(共21张PPT)
第6章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定的综合运用
导入新课
在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗
探究新知
探究
已知：如图，直线 a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC=BD.
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°，
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)，
∴AC＝BD(平行四边形的对边相等)．
归纳小结
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
注意：距离是指垂线段的长度大于0.
探究新知
探究
观察图片
思考
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在平行线之间的平行线段一定相等．
归纳小结
夹在两条平行线间的平行线段一定相等．
两条平行线之间的距离处处相等.
如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理．
探究新知
探究
(1)根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(3)根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
应用举例
【例1】如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，点A，B在直线l2上．设△PAB的面积为S.
(1)当点P运动到P1的位置时，△PAB与△P1AB的面积相等吗？为什么？
A
B
l1
l2
p
p1
C
D
┐
┐
解：(1)相等．理由如下：
如图，过点P作PC⊥l2于点C，P1D⊥l2于点D.
∵l1∥l2，
∴PC＝P1D(平行线间的距离处处相等)．
∵S△PAB＝ A B·PC，S△P1AB＝ AB·P1D，
∴S△PAB＝S△P1AB；
A
B
l1
l2
p
p1
C
D
┐
┐
【例1】如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，点A，B在直线l2上．设△PAB的面积为S.
(2)当点P运动到异于P，P1两点的位置时，△PAB的面积有何变化？请你直接写出结果(写变大、变小或不变)
A
B
l1
l2
p
p1
C
D
┐
┐
(2)不变．
【例2】已知：如图，在 ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE.
求证：四边形MENF是平行四边形．
A
B
C
D
E
M
F
N
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF＝∠NBE.
又∵DM＝BN，DF＝BE，
∴△MDF≌△NBE，
∴MF＝NE，∠MFD＝∠NEB，
∴∠MFE＝∠NEF，
∴MF∥EN，
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
A
B
C
D
E
M
F
N
随堂练习
1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，点M到直线b的距离是3 cm，那么直线a，直线b之间的距离是( )
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．4 cm
C
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为12，则△DBC的面积( )
A．大于12 B．小于12
C．等于12 D．不确定
C
3．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是_________________________________．
4．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，如果OE＝2 cm，那么AB，CD间的距离是____cm.
两平行线间的距离一定相等
4
课堂小结
平行四边形
五种判定方法
对边平行,对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的平行线段处处相等(共19张PPT)
第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定的综合运用
平行线之间的距离
1．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中，错误的是( )
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
D
2．如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b.如果AB＝5cm，AC＝4cm，那么平行线a，b之间的距离为 ．
4cm
3．如图，直线a∥b，A，B为直线b上两点，C，D为直线a上两点，AD与BC相交于点O.
(1)图中面积相等的三角形有 对；
(2)如果A，B，C为三个定点，点D在a上移动，那么无论点D移动到何处，总有 与△ABC的面积相等，这两个三角形的高相等的理由是 ．
3
△ABD
平行线之间的距离处处相等
平行四边形的判定的综合运用
4．（毕节期末）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AO＝CO，BO＝DO
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AB＝CD
D．AB∥CD，AD＝BC
D
5．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点，且AE∥CF.若∠AED＝65°，∠ADB＝35°，则∠BCF的度数为
．
80°
6．（2024·湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，
求线段AE的长．
解：(1)选择①或②.证明如下：
选择①.∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE.
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②.∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
7．如图，已知AF∥BD，AC＝BD，AE＝CF，下面给出四个结论：①AB＝CD；②BE＝DF；③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；④S△ABE＝S△CDF.其中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
8．（贵州铜仁）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 cm.
7或17
10．（2024·毕节期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.连接对角线AC，BD交于点E，且AE＝CE.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BC，AB＝5，AC＝4，求BD的长．
解：(1)∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCE.
在△DAE和△BCE中，
∴△DAE≌△BCE(ASA)，
∴BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形；
11． 在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图①，当点P在BC边上时，PD＝0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD＋PE＋PF＝AB；当点P在△ABC内部时，先在图②中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论；
解：(1)作图如图②，PD＋PE＋PF＝AB.
证明如下：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，∴PE＝AF.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵PF∥AB，
∴∠B＝∠FDC，∴∠C＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴PD＋PE＋PF＝FD＋PE＝FC＋AF＝AC＝AB；
(2)如图③，当点P在△ABC外部时，先在图③中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系．（不用证明）
(2)作图如图③，PE＋PF－PD＝AB.
