2025年北京人大附中高三（下）统练二数学（PDF版，含解析）

2025 届高三下学期数学统练（2）
2025 年 3 月 6 日
说明：本试卷 21 道题，共 150 分；考试时间 120 分钟．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1．已知集合 P x 1 x 1 ，M a,a ．若 P M P ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 a 1 B． a 1 a 1
C． a 1 a 1且 a 0 D． a 1 a 1且 a 0
2．下列函数中，既是偶函数，又在 0, 上单调递增的是（ ）
1
A． f (x) x B． f (x) ex C． f (x) 2 D． f (x) ln | x |x
i a
3．若复数 z 是纯虚数，则实数a （ ）
1 i
A．1 B． 1 C．2 D． 2
n
4 1
1
．若 3x 2 的二项展开式中，当且仅当第 5 项是二项式系数最大的项，则其展开式中含 5 项的系数 x x
（ ）
A． 24 B．252 C．7 D．8
5．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量 L（单位： dB ）与传播距
离 r （单位：m）的关系式为 L 10 lg(πr 2 ) k，其中 k 为常数.当传播距离为 r1 时，衰减量为 L1；当传
播距离为 r2 时，衰减量为 L2 .若 r2 2r1，则 L2 L1 约为（ ）
（参考数据： lg2 0.3）
A． 6 dB B． 4 dB C． 3 dB D． 2 dB
6. 在无穷等差数列{an}中，公差为 d，则“存在 m N * ，使得 a1 a2 a a ”是“ a k d（ k N*3 m 1 ）”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2
7. 已知双曲线C : x y2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F，过点 F 作垂直于 x轴的直线 l，M,N分别是 l与双a b
1
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曲线C及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段 F N 的中点，则C的渐近线方程为 （ ）
A． y x B． y 2 3 x C． y x D y 5． x
2 3 5
8. 将函数 y sin(2 x ) 的图象向右平移 a个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移 a个单位所得
函数图象关于 y 轴对称，其中 0 ≤ ≤ ， a 0 ，则 （ ）
2
A． B． C． D．
6 3 8 4
9. 在△ABC 中， AB AC 2, BC 2 3 ，点 P在线段 BC上．当 PA PB取得最小值时， PA
A． 3 B 7． C． 3 D． 7
2 2 4 4
10．如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， PD 平面 ABCD，点M 为底面
上的动点， M 到 PD的距离记为 d ，若MC 2d ，则点M 在底面正方形内的
轨迹的长度为（ ）
2π 4π
A．2 B． C． 5 D．3 3
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11.抛物线 y2 4x上一点 M到其焦点的距离为 3，则点 M到坐标原点的距离为 .
3 4 π
12．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A , ，将线段OA绕原点顺时针旋转 得到线段OB，则点 B的
5 5 3
横坐标为 .

13．若直线 l：x y m 0与圆 O：x2 y2 1交于 A，B两点，OA OB 0，则实数 m的取值范围是 ．
ex kx, x 0，
14.已知函数 f (x) 若k 0，则不等式 f (x) 2 的解集为_ ___；
kx
2 x 1, x 0．
若 f (x) 恰有两个零点，则 k的取值范围为___ ___．
15．定义在区间[1, )上的函数 f (x) 的图象是一条连续不断的曲线， f (x) 在区间[2k 1,2k]上单调递增，
在区间[2k,2k 1]上单调递减， k 1,2, .给出下列四个结论：
①若{ f ( 2 k )} 为递增数列，则 f (x) 存在最大值；
2
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②若{ f (2k +1)}为递增数列，则 f (x) 存在最小值；
③若 f ( 2 k ) f ( 2 k 1) 0 ，且 f ( 2 k ) f ( 2 k 1) 存在最小值，则 f (x) 存在最小值；
④若 f ( 2 k ) f ( 2 k 1) 0 ，且 f ( 2 k ) f ( 2 k 1) 存在最大值，则 f (x) 存在最大值.
其中所有错误结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请把结果填在答
题纸上的相应位置．）
π
（16）（本小题 13 分）在V ABC 中， B ，
2 cos2B 3cosB 1
.
(1)求 B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V ABC 存在且唯一确定，求V ABC 的
面积.
条件①： sinA 3sinC ，b 2 ；
条件②： 2b 3a ， bsinA 1；
条件③： AC 6 ， BC边上的高为 2
注：如果选择的条件不符合要求，第二问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解
答计分.
3
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（17）（本小题 14 分）在三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC ，PA AC CP 2 ，AB BC 2 ，
O是棱 A C 的中点，D在棱 PC上，且 PA// 平面 BOD .
(1)证明：D是棱 PC的中点；
(2)证明： BO 平面 PAC ，并求三棱锥 B OPA 的体积；
(3)求二面角 B PC A的余弦值.
（18）（本小题 13 分）
为了解客户对 A, B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家
快递公司评价的调查问卷．已知 A, B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，数据统计如下：
快递公司 A 快递公司 B 快递公司
项目
配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度
评价分数 份数
85 ≤ x≤ 95 2 9 2 4 16 12
75 ≤ x 85 4 7 5 6 4 0 4 8
65 ≤ x 75 4 4 4 0 2 4 2 0
假设客户对A, B两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率．
（Ⅰ）从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A 快递公司配送时效的评价不低于
75分的概率；
（Ⅱ）分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记 X为这 2 份
问卷中的服务满意度评价不低于 75分的份数，求 X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记评价分数 x 85为“优秀”等级，75≤x 85为“良好”等级，65≤x 75为“一般”等级．已
知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区 A, B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情
况，你认为小王选择A, B哪家快递公司合适？说明理由．
4
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2 2
19．（本小题 15 x y分）已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左顶点为 A
3
，上顶点为 B，下顶点为 C，若椭圆的 e ，
a b 2
三角形 ABC的面积为 2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点 D（0，2），直线 AD交椭圆于点 E，过点 D的直线交椭圆于 M，N两点，若直线 CM与 x轴交
|DQ |
于 P点，过 E且平行于 x轴的直线与 BN交于 Q点，求 的值|PQ | .
20. （本小题 15 分）已知函数 f (x) (ax 1)e x （ a R ）．
（Ⅰ）求 f (x)的单调区间；
（Ⅱ）若直线 y ax a与曲线 y f (x) 相切，求证： a ( 1, 2 ) ．
3
5
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21. （本小题 15 分）
*
给定一个 n项的实数列a1，a2， ，an n N ，任意选取一个实数 c，变换 T（c）将数列a1，a2， ，an变
换为数列 a1 c，a2 c， ，an c ，再将得到的数列继续实施这样的变换，
这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数 c可以不相同，第 k（k∈N*）次变换记为
Tk（ck），其中 ck为第 k次变换时选择的实数．如果通过 k次变换后，数列中的各项均为 0，则称
T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”．
（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中 k≤4；
（2）证明：对任意 n项数列，都存在“n次归零变换”；
（3）对于数列 1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1 次归零变换”？请说明理由．
6
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