6.4 实践与探索
课时学习目标 素养目标达成
1.能够用二元一次方程组表示实际问题中的关系量,并求解未知数的值 抽象能力、模型观念
2.掌握常见问题的常用公式,能够描述,并能够用公式将应用问题中的量构建等式 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
列方程组常用的等量关系 (1)面积问题:①长方形的面积= 长×宽 ; ②正方形的面积= 边长 × 边长 ; ③圆的面积=(半径长)2×π. (2)工程问题: 工作量=工作时间× 工作效率 . 2024年元旦期间,小华和家人到汾河公园景区游玩,湖边有大小两种游船,小华发现:2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人,1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人.则1艘大船可以满载游客的人数为(D) A.15 B.16 C.17 D.18
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】配套问题(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P45问题1拓展)某工厂现有15 m3木料,准备制作圆桌或方桌,用部分木料制作桌面,其余木料制作桌腿.
(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成,1 m3木料可制作40个桌面或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套,则制作桌面的木料为多少
(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.如果1 m3木料可制作50个桌面或制作300条桌腿,应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套
【解析】(1)设用x m3木料制作桌面,则用(15-x)m3木料制作桌腿恰好配套,由题意得:
40x=20(15-x),
解得:x=5,
答:制作桌面的木料为5 m3.
(2)设用a m3木料制作桌面,则用(15-a)m3木料制作桌腿恰好配套,由题意得:
4×50a=300(15-a),解得:a=9,
∴制作桌腿的木料为:15-9=6(m3).
答:用9 m3木料制作桌面,用6 m3木料制作桌腿恰好配套.
【举一反三】
1.(2024·衢州模拟)一工坊用铁皮制作糖果盒,每张铁皮可制作盒身20个,或制作盒底30个,一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒.现有35张铁皮,设用x张制作盒身,y张制作盒底,恰好配套制成糖果盒,则下列方程组中符合题意的是(B)
A. B.
C. D.
2.近年来,云南昆明不断完善全民健身公共服务体系,随着滇池绿道的建造,“15分钟健身圈”逐步形成,把“健身房”建在市民身边,让体育更好地融入生活.某工厂生产一批“太空漫步器”(如图).每套设备由3根立柱和4个脚踏板组装而成;工厂现共有40名工人,每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板,应如何分配工人才能使每天生产的立柱和脚踏板恰好配套
【解析】设安排x人生产立柱,则安排(40-x)人生产脚踏板,由题意得4×36x=3×48(40-x),
解得x=20,40-x=20,答:安排20人生产立柱,20人生产脚踏板恰好配套.
【重点2】几何图形及其他问题(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P46问题2变式)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,已知3张凳子叠放在一起的高度是41.4 cm,5张凳子叠放在一起的高度是48.2 cm,请你完成以下问题:
(1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度;
(2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时,总高度是多少厘米
【解析】(1)设一张凳子中凳脚的高度是x cm,凳面的高度是y cm,
根据题意得,
解得.
答:一张凳子中凳脚的高度是31.2 cm,凳面的高度是3.4 cm;
(2)根据题意得:31.2+3.4×20
=31.2+68
=99.2(cm).
答:总高度是99.2 cm.
【举一反三】
1.(2024·张家界模拟)如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形,则图中阴影部分的面积为(A)
A.54 B.27 C.216 D.108
2.甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,反向而行,每隔2 min相遇一次;如果同时同地出发,同向而行,每隔6 min相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲每分钟跑 圈.
3.如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形.
(1)若a=20,b=4,分别求S1,S2的面积;
(2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开,重新拼成图2的长方形,且长为30,宽为15,求S1∶S2的值.
【解析】(1)由题意得:S1=a(a-b)=20×(20-4)=320,
S2=b(a-b)=4×(20-4)=64.
(2)由题意得:a+b=30,a-b=15,
∴a=,b=,
由(1)得S1=a(a-b),S2=b(a-b),
∴S1∶S2=a∶b=3∶1.
4.某大学食堂为学生免费制作香甜辣椒酱和超级辣椒酱,具体配方如下:
香甜辣椒酱 产量:1 kg 400 g番茄酱 5个青辣椒 切块 4个红辣椒 去籽并切块 超级辣椒酱 产量:1 kg 400 g番茄酱 4个青辣椒 切块 8个红辣椒 去籽并切块
该食堂购进了1 050个青辣椒和1 200个红辣椒
(1)如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱,各自最多能制作多少千克
(2)若购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉,则可制作两种辣椒酱各多少千克
【解析】(1)只制作香甜辣椒酱:
∵1 050÷5=210,1 200÷4=300,210<300,
∴最多可制作香甜辣椒酱210 kg;
只制作超级辣椒酱:
∵1 050÷4=262.5,1 200÷8=150,262.5>150,∴最多可制作超级辣椒酱150 kg;
答:如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱,最多可制作香甜辣椒酱210 kg或最多可制作超级辣椒酱150 kg;
(2)设制作香甜辣椒酱、超级辣椒酱分别为x kg,y kg,则解得,
答:购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉,可制作香甜辣椒酱150 kg、超级辣椒酱75 kg.
【技法点拨】
列方程组解应用题五点注意
(1)弄清各种题型中基本量之间的关系;
(2)审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;
(3)在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含条件;
(4)注意解题过程中单位的书写;
(5)一定要注意检验.
