9.5 图形的全等
课时学习目标 素养目标达成
1.了解全等多边形的概念、性质及判定,能辨别全等多边形的对应元素 模型观念、抽象能力
2.理解全等三角形的概念、性质及判定 模型观念、抽象能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.全等图形 定义:能够完全 重合 的两个图形. 全等多边形:能够完全 重合 的两个多边形. 两个全等的多边形,经过 变换 而重合, ①对应顶点:相互重合的点; ②对应边:相互重合的边; ③对应角:相互重合的角. 1.下列各选项中的两个图形属于全等图形的是(B)
2.全等多边形的特征 全等多边形的对应边 相等 ,对应角 相等 . 全等三角形的对应边、对应角分别 相等 . 2.(1)如图,四边形ABCD≌四边形A'B'C'D',若∠A=110°,∠C=60°,∠D'=105°,则∠B= 85° . (2)如图,已知△ABC≌△DCB,且AB=7 cm,BD=5 cm,∠A=60°,则线段DC= 7 cm ,AC= 5 cm ,∠D= 60° .
3.全等多边形的判断 边、角分别对应 相等 的两个多边形全等. 边、角分别对应 相等 的两个三角形全等. 3.观察房屋脊架和窗户的示意图,则△CDE≌ △CDF ,△ADE≌ △BDF ,四边形AEHM≌ 四边形BFHM ,四边形ADGM≌ 四边形BCGM .
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】全等图形(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P162T3改编)如图所示,两个图形是全等图形,试根据所给的条件,求出两个图形中标出的a,b,c,∠α,∠β的值.
【自主解答】根据全等多边形的对应角相等有∠α=105°.由四边形的内角和,得第四个角为360°-(120°+90°+105°)=45°,所以∠β=45°.根据全等多边形的对应边相等有a=3,b=5.4,c=7.
【举一反三】
1.以下四个选项中的图形前后发生了变化,变化前后不全等的一对是(C)
2.如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形,若AB=3 cm,CD=2AB,则AF的长为 27 cm.
【技法点拨】
全等多边形对应边、对应角的确定方法
1.利用字母的对应位置来确定对应边和对应角.
2.在图上找特殊的边和特殊的角:有公共角的,公共角是对应角;有对顶角的,对顶角是对应角.
3.对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
【重点2】全等三角形的性质与判断(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P161T3改编)如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△BEC绕点C顺时针至△DFC,若已知∠EBC=30°,∠DCE=10°,求∠F的度数.
【自主解答】因为将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC,所以△BEC≌△DFC,
所以BC与DC是对应边,BE与DF是对应边,EC与FC是对应边,
∠EBC与∠FDC是对应角,∠FCD与∠ECB是对应角,∠BEC与∠DFC是对应角,因为∠DCE=10°,所以∠BCE=80°,因为∠EBC=30°,
所以∠BEC=180°-30°-80°=70°,因为△BEC≌△DFC,
所以∠F=∠BEC=70°.
【举一反三】
1.下列说法中,正确的有(A)
①形状相同的两个图形是全等形;
②面积相等的两个图形是全等形;
③全等三角形的周长相等,面积相等;
④若△ABC≌△DEF,则∠A=∠D,AB=EF.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示,△ABC与△DEF关于直线MN对称,
(1)试用符号表示它们的关系,并指出它们的对应顶点、对应边和对应角.
(2)若∠B+∠E=50°,求∠E的度数.
(3)若AB+AC=6 cm,EF=5 cm,求△DFE的周长.
【解析】△ABC≌△DEF.
对应顶点:点A与点D,点B与点E,点C与点F;
对应边:AB与DE,BC与EF,AC与DF;
对应角:∠A与∠D,∠B与∠E,∠ACB与∠DFE.
(2)因为△ABC≌△DEF,
所以∠B=∠E,因为∠B+∠E=50°,所以∠E=25°.
(3)因为AB+AC=6 cm,所以DF+DE=6 cm,
所以△DFE的周长为6+5=11(cm).
【技法点拨】
全等三角形性质应用的两角度
1.求线段:全等三角形的对应边相等,可以直接确定对应边的数量关系,也可以间接求解相关线段的长度.
2.求角:全等三角形的对应角相等,可以直接确定对应角的数量关系,也可以间接求解相关角的大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)下列各对全等三角形中,能通过旋转互相重合的是(C)
2.(3分·几何直观)如图,△ABD≌△ACE,若AB=6,AE=4,则CD的长度为(D)
A.10 B.6 C.4 D.2
3.(8分·应用意识)如图,某校有一块正方形花坛,现要把它分成4块全等的部分,分别种植四种不同品种的花卉,图中给出了一种设计方案,请你再给出四种不同的设计方案.
