8.2 多边形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
1.了解多边形、正多边形以及相关的概念 几何直观
2.探索并掌握多边形的内角和与外角和,并能进行有关的计算和推理 模型观念、几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.多边形及其相关概念 (1)多边形:一般地,由n条 不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. (2)n边形的内角和为 (n-2)·180° . (3)对角线:连结多边形 不相邻 的两个顶点的线段. 1.如图所示,∠B的值为(D) A.85° B.95° C.105° D.115°
2.正多边形:各边都相等,并且各内角也都相等的多边形. 2.已知正多边形的一个内角是140°,则这个正多边形的边数是(A) A.九 B.八 C.七 D.六
3.任意多边形的外角和都为 360° . 3.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是 六 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1多边形的内角和(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P97练习T1拓展)在四边形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°.
(1)如图①,若∠B=∠C,求出∠B的度数;
(2)如图②,若∠DCB的平分线交AB于点E,且EC∥AD,求出∠B的度数;
(3)如图③,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求出∠BEC的度数.
【自主解答】(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠B+∠C=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°,
∵∠B=∠C,∴∠B=70°;
(2)∵EC∥AD,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠AEC=180°-∠A=100°,∠DCE=180°-∠D=40°,
∵CE平分∠DCB,
∴∠ECB=∠DCE=40°,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠B=∠AEC-∠ECB=100°-40°=60°;
(3)∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°,
∵BE,CE分别平分∠ABC和∠DCB,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠DCB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠DCB)=×140°=70°,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-70°=110°.
【举一反三】
1.四边形ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,∠C比∠D大30°,求∠D的度数.
【解析】∵∠C比∠D大30°,
∴∠C=∠D+30°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A=80°,∠B=70°,
∴80°+70°+∠D+30°+∠D=360°,
解得∠D=90°,∴∠D的度数为90°.
2.已知如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,求图中∠AED的值.
【解析】∵AB∥CD,∴∠C+∠B=180°,
∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠AED=540°-(∠A+∠D+∠C+∠B)
=540°-(150°+160°+180°)
=540°-490°
=50°.
【技法点拨】
1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,可已知边数求内角和,也可已知多边形的内角和求边数.
2.已知多边形内角和求边数时,一般是设出多边形的边数,根据多边形内角和公式列方程求解.
重点2 多边形的外角和(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P99练习T1拓展)已知正x边形的内角和为1 080°,边长为2.
(1)求正x边形的周长;
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°,求n的值.
【自主解答】(1)由题意可得180°×(x-2)=1 080°,解得x=8,
∴正x边形的周长为8×2=16;
(2)正x边形每个内角的度数为1 080°÷8=135°,正n边形的每个外角的度数为135°-63°=72°,360°÷72°=5,
∴n的值为5.
【举一反三】
1.如图,在正五边形ABCDE中,过点C作CF⊥ED于点F,那么∠DCF的度数为 18° .
2.如图,小明从点A出发,前进10 m后向右转45°,再前进10 m后又向右转45°,…,如此反复下去,直到他第一次回到出发点A,他所走的路径构成了一个正多边形.
(1)求小明一共走了多少米;
(2)求这个正多边形的内角和.
【解析】(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是45°的正多边形,
∴360°÷45°=8,8×10=80(m);
∴小明一共走了80 m;
(2)根据题意得:
(8-2)×180°=1 080°,
∴这个正多边形的内角和是1 080°.
3.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是___________°.
(2)小明求的是几边形的内角和
(3)若这是个正多边形,则这个正多边形的一个外角是多少度
【解析】(1)十二边形的内角和为(12-2)×180°=1 800°,而十三边形的内角和为(13-2)×180°=1 980°,
由于小红说:“多边形的内角和不可能是1 830°,你一定多加了一个锐角”,所以这个“多加的锐角”是1 830°-1 800°=30°.
答案:30
(2)设这个多边形为n边形,由题意得:
(n-2)×180°=1 800°,
解得n=12;
∴小明求的是十二边形的内角和;
(3)正十二边形的每一个外角都相等,而多边形的外角和始终为360°,
所以每一个外角为=30°,
∴这个正多边形的每一个外角为30°.
