8.1 与三角形有关的边和角
1.认识三角形
课时学习目标 素养目标达成
1.理解三角形的定义及相关概念,能对三角形进行分类 抽象能力、几何直观
2.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念及画法,并能运用解决简单的问题 模型观念、几何直观
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.三角形的相关概念 (1)三角形:由三条 的线段首尾顺次连结组成的平面图形; (2)内角:在三角形中,每 所组成的角; (3)外角:三角形中内角的一边与另一边的 所组成的角. 1.(1)如图中都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是( ) (2)如图,以∠A为公共角的三角形有 个,它们分别是 .
2.三角形的分类 按角分:锐角三角形:所有内角都是 角的三角形; 钝角三角形:有一个内角是 角的三角形; 直角三角形:有一个内角是 角的三角形. 按边分:三边互不相等的三角形; 等腰三角形:① 条边相等的三角形; ②等边三角形: 条边都相等的三角形. 2.图中锐角三角形有 个,直角三角形有 个,钝角三角形有 个.
3.三角形三条重要的线段 (1)三角形的高:从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段;三条高所在的直线交于一点. (2)三角形的中线:连结一个顶点与它对边中点的线段.三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. (3)三角形的角平分线:一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部. 3.一个三角形两边上的高线交于一点,这个点正好是三角形的一个顶点,则这个三角形的形状是 三角形.
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 三角形的相关概念及分类(模型观念、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P83练习T2拓展)阅读材料,并填表:
在△ABC中,有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一直线上时,可构成三个不重叠的小三角形(如图).当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样
完成下表:
△ABC内 点的个数 1 2 3 … 1 002
构成不重叠的 小三角形的个数 3 5 …
【举一反三】
1.若如图表示三角形分类,则下列说法正确的是( )
A.M表示等边三角形
B.M表示锐角三角形
C.P表示等腰三角形
D.N表示三边互不相等的三角形
2.如图,以CD为公共边的三角形是 ,∠EFB是 的内角;在△BCE中,BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;以∠A为公共角的三角形有 .
【技法点拨】
数三角形的四个方法
1.按照图形的形成过程数(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).
2.按照三角形的大小顺序数.
3.从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.
4.固定一个顶点,变换另两个顶点去数.
重点2 三角形的三条重要线段(模型观念、推理能力)
【典例2】如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,
BC=10 cm,∠CAB=90°.
(1)求AD的长;
(2)求△ACE和△ABE周长的差.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,利用三角板能表示BC边上的高的为( )
2.(2024·遵义质检)如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分,求AC和AB的长.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和三边互不相等的三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
2.(3分·几何直观)如图,在△ABC中,边AB上的高是( )
A.AF B.BE C.CE D.BD
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,CM是△ABC的中线,AC=5,BC=8,则△BCM的周长比△ACM的周长大( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(4分·推理能力、应用意识)观察下表中三角形个数变化规律,填表并回答下面问题.
图形
横截线 条数 0 1 2
三角形 个数 6
问题:如果图中三角形的个数是102个,则图中应有 条横截线.
5.(6分·抽象能力、推理能力)刚进入八年级学习的梓涵同学无意中在报纸上看到一个图形,他数了又数也没数清楚图中一共有多少个三角形,于是他便将他看到的图形从报纸上剪下来拿给妙妙,让妙妙帮他数清图中三角形的个数,并将这些三角形用符号表示出来,所剪下来的样报如图所示,假如你是妙妙,请完成梓涵提出的问题.8.1 与三角形有关的边和角
1.认识三角形
课时学习目标 素养目标达成
1.理解三角形的定义及相关概念,能对三角形进行分类 抽象能力、几何直观
2.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念及画法,并能运用解决简单的问题 模型观念、几何直观
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.三角形的相关概念 (1)三角形:由三条 不在同一条直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面图形; (2)内角:在三角形中,每 两条边 所组成的角; (3)外角:三角形中内角的一边与另一边的 反向延长线 所组成的角. 1.(1)如图中都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是(C) (2)如图,以∠A为公共角的三角形有 4 个,它们分别是 △ABC,△ADC,△ABE,△ADE .
