(共15张PPT)
第6章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
导入新课
如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.
解：如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5.
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？
解：∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°，
想一想
如果广场的形状是六边形，八边形，那么结果会怎样？
6×180°－（6－2）×180°=360°
8×180°－（8－2）×180°=360°
探究新知
探究
阅读课本155到156页，完成两个问题：
(2)多边形的外角和是多少度？
(1)多边形的外角与外角和的定义是什么？你能够在图上标出外角吗？
归纳总结
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 …
图形 …
外角和 …
方法1：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究；
探究新知
探究
360°
360°
360°
360°
方法2：由n边形的内角和等于(n－2)·180°出发，探究问题．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°
应用举例
【例1】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
【分析】多边形的内角和等于(n－2)×180°，外角和是360°.
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
(n－2)·180°，外角和等于360°.
根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，
解得n＝8.
所以，这个多边形是八边形．
【例2】(1)如图①，△ABC的各边长都大于2，分别以顶点A，B，C为圆心，以1为半径画圆，则阴影部分的面积为________；
(2)如图②，将(1)中的△ABC换成四边形ABCD，其他条件不变，则阴影部分的面积为________；
(3)如图③，将四边形换成五边形，则阴影部分的面积为________；
(4)根据(1)(2)(3)中的结论，你能总结n边形的情况吗？
【分析】图①②③中各个阴影扇形之和正好分别构成0.5个、1个、1.5个半径是1的圆，根据圆的面积公式即可求解，然后根据规律推导出n边形的面积．
(2)π
(4)n边形阴影部分的面积是
随堂练习
1．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是( )
A．十一边形 B．十二边形
C．八边形 D．九边形
2．一个多边形的内角和与外角和之比是11∶2，那么这个多边形的边数是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
D
A
3．一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是_________．
4．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______．
720°
180°
5．如图，小亮从点A出发前进5 m，向右转15°，再前进5 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_______m.
120
课堂小结
多边形的内角和
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
外角=(共10张PPT)
第2课时 多边形的外角和
多边形的外角和
1．七边形的外角和为( )
A．180° B．360° C．900° D．1260°
2．（2024·铜仁期末）若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
B
D
3．一个n边形变成(n＋1)边形，外角和( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．不变
4．（2024·重庆A卷）如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 .
5．（毕节期末）如果一个n边形的内角和等于它的外角和，那么n为 ．
D
9
4
6．如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数为 ．
45°
7．（教材P156例2变式）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)·180°＝4×360°＋180°，
解得n＝11.
答：这个多边形的边数是11.
8．（2024·四川遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A．36° B．40° C．45° D．60°
C
【变式】小明周末参观文峰塔，如图，小明从塔底的某一顶点M出发，走了5m后向右转，转的角度为α，再走5m，如此重复．小明共走40m后回到了点M，则α的度数为 .
45°
9．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是( )
A．α－β＝0 B．α－β＜0
C．α－β＞0 D．无法比较α与β的大小
A
10．(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°.若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2＝ ；
(2)如图②，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝ ；
(3)如图②，根据(1)与(2)的求解过程，请你猜想∠1＋∠2与∠A的关系是 ；
270°
220°
∠1＋∠2＝180°＋∠A
(4)如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF，
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF，
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF).
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
