用含有x的式子表示y,可得y= 2x+3 .
5.(8分·运算能力)解下列方程组:
(1);(2).
【解析】(1),
将①代入②得:4(150-2y)+3y=300,
解得:y=60,
将y=60代入①得:x=150-2×60,
解得:x=30,
∴原方程组的解为;
(2),
将①代入②得,3×2y+2y=16,
解得:y=2,
将y=2代入①得,x=4,
∴原方程组的解为.
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