2.三角形的分类 按角分:锐角三角形:所有内角都是 锐 角的三角形; 钝角三角形:有一个内角是 钝 角的三角形; 直角三角形:有一个内角是 直 角的三角形. 按边分:三边互不相等的三角形; 等腰三角形:① 两 条边相等的三角形; ②等边三角形: 三 条边都相等的三角形. 2.图中锐角三角形有 2 个,直角三角形有 3 个,钝角三角形有 1 个.
3.三角形三条重要的线段 (1)三角形的高:从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段;三条高所在的直线交于一点. (2)三角形的中线:连结一个顶点与它对边中点的线段.三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. (3)三角形的角平分线:一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部. 3.一个三角形两边上的高线交于一点,这个点正好是三角形的一个顶点,则这个三角形的形状是 直角 三角形.
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 三角形的相关概念及分类(模型观念、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P83练习T2拓展)阅读材料,并填表:
在△ABC中,有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一直线上时,可构成三个不重叠的小三角形(如图).当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样
完成下表:
△ABC内 点的个数 1 2 3 … 1 002
构成不重叠的 小三角形的个数 3 5 7 … 2 005
【举一反三】
1.若如图表示三角形分类,则下列说法正确的是(C)
A.M表示等边三角形
B.M表示锐角三角形
C.P表示等腰三角形
D.N表示三边互不相等的三角形
2.如图,以CD为公共边的三角形是 △CDF,△CBD ,∠EFB是 △BEF 的内角;在△BCE中,BE所对的角是 ∠BCE ,∠CBE所对的边是 CE ;以∠A为公共角的三角形有 △ABC,△ABD,△ACE .
【技法点拨】
数三角形的四个方法
1.按照图形的形成过程数(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).
2.按照三角形的大小顺序数.
3.从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.
4.固定一个顶点,变换另两个顶点去数.
重点2 三角形的三条重要线段(模型观念、推理能力)
【典例2】如图所示,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,
BC=10 cm,∠CAB=90°.
(1)求AD的长;
(2)求△ACE和△ABE周长的差.
【自主解答】(1)∵∠CAB=90°,AD是边BC上的高,
∴AB·AC=BC·AD,
∴AD===4.8(cm),
即AD的长度为4.8 cm;
(2)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,
∴△ACE的周长-△ABE的周长
=(AC+AE+CE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),
即△ACE和△ABE周长的差是2 cm.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,利用三角板能表示BC边上的高的为(B)
2.(2024·遵义质检)如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分,求AC和AB的长.
【解析】设BC=2x,则AC=4x,
∵AD是BC边上的中线,
∴CD=BD=x,
由题意得:x+4x=55,AB+x=45,
解得:x=11,AB=34,
∴AC=4x=44,
∴AC的长为44,AB的长为34.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列说法正确的是(B)
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和三边互不相等的三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
2.(3分·几何直观)如图,在△ABC中,边AB上的高是(C)
A.AF B.BE C.CE D.BD
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,CM是△ABC的中线,AC=5,BC=8,则△BCM的周长比△ACM的周长大(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(4分·推理能力、应用意识)观察下表中三角形个数变化规律,填表并回答下面问题.
图形
横截线 条数 0 1 2
三角形 个数 6 12 18
问题:如果图中三角形的个数是102个,则图中应有 16 条横截线.
5.(6分·抽象能力、推理能力)刚进入八年级学习的梓涵同学无意中在报纸上看到一个图形,他数了又数也没数清楚图中一共有多少个三角形,于是他便将他看到的图形从报纸上剪下来拿给妙妙,让妙妙帮他数清图中三角形的个数,并将这些三角形用符号表示出来,所剪下来的样报如图所示,假如你是妙妙,请完成梓涵提出的问题.
【解析】题图中一共有10个三角形,△ABF;
△AEF;△BCF;△CEF;△ECD;△ABC;△ACE;△ABE;△BCE;△BED.
