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第十六章 二次根式 单元同步检测卷
一、单选题
1.当,则代数式( )
A. B. C. D.
2.要使根式 有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1
3.若 是二次根式,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x<1 D.x≥0
4.要使式子有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥1 C.x>0 D.x>﹣1
5.下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
6.下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
7.实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,化简的结果是( )
A.a B. C. D.
8.若 有意义,则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤﹣1
9.若和都是正整数且,和是可以合并的二次根式,下列结论中正确的个数为( )
①只存在一组和使得;
②只存在两组和使得;
③不存在和使得;
④若只存在三组和使得,则的值为49或64
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.下列运算正确的有( )
A.5ab﹣ab=4 B.3 ﹣ =3
C.a6÷a3=a3 D. + =
二、填空题
11.若是 ,则x= .
12.若实数m,n满足(m﹣1)2+ =0,
则(m+n)5= .
13.已知实数 的整数部分是m,小数部分是n,则 = .
14.若 ,则 的值为 .
15.计算: = .
16.已知,则 .
三、综合题
17.综合题
(1)试比较 与 的大小;
(2)你能比较 与 的大小吗?其中k为正整数.
18.我们知道是无理数,其整数部分是1,于是小明用来表示的小数部分.请解答下列问题:
(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(2)已知,其中x是整数,且,求的值.
19.
(1)若 ,则x的取值范围是 ;
(2)若 = · ,则x的取值范围是 .
20.在数学学习活动中,小华和他的同学遇到一道题:已知,求的值.
小华是这样解答的:,请你根据小华的解题过程,解决下列问题.
(1)填空: ; ;
(2)化简:.
21.已知; , .求值:
(1) ;
(2) ;
22.(1)已知是的算术平方根,是的立方根,求的立方根;
(2)若,的算术平方根是5,求的平方根.
23.阅读下面计算过程:
= = ﹣1;
= = ﹣ ;
= = ﹣2.
试求:
(1) = .
(2) (n为正整数)= .
(3) + + +…+ + 的值.
24.如图,在平面直角坐标系 中,已知A(6,0),将线段OA平移至CB,点D在x轴正半轴上(不与点A重合),点C的坐标为 ,且 连接OC,AB,CD,BD.
(1)写出点C的坐标为 ;点B的坐标为 ;
(2)当 的面积是 的面积的3倍时,求点D的坐标;
(3)设 , , ,判断 之间的数量关系,并说明理由.
25.探索规律
观察下列各式及验证过程:n=2时,有式①: ;n=3时,有式②: ;
式①验证:
式②验证:
(1)针对上述式①、式②的规律,请写出n=4时的式子;
(2)请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并加以验证.
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第十六章 二次根式 单元同步检测卷
一、单选题
1.当,则代数式( )
A. B. C. D.
【答案】B
2.要使根式 有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1
【答案】B
【解析】【解答】解:由题意得
2x-2≥0
∴x≥1.
故答案为:B.
【分析】利用二次根式中被开方数时非负数,进而得出答案。
3.若 是二次根式,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x<1 D.x≥0
【答案】B
【解析】【解答】解:由题意得,1﹣x≥0,
解得x≤1.
故答案为:B.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
4.要使式子有意义,则x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥1 C.x>0 D.x>﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解:由题意得,1﹣x≥0,
解得x≤1.
故选A.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
5.下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【解答】A、原式=3,故计算错误;B、原式= ,故计算正确;C、原式= ,故计算错误;D、原式= ,故计算错误;则本题选B.
【分析】根据() =a(a≥0)可知选项A错误;利用二次根式相除,根指数不变,被开方数相除可知B选项正确;根据二次根式相乘,根指数不变,被开方数相乘可知C选项错误;根据=-a(a<0)可知D选项错误.
6.下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
7.实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,化简的结果是( )
A.a B. C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:由题意得b>0>a,
∴,
故答案为:D
【分析】根据数轴的定义即可得到b>0>a,进而化简绝对值和二次根式即可求解。
8.若 有意义,则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥0 D.a≤﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解:若 有意义,则 ,
解得: .
故答案为:A.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.
9.若和都是正整数且,和是可以合并的二次根式,下列结论中正确的个数为( )
①只存在一组和使得;
②只存在两组和使得;
③不存在和使得;
④若只存在三组和使得,则的值为49或64
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
10.下列运算正确的有( )
A.5ab﹣ab=4 B.3 ﹣ =3
C.a6÷a3=a3 D. + =
【答案】C
【解析】【解答】解:A、5ab﹣ab=4ab,故此选项错误,不合题意;
B、3 ﹣ =2 ,故此选项错误,不合题意;
C、a6÷a3=a3,正确,符合题意;
D、 + = + = ,故此选项错误,不合题意;
故选:C.
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式加减运算法则和同底数幂的除法运算法则、分式加减运算法则分别化简求出答案.
二、填空题
11.若是 ,则x= .
【答案】±4
【解析】【解答】】解:∵ =|x|=4,
则x=4或-4.
故答案为:±4.
【分析】根据二次根式的性质“”和绝对值的定义可求解.
12.若实数m,n满足(m﹣1)2+ =0,
则(m+n)5= .
【答案】﹣1
【解析】【解答】解:由题意知,
m,n满足(m﹣1)2+ =0,
∴m=1,n=﹣2,
∴(m+n)5=(1﹣2)5=﹣1.
故答案为:﹣1.
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值,进而可求出(m+n)5的值.
13.已知实数 的整数部分是m,小数部分是n,则 = .
【答案】
【解析】【解答】解:∵1< <2,
∴m=1,n= ,
∴
=
=
= .
故答案为: .
