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第十七章 勾股定理 单元综合知识达标卷
一、单选题
1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（ ）
A． B． C． D．
2．小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米
3．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，2，3
4．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
6．下列各数中是有理数的是（ ）
A．面积为3的正方形的边长
B．体积是8的正方体的棱长
C．两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长
D．长为1，宽为2的长方形的对角线的长
7．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．15
9．如图，在Rt中，，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，.N，作直线MN交AB于点；②以为圆心，CD长为半径画弧交AB于点.下方探究得到以下两个结论：①是等腰；②若，则点到AC的距离为，则（ ）
A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误
10．如图，在中，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ．
12．直线 ∥ ∥ ，且 与 的距离为1， 与 的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为 ．
13．点 到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .
14．直角三角形的两条直角边为和，斜边长为6，若，则 ．
15．如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，且，则的长为 ．
16．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有 个.
三、综合题
17．如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？
18．在我们苏科版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积可得到一个等式： ．
（2）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个能完全重合的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．
① 探究、、之间的数量关系（按给出的格式完成探究）．
▲ ，（整体角度填写）
▲ （局部组合角度填写）
▲ ，（化简结果）
▲ ．
② 根据①中的探究，请用文字语言总结出直角三角形的三边具有的性质．
③ 在直角中，，边长a、b、c满足，，求的面积．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'
（1）如图甲，如果点B'和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图乙，如果点B'落在直角边AC的中点上，求CE的长，
20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．（精确到0.01）
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
24．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
25．
（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求 的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究： 是否为定值 如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
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第十七章 勾股定理 单元综合知识达标卷
一、单选题
1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A．2.2米 B．2.4米 C．2.6米 D．2.8米
【答案】C
3．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． ， ， B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，2，3
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 2+ 2= 2，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
4．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵PD⊥OA，
∴∠PDO=90°，
∵OD=8，OP=10，
∴PD= =6，
∵∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=6．
故选B．
【分析】由PD⊥OA，OD=8，OP=10，利用勾股定理，即可求得PD的长，然后由角平分线的性质，可得PE=PD．
5．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AC=10×5=50cm，
BC=20×6=120cm，
故AB= = =130（cm）．
故选B．
【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
6．下列各数中是有理数的是（ ）
A．面积为3的正方形的边长
B．体积是8的正方体的棱长
C．两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长
D．长为1，宽为2的长方形的对角线的长
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 面积为3的正方形的边长= ，是无理数，错误；
B、 体积是8的正方体的棱长= =2，是有理数，正确；
C、 两直角边分别是4和5的直角三角形斜边的长= ，是无理数，错误；
D、 长为1，宽为2的长方形的对角线的长= ，是有理数，错误；
故答案为：B.
【分析】分别根据开平方的定义；正方体的体积公式和勾股定理求解，再根据有理数和无理数的定义分别判断即可.
7．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵由题意得：OC=2cm，，，
∴AC=2cm，OB=4cm，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理首先求出AC、BC，即可求出AB.
8．如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．15
【答案】B
9．如图，在Rt中，，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，.N，作直线MN交AB于点；②以为圆心，CD长为半径画弧交AB于点.下方探究得到以下两个结论：①是等腰；②若，则点到AC的距离为，则（ ）
A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误
【答案】C
【解析】【解答】解：①设∠B=x°，
由作图过程可得MN是BC的垂直平分线，
∴DB=CD，
∴∠B=∠DCB=x°，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=2x°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=2x°，
∴∠ECD=180°-∠CDE-∠CED=（180-4x）°，
∴∠ECB=∠ECD+∠DCB=(180-3x)°，
而(180-3x)°与2x°不一定相等，
即∠ECB不一定等于∠BEC，
∴△BCE不一定是等腰三角形，故①错误；
②过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∵S△ABC=，
∴，
∴，
，
设DH=a，则CD=BD=，
在Rt△CDH中，CH2+HD2=CD2，即，
解得a=，即HD=，
在△CDE中，CD=CE，CH⊥ED，
∴EH=DH=，
∵S△ACH=S△ACE+S△CEH，
∴
∴
解得GE=，即点E到AC的距离为，故②正确.
故答案为：C.