特别提醒
如果a件甲产品与b件乙产品配成一套,则甲产品数量∶乙产品数量=a∶b.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)在3月12日植树节这天,小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动,小刚平均每小时比小敏多植1棵树,小刚植树3小时,小敏植树2小时,两人一共植树18棵.设小刚平均每小时植树x棵,小敏平均每小时植树y棵,那么根据题意,下列所列方程组中,正确的是(D)
A. B.
C. D.
2.(3分·抽象能力、运算能力·2024·兰州中考)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一,书中记载着这样一个问题,大意是:999文钱买了甜果和苦果共1 000个,11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果,问甜果、苦果各买了多少个 设买了甜果x个,苦果y个,则可列方程组为(A)
A. B.
C. D.
3.(3分·抽象能力、运算能力)利用边长为x的正方形和两边长为m,n的长方形,构造出如图所示的两个大正方形,则x的值为(D)
A. B.25 C. D.30
4.(3分·模型观念、应用意识)中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界.某瓷器厂一车间有14名工人,每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯,1只茶壶需要配4只茶杯,为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套,该车间应安排 6 名工人加工茶壶.
5.(8分·应用意识、运算能力·2024·山西中考)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
【解析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克,
根据题意得:,解得:,
答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十三”6.4 实践与探索
课时学习目标 素养目标达成
1.能够用二元一次方程组表示实际问题中的关系量,并求解未知数的值 抽象能力、模型观念
2.掌握常见问题的常用公式,能够描述,并能够用公式将应用问题中的量构建等式 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
列方程组常用的等量关系 (1)面积问题:①长方形的面积= ; ②正方形的面积= × ; ③圆的面积=(半径长)2×π. (2)工程问题: 工作量=工作时间× . 2024年元旦期间,小华和家人到汾河公园景区游玩,湖边有大小两种游船,小华发现:2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人,1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人.则1艘大船可以满载游客的人数为( ) A.15 B.16 C.17 D.18
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】配套问题(应用意识、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P45问题1拓展)某工厂现有15 m3木料,准备制作圆桌或方桌,用部分木料制作桌面,其余木料制作桌腿.
(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成,1 m3木料可制作40个桌面或制作20条桌腿.要使制作出的桌面、桌腿恰好配套,则制作桌面的木料为多少
(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.如果1 m3木料可制作50个桌面或制作300条桌腿,应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套
【举一反三】
1.(2024·衢州模拟)一工坊用铁皮制作糖果盒,每张铁皮可制作盒身20个,或制作盒底30个,一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒.现有35张铁皮,设用x张制作盒身,y张制作盒底,恰好配套制成糖果盒,则下列方程组中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
2.近年来,云南昆明不断完善全民健身公共服务体系,随着滇池绿道的建造,“15分钟健身圈”逐步形成,把“健身房”建在市民身边,让体育更好地融入生活.某工厂生产一批“太空漫步器”(如图).每套设备由3根立柱和4个脚踏板组装而成;工厂现共有40名工人,每人每天平均生产36根立柱或48个脚踏板,应如何分配工人才能使每天生产的立柱和脚踏板恰好配套
【重点2】几何图形及其他问题(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P46问题2变式)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起,已知3张凳子叠放在一起的高度是41.4 cm,5张凳子叠放在一起的高度是48.2 cm,请你完成以下问题:
(1)求一张凳子中凳脚、凳面的高度;
(2)当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时,总高度是多少厘米
【举一反三】
1.(2024·张家界模拟)如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形,则图中阴影部分的面积为( )
A.54 B.27 C.216 D.108
2.甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,反向而行,每隔2 min相遇一次;如果同时同地出发,同向而行,每隔6 min相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲每分钟跑 圈.
3.如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形.
(1)若a=20,b=4,分别求S1,S2的面积;
(2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开,重新拼成图2的长方形,且长为30,宽为15,求S1∶S2的值.
4.某大学食堂为学生免费制作香甜辣椒酱和超级辣椒酱,具体配方如下:
香甜辣椒酱 产量:1 kg 400 g番茄酱 5个青辣椒 切块 4个红辣椒 去籽并切块 超级辣椒酱 产量:1 kg 400 g番茄酱 4个青辣椒 切块 8个红辣椒 去籽并切块
该食堂购进了1 050个青辣椒和1 200个红辣椒
(1)如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱,各自最多能制作多少千克
(2)若购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉,则可制作两种辣椒酱各多少千克
【技法点拨】
列方程组解应用题五点注意
(1)弄清各种题型中基本量之间的关系;
(2)审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;
(3)在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含条件;
(4)注意解题过程中单位的书写;
(5)一定要注意检验.
特别提醒
如果a件甲产品与b件乙产品配成一套,则甲产品数量∶乙产品数量=a∶b.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)在3月12日植树节这天,小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动,小刚平均每小时比小敏多植1棵树,小刚植树3小时,小敏植树2小时,两人一共植树18棵.设小刚平均每小时植树x棵,小敏平均每小时植树y棵,那么根据题意,下列所列方程组中,正确的是( )
A. B.
C. D.
2.(3分·抽象能力、运算能力·2024·兰州中考)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一,书中记载着这样一个问题,大意是:999文钱买了甜果和苦果共1 000个,11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果,问甜果、苦果各买了多少个 设买了甜果x个,苦果y个,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
3.(3分·抽象能力、运算能力)利用边长为x的正方形和两边长为m,n的长方形,构造出如图所示的两个大正方形,则x的值为( )
A. B.25 C. D.30
4.(3分·模型观念、应用意识)中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界.某瓷器厂一车间有14名工人,每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯,1只茶壶需要配4只茶杯,为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套,该车间应安排 名工人加工茶壶.
5.(8分·应用意识、运算能力·2024·山西中考)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
