7.3 解一元一次不等式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元一次不等式的定义,并能够解决相应题目 抽象能力、模型观念
2.掌握一元一次不等式的解题步骤,并能够解一元一次不等式 应用意识、运算能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.下列各式中,是一元一次不等式的是(A) A.2x-3>0 B.2x-1>3y+4 C.2>-3 D.3y+2< 2.(2024·乐山中考)不等式x-2<0的解集是(A) A.x<2 B.x>2 C.x<-2 D.x>-2
重点典例研析
重点1一元一次不等式的定义(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P64定义拓展)下列式子中,是一元一次不等式的有哪些
(1)3x+5=0;(2)2x+3>5;(3)x<8;(4)≥2;(5)2x+y≤8.
【自主解答】(1)是等式;
(4)不等式的左边不是整式;(5)含有两个未知数,所以不是一元一次不等式.
所以一元一次不等式有(2)(3).
【举一反三】
1.(2024·义乌模拟)下列各式是一元一次不等式的有(B)
(1)3x+2>x-1;(2)5x+3<0;(3)+3<5x-1;(4)x(x-1)<2x.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若xm-1-1≥2是关于x的一元一次不等式,则m= 2 .
3.(2024·北京模拟)已知(m+2)x|m+3|-1>2是关于x的一元一次不等式,求m的值.
【解析】依题意得|m+3|=1,且m+2≠0,
∴m=-4.
重点2解一元一次不等式(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P66例3改编)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)6+4x>4;
(2)5x-2(x-2)<10.
【自主解答】(1)移项,得4x>4-6,合并同类项,得4x>-2,
两边都除以2,得x>-.
它在数轴上的表示如图所示.
(2)去括号,得5x-2x+4<10,
移项、合并同类项,得3x<6,
两边同时除以3,得x<2,
它在数轴上的表示如图所示.
【举一反三】
1.(2024·陕西中考)不等式2(x-1)≥6的解集是(D)
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
2.解不等式≥x-1,并将解集在数轴上表示出来.
【解析】≥x-1,1+x≥3x-3,
x-3x≥-3-1,-2x≥-4,x≤2.
在数轴上表示如图所示.
3.若m(a+2)n,求实数a的取值范围.
【解析】∵m(a+2)n,
∴a+2<0,解得a<-2.
答:实数a的取值范围为a<-2.
【技法点拨】
应用不等式的性质解不等式
1.在不等式两边同时加上一个适当的式子,使含未知数的项在不等式的左边,常数项在不等式的右边;
2.在不等式两边同时乘(除以)未知数的系数.
特别注意
应用性质3时不等号的方向改变.
素养当堂测评(10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)下列不等式中,属于一元一次不等式的是(C)
A.2>1 B.xC.3x≠1 D.>2
2.(3分·抽象能力、运算能力)在数轴上表示不等式3(x-2)<12的解集,正确的是(A)
3.(4分·抽象能力、运算能力)已知4-x3m<0是关于x的一元一次不等式,则m= .
4.(4分·抽象能力、运算能力·2024·烟台中考)关于x的不等式m-≤1-x有正数解,m的值可以是 0(答案不唯一) (写出一个即可).
5.(6分·抽象能力、运算能力)
解不等式:2x-34>7x-2.
【解析】2x-34>7x-2,移项,得2x-7x>-2+34,合并同类项,得-5x>32,
系数化为1,得x<-.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十六”7.3 解一元一次不等式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解不等式的实际意义,并能够根据实际问题中的量进行阐述 抽象能力、模型观念
2.能够分析出实际问题中的不等关系,根据实际问题中的不等关系列出不等式 应用意识、运算能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
列不等式解应用题的一般步骤: (1)审:分清已知量与未知量及其关系,找到题目中的 关系,要抓住题中“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键字及其含义. (2)设:设出适当的 . (3)列:根据题中的不等关系,列出 . (4)解:解这个 . (5)检验并作答. 某工程队计划在10天内修路6 km,施工前2天修完1.2 km后,计划发生变化,准备提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至少要修路( ) A.0.6 km B.0.8 km C.0.9 km D.1 km
重点典例研析
重点一元一次不等式的应用(抽象能力、模型观念)
【典例】据中国汽车工业协会统计分析,近年来中国新能源汽车产业发展迅猛,因其节能环保、经济实用,市场占有率持续提升,为了节省运营成本,某出租汽车公司近期计划将一批燃油车更换为新能源汽车,据了解,甲型新能源汽车比乙型新能源汽车的单价高1万元,购买2辆甲型新能源汽车和3辆乙型新能源汽车共需47万元.