【解析】设计方案如图:
(答案不唯一)
4.(6分·推理能力)完成下列各题:
如图,已知△ABC≌△AEF,∠EAB=25°,∠F=57°,线段AF与线段BC相交于点M.
(1)请说明:∠EAB=∠CAF;
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF,请你描述这个变换;
(3)求∠AMB的度数.
【解析】(1)因为△ABC≌△AEF,
所以∠BAC=∠EAF,
所以∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF,
所以∠EAB=∠CAF;
(2)因为∠EAB=25°,△ABC≌△AEF,
所以△ABC绕点A顺时针旋转25°,可以得到△AEF(答案不唯一);
(3)由(1)知,∠EAB=∠FAC=25°,
因为△ABC≌△AEF,
所以∠C=∠F=57°,
所以∠AMB=∠C+∠FAC=57°+25°=82°.
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课时学习目标 素养目标达成
1.了解全等多边形的概念、性质及判定,能辨别全等多边形的对应元素 模型观念、抽象能力
2.理解全等三角形的概念、性质及判定 模型观念、抽象能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.全等图形 定义:能够完全 的两个图形. 全等多边形:能够完全 的两个多边形. 两个全等的多边形,经过 而重合, ①对应顶点:相互重合的点; ②对应边:相互重合的边; ③对应角:相互重合的角. 1.下列各选项中的两个图形属于全等图形的是( )
2.全等多边形的特征 全等多边形的对应边 ,对应角 . 全等三角形的对应边、对应角分别 . 2.(1)如图,四边形ABCD≌四边形A'B'C'D',若∠A=110°,∠C=60°,∠D'=105°,则∠B= . (2)如图,已知△ABC≌△DCB,且AB=7 cm,BD=5 cm,∠A=60°,则线段DC= ,AC= ,∠D= .
3.全等多边形的判断 边、角分别对应 的两个多边形全等. 边、角分别对应 的两个三角形全等. 3.观察房屋脊架和窗户的示意图,则△CDE≌ ,△ADE≌ ,四边形AEHM≌ ,四边形ADGM≌ .
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】全等图形(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P162T3改编)如图所示,两个图形是全等图形,试根据所给的条件,求出两个图形中标出的a,b,c,∠α,∠β的值.
【举一反三】
1.以下四个选项中的图形前后发生了变化,变化前后不全等的一对是( )
2.如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形,若AB=3 cm,CD=2AB,则AF的长为 cm.
【技法点拨】
全等多边形对应边、对应角的确定方法
1.利用字母的对应位置来确定对应边和对应角.
2.在图上找特殊的边和特殊的角:有公共角的,公共角是对应角;有对顶角的,对顶角是对应角.
3.对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
【重点2】全等三角形的性质与判断(推理能力)
【典例2】(教材再开发·P161T3改编)如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△BEC绕点C顺时针至△DFC,若已知∠EBC=30°,∠DCE=10°,求∠F的度数.
【举一反三】
1.下列说法中,正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形;
②面积相等的两个图形是全等形;
③全等三角形的周长相等,面积相等;
④若△ABC≌△DEF,则∠A=∠D,AB=EF.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示,△ABC与△DEF关于直线MN对称,
(1)试用符号表示它们的关系,并指出它们的对应顶点、对应边和对应角.
(2)若∠B+∠E=50°,求∠E的度数.
(3)若AB+AC=6 cm,EF=5 cm,求△DFE的周长.
【技法点拨】
全等三角形性质应用的两角度
1.求线段:全等三角形的对应边相等,可以直接确定对应边的数量关系,也可以间接求解相关线段的长度.
2.求角:全等三角形的对应角相等,可以直接确定对应角的数量关系,也可以间接求解相关角的大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)下列各对全等三角形中,能通过旋转互相重合的是( )
2.(3分·几何直观)如图,△ABD≌△ACE,若AB=6,AE=4,则CD的长度为( )
A.10 B.6 C.4 D.2
3.(8分·应用意识)如图,某校有一块正方形花坛,现要把它分成4块全等的部分,分别种植四种不同品种的花卉,图中给出了一种设计方案,请你再给出四种不同的设计方案.
4.(6分·推理能力)完成下列各题:
如图,已知△ABC≌△AEF,∠EAB=25°,∠F=57°,线段AF与线段BC相交于点M.
(1)请说明:∠EAB=∠CAF;
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF,请你描述这个变换;
(3)求∠AMB的度数.
