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【50道常考综合题专练】人教版八年级下册第十七章 勾股定理
1．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
2．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度．
3．一游泳池（），小明和小亮进行游泳比赛，两人均从处出发，小明的平均速度为，小亮的平均速度为，但小亮一心想快，不看方向斜线游，两人到达终点的位置相距，按各人的平均速度计算，谁先到达终点．
4．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积．
5．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，DE＝13时，求AD的长．
6．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.
（1）求证：△AEG是等腰三角形.
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长.
7．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）如图1，求证：△BDF是等边三角形；
（2）如图2，当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；
（3）若移动点D当EF//AB时，求AD的长．
9．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2-DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
10．如图，已知△ABC中，∠B=90
，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
11．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求CD边的长.
12．如图，在矩形中，，．
（1）如图1，点E，F分别在边，上，分别沿，折叠和，点A的对应点G与点C的对应点H均落在对角线上．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求的长．
（2）如图2，点P是上一点，连接，点E，F分别在边，上，分别沿，折叠和四边形，点B的对应点是点，点D的对应点与点的对应点均落在上，连接，且点E，，三点在同一条直线上．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②直接写出四边形的面积
13．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝320m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时．
（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；
（2）如果行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？
14．在中，，．
（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，当时，求．
15．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
（1）在图中作出 关于y轴的对称图形 ；
（2）写出点 ， ， 的坐标；
（3）判断 的形状，并说明理由．
16．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P．与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
17．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC＝CD＝4cm，AB＝1cm，点P以每秒0.5cm的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝_ cm，CP＝_ cm．
（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（写出求解过程）
（3）如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝ ，BC＝2，CD＝4.
（1）求∠ABC的度数.
（2）求CE的长.
19．在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示；
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度 ；
（2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段 的最小值： ；
（3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC= ；
20．点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示.
（1）分别写出点A，B，C的坐标.
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由.
21．如图，△ABC中，∠A=45°， ，
（1）求AC边上高
（2）求BC的长.
22．如图，在涪江笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中，因C到A的路不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A．
（1）求点A的坐标。
（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC=OA，求△OBC的面积．
24．如图，B为∠A边上一点，AB＝5．BC⊥AC，P为射线AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，直线DQ，BC交于点E，连结DP，设AP＝m．
（1）当点P在线段AC上时，若BC=4，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长．
（2）在（1）的条件下时，若AP=PD，求CP的长．
（3）连接PE，若∠A=60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，请画出示意图，求出m的值．
25．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．
（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；
（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；
（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．
26．如图
（1）在网格中画 ，使 、 、 三边的长分别为 、 、
（2）判断三角形的形状： (直接填结论)．
（3）求 的面积．
27．如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
（1）求旗杆的高度OM；
（2）求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
28．如图，在四边形ABCD中，
，连结BD，已知四边形ABCD的周长为30
（1）求证：BD⊥CD.
（2）求四边形ABCD的面积.
29．我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
（1）求证：；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6.
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长.
31．如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ABC的高BH，CM交于点P。
（1）试说明：PB=PC。
（2）若PB=5，PH=3，求AB。
32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）.
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
（3）△ABC的面积= ；
（4）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小，并求出△PAC周长的最小值.
33．如图，中，于点，，为上一点，且，连接并延长交于点．
（1）求证：，；
（2）连接，若．
①求证：；
②若，求的长．
34．如图，是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：≌
（2）若，，求CD的长.
35．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，连接CD，DE＝FE，FC∥AB．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若∠1＝∠2，求证：CD＝CF；
（3）在（1），（2）条件下∠B＝2∠A＝，，求BC的长．
36．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）求证：；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
37．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=13，CD=9，若AD：AC=4：5.
