2.三角形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明三角形内角和定理,理解直角三角形的性质,并能进行有关角的计算 几何直观、推理能力、模型观念
2.探索并证明三角形外角的性质以及外角和,并能进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.三角形的内角和等于 180 °. 1.在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B= 80° ;若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C= 50° .
2.(1)直角三角形的两个锐角 互余 . (2)有两个角 互余 的三角形是直角三角形. 2.已知在Rt△ABC中,∠B是∠A的2倍,则∠A等于 30°或45° .
3.三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; (2)三角形的一个外角 大于 任何一个和它不相邻的内角. 3.(1)将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起,则∠1的度数是(C) A.55° B.65° C.75° D.85° (2)如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ∠2>∠1>∠A .
4.三角形外角和 在每个顶点处只取一个外角,共三个外角的和;三角形的外角和等于 360 °. 4.三角形的三个外角之比为2∶3∶4,则它的三个外角分别为 80° , 120° , 160° .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 三角形的内角和(模型观念、抽象能力、推理能力)
【典例1】△ABC中,∠C>∠B,AD是高,AE是三角形的角平分线.
(1)当∠B=26°,∠C=74°时,求∠DAE的度数;
(2)根据第(1)问得到的启示,∠C-∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系,并说明理由.
【自主解答】(1)∵在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-74°=80°,
又∵AE为角平分线,∴∠EAB=∠BAC=40°,在直角△ABD中,∠BAD=90°-
∠B=90°-26°=64°,∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=64°-40°=24°.
(2)根据(1)可以得到:∠EAB=∠BAC=(180°-∠B-∠C),
∠BAD=90°-∠B,
则∠EAD=∠BAD-∠EAB=(90°-∠B)-(180°-∠B-∠C)=(∠C-∠B).
∴∠EAD=(∠C-∠B).
【举一反三】
1.在△ABC中,下列条件能推出∠C=90°的有(D)
①∠A=90°-∠B;
②∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5;
③∠C-∠B=∠A.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”,如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°,那么这个“特征三角形”是 直角 三角形.(填“锐角”或“直角”或“钝角”)
3.在△ABC中,∠A=∠B=∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分线,求∠DCE的度数.
【解析】∵∠A=∠B=∠ACB,∴∠B=2∠A,∠ACB=3∠A,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+2∠A+3∠A=180°,
解得∠A=30°,∴∠ACB=90°,
∵CD是△ABC的高,∴∠ACD=90°-30°=60°,
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠ACE=×90°=45°,∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°.
【技法点拨】
角平分线与高线的夹角模型
文字语言 图形语言 结论
三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角之差的绝对值的一半 已知:AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC ∠DAE=
重点2 三角形外角的性质(模型观念、几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P88练习T2改编)如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D,连结PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小关系是:___________> ___________>___________;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数,再利用三角形内角和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数.再利用三角形外角求出∠1的度数.
【自主解答】(1)∵∠BDC是△ABD的外角,
∠BPC是△CDP的外角,
∴∠2=∠3+∠A,∠1=∠2+∠4,
又∵∠3>0,∠4>0,∴∠1>∠2>∠A.
答案:∠1 ∠2 ∠A
(2)思路一:在△ABC中,∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°.
在△PBC中,∠1+∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠1=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°;
思路二:∵∠BDC是△ABD的外角,
∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°,
∵∠BPC是△CDP的外角,
∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°.
【举一反三】
1.如图,∠CBD,∠ADE为△ABD的两个外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,则∠A的度数是(C)
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.如图,图中x的值为 60 .
【技法点拨】
三角形外角性质的常见应用
求值类 已知一个外角与它不相邻的两个内角,求另一个内角
证明类 证明角度之间的和差关系
转换类 作为中间关系,证明两个角相等
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则△ABC是(C)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.无法判断
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,P是△ABC内一点,连结BP,CP,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,则∠BPC的度数为(D)
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,延长AB至D,延长BC至E.如果∠A=54°,则∠1+∠2= 234 °.
4.(4分·推理能力、应用意识)《周礼·考工记》中记载有:“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是:“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”,即1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 22.5 度.
5.(6分·抽象能力、推理能力)一副三角板(含30°,45°的各一块)按照如图所示放置(一边重合),点C是两块三角板的公共顶点,求∠EGB的度数.
【解析】由题意得:∠DCE=60°,∠ACB=90°,∠B=45°,
∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=30°,
∵∠EGB是△BCG的外角,
∴∠EGB=∠B+∠BCE=75°.2.三角形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明三角形内角和定理,理解直角三角形的性质,并能进行有关角的计算 几何直观、推理能力、模型观念
2.探索并证明三角形外角的性质以及外角和,并能进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.三角形的内角和等于 °. 1.在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B= ;若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C= .
2.(1)直角三角形的两个锐角 . (2)有两个角 的三角形是直角三角形. 2.已知在Rt△ABC中,∠B是∠A的2倍,则∠A等于 .
3.三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和; (2)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角. 3.(1)将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起,则∠1的度数是( ) A.55° B.65° C.75° D.85° (2)如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是 .
4.三角形外角和 在每个顶点处只取一个外角,共三个外角的和;三角形的外角和等于 °. 4.三角形的三个外角之比为2∶3∶4,则它的三个外角分别为 , , .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 三角形的内角和(模型观念、抽象能力、推理能力)
【典例1】△ABC中,∠C>∠B,AD是高,AE是三角形的角平分线.
(1)当∠B=26°,∠C=74°时,求∠DAE的度数;
(2)根据第(1)问得到的启示,∠C-∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系,并说明理由.
【举一反三】
1.在△ABC中,下列条件能推出∠C=90°的有( )
①∠A=90°-∠B;
②∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5;
③∠C-∠B=∠A.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”,如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°,那么这个“特征三角形”是 三角形.(填“锐角”或“直角”或“钝角”)
3.在△ABC中,∠A=∠B=∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分线,求∠DCE的度数.
【技法点拨】
角平分线与高线的夹角模型
文字语言 图形语言 结论
三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角之差的绝对值的一半 已知:AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC ∠DAE=
重点2 三角形外角的性质(模型观念、几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P88练习T2改编)如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D,连结PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小关系是:___________> ___________>___________;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数,再利用三角形内角和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数.再利用三角形外角求出∠1的度数.
【举一反三】
1.如图,∠CBD,∠ADE为△ABD的两个外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,则∠A的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.如图,图中x的值为 .
【技法点拨】
三角形外角性质的常见应用
求值类 已知一个外角与它不相邻的两个内角,求另一个内角
证明类 证明角度之间的和差关系
转换类 作为中间关系,证明两个角相等
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.无法判断
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,P是△ABC内一点,连结BP,CP,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,则∠BPC的度数为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,延长AB至D,延长BC至E.如果∠A=54°,则∠1+∠2= °.
4.(4分·推理能力、应用意识)《周礼·考工记》中记载有:“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是:“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”,即1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= 度.
5.(6分·抽象能力、推理能力)一副三角板(含30°,45°的各一块)按照如图所示放置(一边重合),点C是两块三角板的公共顶点,求∠EGB的度数.