【分析】根据估算无理数的大小,可得m及n的值,然后将m,n代入后分母有理化即可算出答案.
14.若 ,则 的值为 .
【答案】1
【解析】【解答】∵ ,
∴ ,
整理得: ,
相加得: ,
∴ .
故答案为1.
【分析】根据算术平方根及偶次幂的非负性,可得,将两方程相加即可求出结论.
15.计算: = .
【答案】
【解析】【解答】
故答案为: .
【分析】按照二次根式的运算法则计算即可.
16.已知,则 .
【答案】3
三、综合题
17.综合题
(1)试比较 与 的大小;
(2)你能比较 与 的大小吗?其中k为正整数.
【答案】(1)解: ,
,
故 <
(2)解: ,
,
故 <
【解析】【分析】(1)比较两个二次根式的大小,用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式,再比较大小即可;(2)方法同(1).
18.我们知道是无理数,其整数部分是1,于是小明用来表示的小数部分.请解答下列问题:
(1)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值;
(2)已知,其中x是整数,且,求的值.
【答案】(1)解:∵2<<3,
∴的小数部分a=-2,
又∵3<<4,
∴的整数部分b=3,
∴
;
(2)解:∵1<<2,
∴11<10+<12,
又∵10+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,
∴x=11,y=10+-11=-1,
∴
.
【解析】【分析】(1)根据估算无理数大小的方法可得2<<3,3<<4,据此可得a、b的值,然后代入计算即可;
(2)同理求出10+的范围,得到x、y,然后求差即可.
19.
(1)若 ,则x的取值范围是 ;
(2)若 = · ,则x的取值范围是 .
【答案】(1)x≥1
(2)- ≤x≤2
【解析】【分析】根据二次根式的性质可知,二次根式的被开方数大于等于0,即可得出关于x的不等式组,求出x的取值范围即可。
20.在数学学习活动中,小华和他的同学遇到一道题:已知,求的值.
小华是这样解答的:,请你根据小华的解题过程,解决下列问题.
(1)填空: ; ;
(2)化简:.
【答案】(1);
(2)解:原式
.
【解析】【解答】解:(1),;
【分析】(1)给第一个的分子、分母同时乘以(),然后利用平方差公式计算即可;给第二个的分子、分母同时乘以(),然后利用平方差公式计算即可;
(2)原式可变形为,据此计算.
21.已知; , .求值:
(1) ;
(2) ;
【答案】(1) , ,
,
=2
(2) .
【解析】【分析】(1)由平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”和二次根式的性质“”可求得ab的值;
(2)由题意先计算a-b的值,然后将所求代数式变形得原式=(a-b)2-ab,再把a-b和ab的值代入计算即可求解.
22.(1)已知是的算术平方根,是的立方根,求的立方根;
(2)若,的算术平方根是5,求的平方根.
【答案】(1)解:由题意知,,
∴,,
∴,,
∴,
∴的立方根为;
(2)解:由,解得,
∴.
∵的算术平方根是5,
∴,
∴,
∴的平方根为.
【解析】【分析】(1)根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解;
(2)根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
23.阅读下面计算过程:
= = ﹣1;
= = ﹣ ;
= = ﹣2.
试求:
(1) = .
(2) (n为正整数)= .
(3) + + +…+ + 的值.
【答案】(1) ﹣
(2) ﹣
(3)解:原式= + +…+
= ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣
= ﹣1
=19.
【解析】【解答】解:(1) = = ﹣ ,
故答案为: ﹣ ;(2)原式= = ﹣ ,
故答案为: ﹣ ;
【分析】(1)先找出有理化因式,最后求出即可;(2)先找出有理化因式,最后求出即可;(3)先分母有理化,再合并即可.
24.如图,在平面直角坐标系 中,已知A(6,0),将线段OA平移至CB,点D在x轴正半轴上(不与点A重合),点C的坐标为 ,且 连接OC,AB,CD,BD.
(1)写出点C的坐标为 ;点B的坐标为 ;
(2)当 的面积是 的面积的3倍时,求点D的坐标;
(3)设 , , ,判断 之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)(2,6);(8,6)
(2)解:设 ,当三角形ODC的面积是三角形ABD的面积的3倍时,
①若点D在线段OA上,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
②若点D在线段OA延长线上,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
综上,点D的坐标为(4.5,0)或(9,0);
(3)解:过点D作DE∥OC,
由平移的性质知OC∥AB,
∴OC∥AB∥DE,
∴∠OCD=∠CDE,∠EDB=∠DBA,
①若点D在线段OA上,(如图2),
,
即 ;
②若点D在线段OA延长线上,(如图3)
,
即 .
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴a=2,b=6,
∴C(2,6),
如图1,
∵CB=OA,CB//OA,A(6,0),
∴BE=OF=6,FC= 2,CB=OA=6,
∴FB=2+6=8,
∴B(8,6),
故答案为: (2,6), (8,6);
【分析】(1)先根据 确定出a的值,继而求得b的值,确定出点C坐标,继而确定点B的坐标即可;(2)分点D在线段OA上,点D在线段OA延长线上两种情况,结合三角形的面积公式进行求解即可得;(3)过点D作DE∥OC,然后分点D在线段OA上,点D在线段OA延长线上两种情况分别进行求解即可.
25.探索规律
观察下列各式及验证过程:n=2时,有式①: ;n=3时,有式②: ;
式①验证:
式②验证:
(1)针对上述式①、式②的规律,请写出n=4时的式子;
(2)请写出满足上述规律的用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并加以验证.
【答案】(1)解: .
∵
(2)解: ;
【解析】【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较,归纳出一般规律.根据题意可看出 .
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