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PAB为轴对称图形？
38．如图①，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
39．如图
（1）如图1， 是等边 内一点，连接 ，且 ，连接 ．
① ▲ 度；（答案直接填写在横线上）
② ▲ ﹔（答案直接填写在横线上）
③求 的度数．
（2）如图2所示， 是等腰直角 内一点，连接 ， ，连接 ．当 满足什么条件时， ．请给出证明．
40．
（1）计算：
（2）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．求折断处离地面的高度（注：其中的丈、尺是长度单位，1丈 尺）
41．综合题。
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC= °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．
42．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC.
（1）在图中画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ，并直接写出点 的坐标；
（2）在（1）的基础上，试判断△ 的形状，并说明理由.
43．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
（1）请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）将图形补充完整， ▲ ．
44．如图所示，正方形网格中的每一个小方格边长都是1，
（1）求 中 和 的长；
（2）判断 是不是直角三角形，并说明理由.
45．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
46．如图，在平面坐标系中，点A、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点，和，（、均大于）．
（1）连接、、，求证：为等腰直角三角形；
（2）连接、、，若，，，求的度数；
（3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积．
47．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，点P从点B以每秒 个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其中一个点到达终点时，两点同时停止.
（1）求BC的长；
（2）设△PDQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在动点P、Q的运动过程中，是否存在PD=PQ，若存在，求出△PDQ的周长，若不存在，请说明理由.
48．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．
49．如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的 大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的 大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中 ， 两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示 以及 的点．（作图过程中标出必要线段长）
50．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．
已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠EDF＝60°，AC＝DF＝3．
（1）操作探究1：
小颖将Rt△ABC和Rt△DEF按如图1的方式在同一平面内放置，其中AC与DF重合，此时B，C，E三点恰好共线．点B，E在点C异侧，求线段BE的长；
（2）操作探究2：
小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点A按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），射线FE和CB交于点G．如图2，在旋转的过程中，小军提出如下问题：
从下面A、B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A．①求证：CG＝FG；
②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段FH的长为（ ）；
③请在图4中画出旋转角α为90°时的图形，并直接写出此时C，F两点之间的距离．
B．①求证：BG＝EG；
②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段GH的长为（ ）；
③在△DEF旋转的过程中，是否存在以A，B，G，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出此时旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．
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【50道常考综合题专练】人教版八年级下册第十七章 勾股定理
1．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米
（2）8米
2．如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度．
【答案】150米
3．一游泳池（），小明和小亮进行游泳比赛，两人均从处出发，小明的平均速度为，小亮的平均速度为，但小亮一心想快，不看方向斜线游，两人到达终点的位置相距，按各人的平均速度计算，谁先到达终点．
【答案】小明先到达终点
4．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积．
【答案】18
5．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，DE＝13时，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）
（2）解：∵ △ABC≌△DCE，BC=5，DE=13
∴BC=CE=5，AC=DE=13
∵∠DCE=90°，
∴CD=
∴AD=AC+CD=13+12=25.
【解析】【分析】（1）根据 AB∥DE得出∠BAC＝∠D，从而利用AAS即可证明△ABC≌△DCE；
（2）由（1）根据全等三角形的性质可得BC=CE，AC=DE，再根据勾股定理算出CD，由此计算出AD的长，得出答案.
6．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.
（1）求证：△AEG是等腰三角形.
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，
∵EB＝EC，
∴∠B＝∠DCG，
∴∠BAD＝∠DGC，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠BAD＝∠AGE，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形；
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG＝90°，
∵EA＝EG，EF⊥AG，
∴AG＝2FG，
∵G为CE中点，
∴EG＝GC＝EC，
∵EB＝EC＝10，
∴GC＝EC＝5，
∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG＝DG，
在Rt△CDG中，CD＝3，
∴DG＝＝4，
∴FG＝DG＝4，
∴AG＝2FG＝8，
∴AG的长为8.
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ADB＝∠ADC＝90°，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCG，根据等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，由对顶角的性质可得∠AGE＝∠DGC，则∠BAD＝∠AGE，推出EA＝EG，据此证明；
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，根据等腰三角形的性质可得AG＝2FG，由中点的概念可得EG＝GC＝EC=5，利用AAS证明△EFG≌△CDG，得到FG＝DG，由勾股定理可得DG，据此求解.