(1)求甲型、乙型两种新能源汽车的单价.
(2)该公司决定本次购买以上两种新能源汽车共100辆,总费用不超过960万元,那么该公司最多购买甲型新能源汽车多少辆
【举一反三】
1.为方便电动汽车充电,李老师安装了家庭充电桩,该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为0.5元/度、0.3元/度,已知李老师的电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度,且每月充电所花电费不超过64元.则李老师的电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为 度.
2.(2024·长沙中考)刺绣是我国民间传统手工艺,湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A,B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元.
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元;
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50 000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件
素养当堂测评
1.(3分·抽象能力、运算能力)小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买钢笔的支数是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
2.(3分·抽象能力、运算能力)文明驾车,礼让行人,一定程度上反映了城市的文明程度,行人通常会在红灯亮起前通过马路.若一条人行横道全长24米,小华以1.2 m/s的速度匀速通过该人行横道,但行至离起点处时,8秒倒计时灯亮了.小华要在红灯亮起前通过马路,他的速度至少要提高到原来的( )
A.1.2倍 B.1.4倍 C.1.7倍 D.2倍
3.(3分·抽象能力、运算能力)今年植树节,枣庄某中学九年级一班45名同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,则剩余20棵.已知这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问该中学至少购买了甲树苗 棵.
4.(3分·抽象能力、运算能力)如图,周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学,发现他与公交车的距离为720 m.假设公交车的速度是小明速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交车,则小明到A站的距离最大为 m.
5.(8分·应用意识、运算能力·2024·成都中考)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农户处购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果收购单价10 元/kg,B种水果收购单价15 元/kg.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克;
(2)已知A种水果运输和储存过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.7.3 解一元一次不等式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解不等式的实际意义,并能够根据实际问题中的量进行阐述 抽象能力、模型观念
2.能够分析出实际问题中的不等关系,根据实际问题中的不等关系列出不等式 应用意识、运算能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
列不等式解应用题的一般步骤: (1)审:分清已知量与未知量及其关系,找到题目中的 不等 关系,要抓住题中“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键字及其含义. (2)设:设出适当的 未知数 . (3)列:根据题中的不等关系,列出 不等式 . (4)解:解这个 不等式 . (5)检验并作答. 某工程队计划在10天内修路6 km,施工前2天修完1.2 km后,计划发生变化,准备提前2天完成修路任务,以后几天内平均每天至少要修路(B) A.0.6 km B.0.8 km C.0.9 km D.1 km
重点典例研析
重点一元一次不等式的应用(抽象能力、模型观念)
【典例】据中国汽车工业协会统计分析,近年来中国新能源汽车产业发展迅猛,因其节能环保、经济实用,市场占有率持续提升,为了节省运营成本,某出租汽车公司近期计划将一批燃油车更换为新能源汽车,据了解,甲型新能源汽车比乙型新能源汽车的单价高1万元,购买2辆甲型新能源汽车和3辆乙型新能源汽车共需47万元.
(1)求甲型、乙型两种新能源汽车的单价.
(2)该公司决定本次购买以上两种新能源汽车共100辆,总费用不超过960万元,那么该公司最多购买甲型新能源汽车多少辆
【解析】(1)设甲型新能源汽车的单价为x万元,乙型新能源汽车的单价为y万元.根据题意,得,解得,
答:甲型新能源汽车的单价为10万元,乙型新能源汽车的单价为9万元.
(2)设购买甲型新能源汽车n辆,则购买乙型新能源汽车(100-n)辆.
根据题意,得10n+9(100-n)≤960.
解得n≤60.
∴n的最大值为60.
答:该公司最多购买甲型新能源汽车60辆.
【举一反三】
1.为方便电动汽车充电,李老师安装了家庭充电桩,该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为0.5元/度、0.3元/度,已知李老师的电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为180度,且每月充电所花电费不超过64元.则李老师的电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为 130 度.
2.(2024·长沙中考)刺绣是我国民间传统手工艺,湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A,B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1 200元.
