(共15张PPT)
第6章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质
导入新课
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定将这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少.
A
B
C
D
O
老大
老二
老三
老四
老人这样分地合理吗？
探究新知
探究
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
看一看
●
A
D
O
C
B
O
发现：平行四边形ABCD绕它的中心O旋转180°后能够与自身重合。
B
A
D
C
你能证明它吗
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
归纳小结
探究新知
探究
已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）.
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC，OB=OD.
思考：你还有其他方法吗
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
A
B
C
D
O
归纳小结
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB，CD是它的两条对角线，
∴OA＝OC，OB＝OD.
应用举例
【例1】 已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
【方法指导】利用平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，从而得到所要求证的OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠ODE=∠OBF，
∵ ∠DOE=∠BOF.
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
【方法指导】平行四边形的对边相等，可得到AB＋AD＝30 cm，由平行四边形的对角线互相平分可得到OB＝OD，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
【例2】已知 ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
D
C
B
A
O
实际上就是AB－AD＝5 cm，根据AB＋AD＝30 cm，AB－AD＝5 cm，求出 ABCD的各边长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
∴AB－AD＝5 cm.
又∵ ABCD的周长为60 cm，
∴AB＋AD＝30 cm，
∴AB＝17.5 cm，AD＝12.5 cm，
则AB＝CD＝17.5 cm，AD＝BC＝12.5 cm.
D
C
B
A
O
随堂练习
1．如图，在 ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是_______________．
2．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝4，△OCD的周长为12，则 ABCD的两条对角线长度的和是____．
1＜OA＜5
16
3．如图，已知在 ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝12 cm，BD＝6 cm，求BC的长．
课堂小结
平行四边形
对角线互相平分
对角线的性质(共20张PPT)
第2课时 平行四边形的对角线的性质
平行四边形的对角线 ．
互相平分
【例1】如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论中错误的是( )
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
【名师点拨】根据平行四边形的性质推出即可．
【学生解答】C
【例2】如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AC＝26，BD⊥AB.求BD，AD，BC及CD的长．
【学生解答】
平行四边形的对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A．相等
B．互相平分
C．互相垂直
D．互相垂直且相等
B
2．（贵阳期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO＝3，BO＝4，则对角线AC＋BD等于( )
A．6 B．8 C．10 D．14
D
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知BD＝10，AC＝6，△BOC的周长为15，则AD的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
C
【变式】（2024·贵阳期末）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O.若AC＝6，BD＝8，则BC的长可能是( )
A．10 B．8 C．7 D．6
D
4．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是 ．
【变式】如图，四边形ABCD是平行四边形．若S ABCD＝12，则S阴影＝ ．
20
3
5．如图， ABCD和 EAFC的顶点D，B，E，F在同一条直线上．求证：DE＝BF.
证明：连接AC，交BD于点O.
∵ ABCD和 EAFC的顶点D，B，E，F在同一条直线上，
∴OB＝OD，OF＝OE，
∴OD－OE＝OB－OF，
∴DE＝BF.
A
7．（2024·四川眉山）如图，在 ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O.下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF.其中，正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
8．（黔东南期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠AOE＝75°，∠EAD＝3∠CAE，求∠BCA的度数．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE＝CF；
(2)∵AE⊥BD，∠AOE＝75°，
∴∠CAE＝90°－∠AOE＝90°－75°＝15°，
∴∠EAD＝3∠CAE＝3×15°＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD－∠CAE＝45°－15°＝30°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°.
9．如图①， AECF的对角线AC，EF相交于点O，过点O任意作一条直线MN，与CE，AF分别相交于点M，N.
(1)求证：S四边形AEMN＝S四边形FNMC；
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有几条？它们必经过哪一点？
(3)如图②是某中学门前的一块草坪，它是由两个平行四边形拼接成的图案．现校委会计划将其分成面积相等的两部分，栽上不同颜色的花，试利用第(2)小题中的规律探索划分方案．
解：(1)∵ AECF的对角线AC，EF相交于点O，
∴AF∥CE，OE＝OF，
∴∠MEO＝∠NFO.
在△MOE和△NOF中，
∴△MOE≌△NOF(ASA).
同理可证△MOC≌△NOA.
又易得△AOE≌△COF，
∴S△MOE＋S△AOE＋S△NOA＝S△NOF＋S△COF＋S△MOC，即S四边形AEMN＝S四边形FNMC；
(2)将平行四边形的面积二等分的直线有无数条，它们必经过平行四边形对角线的交点；
(3)如图②，分别作出两个平行四边形的对角线的交点O1和O2，经过O1，O2两点作出一条直线即可将草坪分成面积相等的两部分．（答案不唯一）