7．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
【答案】（1）解：点M、N是线段AB的勾股分割点.理由如下：
∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（2）解：设BN＝x，则MN＝14-AM-BN＝10-x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（10-x）2＝x2+16，
解得x＝4.2；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2.
即x2＝16+（10-x）2，
解得x＝5.8.
综上所述，BN＝4.2或5.8.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出结论；
（2） 设BN＝x，则MN＝14-AM-BN＝10-x， 分类讨论： ①当MN为最大线段时 ， ②当BN为最大线段时， 分别根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
（1）如图1，求证：△BDF是等边三角形；
（2）如图2，当DF通过点C（即点F与点C重合时），求DE的长；
（3）若移动点D当EF//AB时，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵ED⊥AB，∠EDF＝30°，
∴∠FDB＝60°，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形
（2）解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
由（1）可知，△BCD为等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB BD＝1，
∵DE⊥AB，∠A＝30°，
∴设DE=x，则AE=2x，
∴ ，解得：x= ，
∴DE=
（3）解：∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，
∴CF＝ EF，EF＝ DF，
∵△BDF为等边三角形，
∴DF＝BF＝BD，
∴BF＝4CF，
∴BF＝ ，
∴AD＝AB BD＝2 ＝
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和，求出∠FDB＝60°，根据直角三角形的性质得到∠B＝60°，，根据等边三角形的判定定理证明结论；
（2）根据含30度的直角三角形的性质，求出AB，根据等边三角形的性质求出BD，计算即可；
（3）根据平行线的性质得到∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°，根据含30度的直角三角形的性质、等边三角形的性质计算得到答案。
9．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2-DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2-DA2＝AC2，
∴CD2-DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝．
【解析】【分析】（1）连接CD，根据垂直平分线的性质可得CD=DB，再结合BD2-DA2＝AC2，可得CD2＝AD2+AC2，所以△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）先求出AD和CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可。
10．如图，已知△ABC中，∠B=90
，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
【答案】（1）解：当t=2时BQ=2×2=4 cm，BP=AB-AP=16-2×1=14 cm ，∠B=90°，
∴PQ= = cm
（2）解：依题意得： BQ=2t ，BP=16-t
2t =16-t 解得：t=
即出发 秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）解：①当CQ=BQ时(如下图)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°
∴∠CBQ+∠ABQ=90°
∠A+∠C=90°
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ
∴CQ=AQ=10
∴BC+CQ=22
∴t=22÷2=11秒
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=24
∴t=24÷2=12秒
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= ，
∴CE= ，
故CQ=2CE=14.4，
所以BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2秒
由上可知，当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时，则BC+CQ=24，易求得t；③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t.
11．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求CD边的长.
【答案】（1）解：如图2．∵ △ABC中，AB=10，BC=6，AC =8，∴ .
∴ △ABC是直角三角形，
（2）解：∵ AD//BC，∴ .∵ 在Rt△ACD中， ，AC=AD=8，
∴
【解析】【分析】（1） △ABC中，由已知条件根据勾股定理逆定理得出AC2+BC2=AB2 ；从而得到 ∠ACB=90°.
（2）由 AD//BC，得到∠CAD=∠ACB=90° ；在Rt△ACD中，再根据勾股定理得到 CD2=AC2+AD2，从而求出CD的长度.