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元;
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50 000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件
【解析】(1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元,根据题意,
得,解得.
答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元.
(2)设购买A种湘绣作品m件,则购买B种湘绣作品(200-m)件,
根据题意,得300m+200(200-m)≤50 000,
解得m≤100,∴m的最大值为100.
答:最多能购买100件A种湘绣作品.
素养当堂测评
1.(3分·抽象能力、运算能力)小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买钢笔的支数是(B)
A.12 B.13 C.14 D.15
2.(3分·抽象能力、运算能力)文明驾车,礼让行人,一定程度上反映了城市的文明程度,行人通常会在红灯亮起前通过马路.若一条人行横道全长24米,小华以1.2 m/s的速度匀速通过该人行横道,但行至离起点处时,8秒倒计时灯亮了.小华要在红灯亮起前通过马路,他的速度至少要提高到原来的(C)
A.1.2倍 B.1.4倍 C.1.7倍 D.2倍
3.(3分·抽象能力、运算能力)今年植树节,枣庄某中学九年级一班45名同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,则剩余20棵.已知这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问该中学至少购买了甲树苗 80 棵.
4.(3分·抽象能力、运算能力)如图,周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学,发现他与公交车的距离为720 m.假设公交车的速度是小明速度的5倍.若要保证小明不会错过这辆公交车,则小明到A站的距离最大为 120 m.
5.(8分·应用意识、运算能力·2024·成都中考)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农户处购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果收购单价10 元/kg,B种水果收购单价15 元/kg.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克;
(2)已知A种水果运输和储存过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
【解析】(1)设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克,根据题意,
得,解得.
答:A种水果购进1 000千克,B种水果购进500千克.
(2)设A种水果的销售单价为m元,
根据题意,得1 000×(1-4%)m-10×1 000≥10×1 000×20%,
解得m≥12.5,
∴m的最小值为12.5.
答:A种水果的最低销售单价为12.5元.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十七”7.3 解一元一次不等式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元一次不等式的定义,并能够解决相应题目 抽象能力、模型观念
2.掌握一元一次不等式的解题步骤,并能够解一元一次不等式 应用意识、运算能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.下列各式中,是一元一次不等式的是( ) A.2x-3>0 B.2x-1>3y+4 C.2>-3 D.3y+2< 2.(2024·乐山中考)不等式x-2<0的解集是( ) A.x<2 B.x>2 C.x<-2 D.x>-2
重点典例研析
重点1一元一次不等式的定义(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P64定义拓展)下列式子中,是一元一次不等式的有哪些
(1)3x+5=0;(2)2x+3>5;(3)x<8;(4)≥2;(5)2x+y≤8.
【举一反三】
1.(2024·义乌模拟)下列各式是一元一次不等式的有( )
(1)3x+2>x-1;(2)5x+3<0;(3)+3<5x-1;(4)x(x-1)<2x.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若xm-1-1≥2是关于x的一元一次不等式,则m= .
3.(2024·北京模拟)已知(m+2)x|m+3|-1>2是关于x的一元一次不等式,求m的值.
重点2解一元一次不等式(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P66例3改编)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)6+4x>4;
(2)5x-2(x-2)<10.
【举一反三】
1.(2024·陕西中考)不等式2(x-1)≥6的解集是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
2.解不等式≥x-1,并将解集在数轴上表示出来.
3.若m(a+2)n,求实数a的取值范围.
【技法点拨】
应用不等式的性质解不等式
1.在不等式两边同时加上一个适当的式子,使含未知数的项在不等式的左边,常数项在不等式的右边;
2.在不等式两边同时乘(除以)未知数的系数.
特别注意
应用性质3时不等号的方向改变.
素养当堂测评(10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、运算能力)下列不等式中,属于一元一次不等式的是( )
A.2>1 B.xC.3x≠1 D.>2
2.(3分·抽象能力、运算能力)在数轴上表示不等式3(x-2)<12的解集,正确的是( )
3.(4分·抽象能力、运算能力)已知4-x3m<0是关于x的一元一次不等式,则m= .
4.(4分·抽象能力、运算能力·2024·烟台中考)关于x的不等式m-≤1-x有正数解,m的值可以是 (写出一个即可).
5.(6分·抽象能力、运算能力)
解不等式:2x-34>7x-2.