【分析】设∠B=x°，由线段垂直平分线的性质得DB=CD，由等边对等角及三角形外角性质得∠CDE=∠CED=2x°，根据三角形的内角和定理及角的和差可得∠ECB=(180-3x)°，而(180-3x)°与2x°不一定相等，即∠ECB不一定等于∠BEC，故△BCE不一定是等腰三角形，故①错误；过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，由勾股定理算出AB的长，由等面积法求出CH，进而根据勾股定理算出AH、BH的长，在Rt△CDH中，利用勾股定理建立方程可算出HD的长，根据等腰三角形的三线合一可得EH的长，进而根据S△ACH=S△ACE+S△CEH，建立方程可求出GE的长.
10．如图，在中，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题
11．已知，如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ．
【答案】
12．直线 ∥ ∥ ，且 与 的距离为1， 与 的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为 ．
【答案】12.5
【解析】【解答】解：作AM、BN分别垂直l3， 交l3于M、N，
∵AC=BC，
∠BCN+∠CBN=∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CBN=∠ACM，
∴△BNC≌△CMA(AAS)，
∴CM=BN=3，AM=CN=4，
∴AC=
∴S△ACB=AC×BC=×5×5=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】作AM、BN分别垂直l3， 交l3于M、N，由于等腰直角三角形两腰相等，结合同角的余角相等，利用角角边定理证明△BNC≌△CMA，则CM和AM的长度可求，再运用勾股定理求出AC的长，则△ABC的面积可求.
13．点 到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .
【答案】4；3；5
【解析】【解答】点P（3， 4）到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
到原点的距离是 =5.
故答案为4；3；5.
【分析】利用点P（x，y）当x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到原点的距离为，由此可得答案.
14．直角三角形的两条直角边为和，斜边长为6，若，则 ．
【答案】504
15．如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，且，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在中，，
∴，，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，，再求出AB=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有 个.
【答案】9
【解析】【解答】解：不妨设该直角三角形的是三边长依次为x，y， 其中
由勾股定理知 显然 为大于1且小于401的奇数，所以x为大于1且小于20的奇数，
则x=3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 即满足题意的直角三角形有9个.
故答案为：9.
【分析】利用勾股定理及数的性质计算即可.
三、综合题
17．如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？
【答案】它爬行的最短路线长为
18．在我们苏科版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积可得到一个等式： ．
（2）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个能完全重合的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．
① 探究、、之间的数量关系（按给出的格式完成探究）．
▲ ，（整体角度填写）
▲ （局部组合角度填写）
▲ ，（化简结果）
▲ ．
② 根据①中的探究，请用文字语言总结出直角三角形的三边具有的性质．
③ 在直角中，，边长a、b、c满足，，求的面积．
【答案】（1）
（2）①，，，，；
②直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；
③在直角中，，，
由②结论可知，，
，
由（1）结论可知，，
，
解得：，
．
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：(a+b)2=a2+2ab+b2.
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
（2）①∵S大正方形=c2，S大正方形=4×ab+(b-a)2=a2+b2，
∴a2+b2=c2.
【分析】（1）根据图形可得大正方形的边长为(a+b)，由正方形的面积公式可得大正方形的面积，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此解答；
（2）①由图形可得大正方形的边长为c，由正方形的面积公式可得大正方形的面积，根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积可表示出大正方形的面积，据此解答；
②根据①的结论进行解答；
③由①的结论可得a2+b2=c2=100，由（1）的结论可得(a+b)2=a2+2ab+b2，代入求解可得ab的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'
（1）如图甲，如果点B'和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图乙，如果点B'落在直角边AC的中点上，求CE的长，
【答案】（1）设CE为x，则BE=8-x
∴AE=BE=8-x
∴由勾股定理得，x2+62=（8-x）2
解得x=。
（2）∵点B'落在AC的中点
∴CB'=AC=3
设CE为x，可得，x2+32=（8-x）2
解得x=。
【解析】【分析】（1）设CE为x，则BE为8-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得到答案即可；
（2）根据题意，计算得到CB'=3，根据（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可。
20．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．（精确到0.01）
【答案】（1）解：是．理由如下：
在△CHB中，CB＝2.5，CH＝2，HB＝1.5，
∵CH2+HB2＝22+1.52＝6.25，CB2＝2.52＝6.25，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴CH⊥AB，
故CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）解：设AC＝x千米，则AB＝AC＝x千米，AH＝x﹣1.5（千米）
在Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2+HC2＝AC2
∴x2＝（x﹣1.5）2+22
解得：x≈2.08
答：原来的路线AC的长约为2.08千米．
【解析】【分析】（1）在三角形BCH中，分别计算BH2、BC2、CH2，可得CH2+HB2＝CB2，于是由勾股定理的逆定理可得∠BHC=90°，则CH⊥AB，根据垂线段最短可得CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，在Rt△AHC中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
21．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．
（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．
【答案】（1）解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，
∴AB=
∴CH=
∴AH=
∴S四边形AHIN=AH AN=18，
∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
（2）解：
∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．
∴AC2=AH AB，
同理可得：BC2=BH AB，
∴AC2+BC2=AH AB+BH AB=AB2．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据△ABC面积的两种算法求出CH，再求出AH，即可得到四边形AHIN的面积、正方形AEFC的面积，即可解答；
（2）根据四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积，所以AC2=AH AB，同理可得：BC2=BH AB，所以AC2+BC2=AH AB+BH AB=AB2．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵∠ADC=150°
∴∠BDC=150°﹣60°=90°
（2）解：∵△ABD为正三角形，AB=8cm，
∴其面积为 × ×AB×AD=16 ，
∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，
解得BC=10，CD=6，
∴直角△BCD的面积= ×6×8=24，
故四边形ABCD的面积为24+16
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出BDC的度数；（2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和．
23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）5；；；
（2）解：△ABC的面积：6×5﹣ ×3×1﹣ ×5×5﹣ ×2×6=10．
【解析】【分析】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ，故答案为：5； ； ； ；根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
24．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2交y轴于点P，则点P即为所求．
设直线AB2的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（﹣4，6），B2（2，2），
∴ ，解得 ，
∴直线AB2的解析式为：y=﹣ x+ ，
∴当x=0时，y= ，
∴P（0， ）．
【解析】【分析】（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接B2交y轴于点P，则P点即为所求．
25．
（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求 的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究： 是否为定值 如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
【答案】（1）
（2）如下图连接AC，
∵C与E关于原点对称，
∴CO=OE，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠B=45°，AO⊥CB，
∴∠EAO+∠AEC=90°，AC=AE，
∴∠CAO=∠EAO，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠AEC=90°，
∴∠CAO=∠EAO=∠BCD，
∵∠ADC=∠BCD+∠B，∠CAB=∠CAO+∠OAB，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD，
作DM⊥BC，与BC交于M，
∴∠DMC=90°，
∴∠MDB=∠B=45°，
∴DM=MB，
在△ACO和△DCM中，
∵ ，
∴△ACO≌△DCM（AAS），
∴OE=CO=DM=MB，
∵OB＝3OE，
设OE=CO=DM=MB=m，
∵OB＝3OE，
∴OA=OB=3m，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）是定值，
作DN⊥OB，交y轴与N，
∴∠DNB=∠BOE=∠BOC=90°，
∴∠DBN+∠NBD=90°，
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBN+∠OBE=90°，BD=BE，
∴∠NBD=∠OBE，
在△NBD和△OEB中
∵ ，
∴△NBD≌△OEB（AAS），
∴ND=OB=OC，NB=OE，
在△COF和△DNF中
∵
∴△COF≌△DNF（AAS），
∴NF=OF，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）∵A(0，a)，B(a，0)，
∴AO=OB=a，∠ABO=45°，AB= ，
∵C为线段AB的中点，
∴ ，
∵CD⊥x轴，
∴∠CDB=90°，∠DCB=90°-∠ABO=45°，
∴DC=BD，
∵ ，
∴ ，
∵△AOB的面积为2，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）由点A，B的坐标可求出OA，OB的长，利用勾股定理求出AB的长，利用线段中点的定义求出BC的长；再利用勾股定理求出CD和BD的长，由△AOB的面积为2，可得到a的值；然后求出△CDB得面积.
（2）作DN⊥OB，交y轴与N，利用等腰直角三角形的性质，可证得BD=BE，利用余角的性质可得到∠NBD=∠OBE，利用AAS证明△NBD≌△OEB，利用全等三角形的性质可得到ND=OB=OC，NB=OE；再利用AAS证明△COF≌△DNF，利用全等三角形的对应边相等可得到 NF=OF，；然后求出CO-EO=2BF，由此可证得结论.
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