12．如图，在矩形中，，．
（1）如图1，点E，F分别在边，上，分别沿，折叠和，点A的对应点G与点C的对应点H均落在对角线上．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求的长．
（2）如图2，点P是上一点，连接，点E，F分别在边，上，分别沿，折叠和四边形，点B的对应点是点，点D的对应点与点的对应点均落在上，连接，且点E，，三点在同一条直线上．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②直接写出四边形的面积
【答案】（1）解：①∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由折叠的性质知， ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形；
②∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ，
由折叠的性质知， ， ，
∴ ；
（2）解：①由折叠的性质知， ，
∴ ，
由折叠的性质知， ， ，
∴四边形 是矩形；
②四边形的面积为。
【解析】【解答】（2）解：② 作 于G，
设 ，
由折叠的性质知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴四边形 的面积为 ．
【分析】
本题考查折叠、三角形全等、相似、勾股定理的综合运用。要理解折叠前后图形所对应的角及边的关系，从而证明全等或相似，并运用相应的公式求出题目中的问题。
（1）①由折叠的性质求得 ，推出 ，即可得到结论；
②先用勾股定理求得 ，根据 即可求解；
（2）①由折叠的性质知， ， ， ，即可求得四边形 是矩形；
②由折叠的性质设 ，证明 ，推出 ，证明 ，推出 ，根据 ，列式计算求得 ，据此计算即可求解．
13．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝320m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时．
（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；
（2）如果行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？
【答案】（1）解：如图：过点A作AC⊥ON， ∵∠QON＝30°，OA＝320米，
∴AC＝160米，
∵AC＜200，
∴居民楼会受到噪音的影响
（2）解：以A为圆心，200m为半径作⊙A，交MN于B、D两点，
即当火车到B点时直到驶离D点，对居民楼产生噪音影响，
∵AB＝200米，AC＝160米， ∴由勾股定理得：BC＝120米，由垂径定理得BD＝2BC＝240米， ∵72千米/小时＝20米/秒， ∴影响时间应是：240÷20＝12秒．
【解析】【分析】（1）作AC⊥ON于C，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝ AO＝160，则点A到MN的距离小200，从而可判断学校会受到影响；（2）以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、D，如图，则AB＝AD＝200，利用等腰三角形的性质得BC＝CD，接下来利用勾股定理计算出BC＝120，所以BD＝2BC＝240，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．
14．在中，，．
（1）如图1，当时，求；
（2）如图2，当时，求．
【答案】（1）解：如图1，
∵ ， ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：作 于D，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理即可得到 ，再结合题意即可求解；
（2）作 于D，再进行边角变换即可得到 ，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到CD的长，再根据勾股定理即可求解。
15．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
（1）在图中作出 关于y轴的对称图形 ；
（2）写出点 ， ， 的坐标；
（3）判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解： ， ， ；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接即可；（2）根据关于y轴对称的点坐标的性质直接求解即可；（3）求出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理逆定理求解即可。
16．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF，BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P．与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，AB=5，AD= ，
由勾股定理得：BD= = = ．
∵S△ABD= BD AE= AB AD，
∴AE= = =4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，
由勾股定理得：BE=3
（2）解：设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD﹣B′D= ﹣3= ，即m=
（3）解：存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = =3 ．
∴DQ=BQ﹣BD=3 ﹣ ；
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：32+（4﹣BQ）2=BQ2，
解得：BQ= ，
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ = ；
③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°﹣ ∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°﹣ ∠1．
∴∠A′QB=∠4=90°﹣ ∠1，
∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣ ∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ，
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ ；
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣5= ．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为3 ﹣ 或 或 ﹣ 或
【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
17．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC＝CD＝4cm，AB＝1cm，点P以每秒0.5cm的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，BP＝_ cm，CP＝_ cm．
（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（写出求解过程）
（3）如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；3
（2）解：如图①中．当BP＝PC＝2cm，AB＝CQ＝1cm时，
∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP≌△QCP（SAS），
∴t＝s，
∴VQ＝＝0.25cm/s．
当AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝3cm，
则△ABP≌△PCQ（SAS），
∴t＝s，VQ＝cm/s．
当点P在点C的右侧，AB＝PC＝1cm，BP＝CQ＝4+1＝5cm，不合题意．
综上所述．满足条件的点Q的速度为0.25cm/s或0.5cm/s．
（3）解：满足条件的t的值为2s或14s或s或s．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当t＝2时，cm，cm，
故答案为：1，3
（3）如图②中，作AH⊥CD于H．
在Rt△ADH中，∵AH＝BC＝4，DH＝CD﹣CH＝CD﹣AB＝3，
∴
∵，，
①当AD＝PD时，，
解得t＝2或14，
②当AD＝AP时，，
，
解得t＝或（舍弃）．
③当PA＝PD时，，
解得，
综上所述，满足条件的t的值为2s或14s或s或s．
【分析】（1）由题意可得：当t＝2时，BP=1cm，由CP=BC-BP可得CP的值；
（2）当BP＝PC＝2cm，AB＝CQ＝1cm时，易证△ABP≌△QCP，求出t的值，进而可得Q的速度；当AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝3cm，△ABP≌△PCQ，同理可得t的值以及Q的速度；
（3）作AH⊥CD于H，由勾股定理可得AD2、PA2、DP2，然后分①AD=PD，②AD=AP，③PA=PD，进行计算可得t的值.
