(共15张PPT)
第6章 平行四边形
3 三角形的中位线
导入新课
1．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：(1)剪一个三角形，记为△ABC；
(2)分别取AB，AC中点D，E，连接DE；
(3)沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
A
D
E
B
C
F
2．思考：四边形BCFD是平行四边形吗？
3．探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
解：△ADE≌△CFE可得AD＝CF＝BD，∠ADE＝∠F，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形．
A
D
E
B
C
F
探究新知
探究
右图中DE就是△ABC的中位线．
A
D
E
B
F
C
三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线．同理EF，DF也是△ABC的中位线．一个三角形有三条中位线．
A
D
E
B
F
C
中位线是两边中点的连线
三角形的中位线与中线有什么区别？
中线是顶点和对边中点的连线．
探究新知
探究
如图，若四边形BCFD是平行四边形，D，E分别为AB，AC的中点，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE＝ BC.
A
D
E
B
C
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD，
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF＝BC(平行四边形的对边相等)，
∴DE∥BC，DE＝ BC.
A
D
E
B
C
F
1
2
三角形中位线定理：
归纳总结
∵DE是△ABC的中位线
用几何语言叙述：
D
A
B
C
E
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
∴DE∥BC, DE＝ BC.
应用举例
【例1】如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为________．
A
D
E
C
O
B
15
解：∵ ABCD的周长为36，
∴2(BC＋CD)＝36，则BC＋CD＝18.
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝BD＝6.
又∵点E是CD的中点，
∴OE＝ BC，
∴OE是△BCD的中位线， DE＝ CD，
∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE
＝ BD＋( BC＋CD)
＝6＋9＝15
即△DOE的周长为15.
A
D
E
C
O
B
【例2】如图，顺次连接四边形ABCD的四条边的中点E，F，G，H，所得的四边形EFGH有什么特点？
【分析】如图②，连接BD，将四边形ABCD分成了两个三角形：△ABD与△CBD.根据中位线定理的内容可以知道：EH，GF分别是△ABD和△CBD的中位线，进而可以知道EH，GF与BD的位置和数量关系分别是：都平行于BD且都为BD的一半．根据平行四边形的判定方法可以知道四边形EFGH为平行四边形．
解：四边形EFGH是平行四边形．
理由如下：连接BD.
∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
∵GF为△BCD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴EH GF，
∴四边形EFGH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)．
随堂练习
1．如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长度逐渐增大
B．线段EF的长度逐渐减小
C．线段EF的长度不改变
D．线段EF的长度不能确定
C
2．已知一个三角形的三条中位线的长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，求这个三角形的周长为_________．
3．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为_____．
18cm
3
课堂小结
三角形中位线
定 义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.(共21张PPT)
3 三角形的中位线
连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 ．
中点
平行于
一半
【例1】如图，四边形ABCD为任意四边形，已知AC＝6，BD＝8，E，F，G，H是其四条边的中点，连接四边的中点，求所得的四边形的周长．
【名师点拨】运用三角形的中位线解题．
【学生解答】
【例2】如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．
三角形的中位线定理
1．（2024·四川广安）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点．若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( )
A．45° B．50°
C．60° D．65°
D
2．（2024·铜仁期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D，E分别为AC，BC的中点，连接DE，则DE长为
( )
A．4 B．5 C．6 D．7
B
三角形中位线定理的应用
3．东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB＝AC＝12m，BC＝10m．他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是( )
A．22m B．24m C．27m D．32m
C
4． （2024·贵阳期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m.
100
中点四边形
5．如图，在“飞镖形”ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
B
7．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝2AB＝8，AE⊥BD于点E，点F为BC中点，则EF的长度为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
A
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求线段DH的长．
9．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长．
10． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点，AF，BC的延长线交于点G.
(1)求证：△ADF≌△GCF；
解：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠GCF.
∵F为DC的中点，
∴DF＝CF.
又∵∠AFD＝∠GFC，∴△ADF≌△GCF(ASA)；
(2)中位线 AD BC 梯形的中位线等于两底和的一半
