(共14张PPT)
第6章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
导入新课
1．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
要如何证明呢？
探究新知
探究
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
C
B
D
O
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌ △COB.
∴AD=CB，∠ADO=∠CBO.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
A
C
B
D
O
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言：
归纳小结
A
C
B
D
O
四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
应用举例
【例1】已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
A
C
B
D
E
F
【方法指导】先利用 ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD.又因为AE＝CF，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，利用平行四边形的判定定理3得到四边形BFDE是平行四边形．
证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)．
∵AE＝CF，
A
C
B
D
E
F
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
O
【例2】(1)对于上述例题，若将条件“AE＝CF”改为“E，F是OA，OC的中点”，则结论还成立吗？
A
C
B
D
E
F
O
解：(1)成立．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵E，F是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)成立．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)对于上述例题，如图，若将点E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE＝CF，则结论还成立吗？
A
C
B
D
E
F
O
随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
C
2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC＝AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有
( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
B
3．如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．
解：35°.
课堂小结
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）(共11张PPT)
第2课时 平行四边形的判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．下列条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
D
2．如图，小明将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕点O转动．无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形始终是 ．
平行四边形
3．（2024·毕节期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)答案不唯一，如选取①②.
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
(2)由(1)，得△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO.
∵AE＝CF，
∴AE＋EO＝CF＋FO，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．已知△ABC（如图①），按图②、图③所示的尺规作图痕迹，不需要借助三角形全等，就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
5．如图，将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是 ．
平行四边形
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC，DE.求证：四边形ACED是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
(2)∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF.
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(ASA)，
∴DF＝CF.
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