【技法点拨】
1.多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转化为外角来处理.
2.若计算正多边形的内角,一般从外角作为切入点,然后依据内外角互补解决更为简便.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)下列多边形中,内角和等于外角和的是(B)
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身,他每跑完一圈时,身体转过的角度之和是 (B)
A.180° B.360° C.540° D.720°
3.(4分·推理能力)若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条,则这个多边形共有 14 条对角线.
4.(4分·推理能力)如图,五边形ABCDE的内角都相等,且∠ADE=∠DAE,∠BDC=∠DBC,则∠ADB的度数为 36° .
5.(6分·推理能力)如图,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去阴影部分,且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
(1)求六边形ABCDEF的内角和;
(2)求∠BGD的度数.
【解析】(1)六边形ABCDEF的内角和为(6-2)×180°=720°;
(2)如图,连结FG,四边形ABGF,四边形DEFG的内角和都是360°,
即∠A+∠ABG+∠BGF+∠AFG=360°,∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG=360°,
∴∠A+∠ABG+∠BGF+∠AFG+∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG=360°×2=
720°,
又∵∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
∴∠BGF+∠DGF=720°-485°=235°,
∴∠BGD=360°-235°=125°.8.2 多边形的内角和与外角和
课时学习目标 素养目标达成
1.了解多边形、正多边形以及相关的概念 几何直观
2.探索并掌握多边形的内角和与外角和,并能进行有关的计算和推理 模型观念、几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.多边形及其相关概念 (1)多边形:一般地,由n条 的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. (2)n边形的内角和为 . (3)对角线:连结多边形 的两个顶点的线段. 1.如图所示,∠B的值为( ) A.85° B.95° C.105° D.115°
2.正多边形:各边都相等,并且各内角也都相等的多边形. 2.已知正多边形的一个内角是140°,则这个正多边形的边数是( ) A.九 B.八 C.七 D.六
3.任意多边形的外角和都为 . 3.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1多边形的内角和(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P97练习T1拓展)在四边形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°.
(1)如图①,若∠B=∠C,求出∠B的度数;
(2)如图②,若∠DCB的平分线交AB于点E,且EC∥AD,求出∠B的度数;
(3)如图③,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求出∠BEC的度数.
【举一反三】
1.四边形ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,∠C比∠D大30°,求∠D的度数.
2.已知如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,求图中∠AED的值.
【技法点拨】
1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,可已知边数求内角和,也可已知多边形的内角和求边数.
2.已知多边形内角和求边数时,一般是设出多边形的边数,根据多边形内角和公式列方程求解.
重点2 多边形的外角和(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P99练习T1拓展)已知正x边形的内角和为1 080°,边长为2.
(1)求正x边形的周长;
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°,求n的值.
【举一反三】
1.如图,在正五边形ABCDE中,过点C作CF⊥ED于点F,那么∠DCF的度数为 .
2.如图,小明从点A出发,前进10 m后向右转45°,再前进10 m后又向右转45°,…,如此反复下去,直到他第一次回到出发点A,他所走的路径构成了一个正多边形.
(1)求小明一共走了多少米;
(2)求这个正多边形的内角和.
3.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是___________°.
(2)小明求的是几边形的内角和
(3)若这是个正多边形,则这个正多边形的一个外角是多少度
【技法点拨】
1.多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转化为外角来处理.
2.若计算正多边形的内角,一般从外角作为切入点,然后依据内外角互补解决更为简便.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)下列多边形中,内角和等于外角和的是( )
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身,他每跑完一圈时,身体转过的角度之和是 ( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
3.(4分·推理能力)若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条,则这个多边形共有 条对角线.
4.(4分·推理能力)如图,五边形ABCDE的内角都相等,且∠ADE=∠DAE,∠BDC=∠DBC,则∠ADB的度数为 .
5.(6分·推理能力)如图,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去阴影部分,且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
(1)求六边形ABCDEF的内角和;
(2)求∠BGD的度数.