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝ ，BC＝2，CD＝4.
（1）求∠ABC的度数.
（2）求CE的长.
【答案】（1）解：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC＝90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD＝AD，AE＝BE，
∵∠DAB＝30°，
∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2 ，AE＝BE＝ DE＝3，
∵BC2+BD2＝22+（2 ）2＝16＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+90°＝120°；
（2）解：由（1）可得：∠CBF＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝ BC＝1，CF＝ BF＝ ，
∴EF＝BE+BF＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝ .
【解析】【分析】（1）连接BD，作CF⊥AB于F，利用垂直的定义可得到∠BFC＝90°，利用线段垂直平分线的性质，可证得BD＝AD，AE＝BE，利用勾股定理求出BD的长；再求出BC2+BD2和CD2的值，利用勾股定理的逆定理可证得△BCD是直角三角形，可得到∠CBD=90°，由此可求出∠ABC的度数.
（2）利用（1）可求出∠CBF的度数，从而可求出∠BCF的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BF的长，利用勾股定理求出CF的长，根据EF=BE+BF，可求出EF的长；然后利用勾股定理求出CE的长.
19．在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示；
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度 ；
（2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段 的最小值： ；
（3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC= ；
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】【解答】解：（1）标出B点，
故 ；
（2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，
∵两点之间直线最短
∴此时A’B最短，点P即为所求
∴ ，
故 ；
（3）两个C点，AC= 或 ；
【分析】（1）根据题目平移获得点B，然后根据勾股定理求解即可；
（2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，点P即为所求；
（3）在直线l上选择点C，然后根据勾股定理判断 是否为直角三角形即可，然后根据勾股定理求解AC.
20．点A，B，C，在平面直角坐标系的位置如图所示.
（1）分别写出点A，B，C的坐标.
（2）连接AB，BC，CA，判断△ABC的形状并说明理由.
【答案】（1）解：A（3，2），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣2）
（2）解：由勾股定理得：
AB＝ ，BC＝ ， ，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形.
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的位置可得对应的坐标；
（2）由勾股定理求出AB、BC、AC，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
21．如图，△ABC中，∠A=45°， ，
（1）求AC边上高
（2）求BC的长.
【答案】（1）解：过点B作BD⊥AC，垂足为D点，在Rt△ABD中， ，
∴AD=BD，
，即AC边上的高为
（2）解：
在Rt△BCD中，
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D点，BD为AC边上高。由三角形内角和定理可得∠ABD=90° ∠A=45°=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，所以用勾股定理可得，所以BD=AB=(+1)=；
（2）由（1）知，AD=BD=，根据线段的构成可得CD=AD AC=-=，在Rt△BCD中，用勾股定理可求得，则BC=2.
22．如图，在涪江笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中，因C到A的路不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【答案】（1）解：是直角三角形，
理由是：在中，
，
，
是直角三角形且；
（2）解：设千米，则千米，
在Rt中，由已知得，
由勾股定理得：
，
，
解得，
答：原来的路线的长为千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，通过计算CH2+BH2=BC2，即可得出△BCH是直角三角形；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=（x-6）千米，在Rt△ACH中，根据勾股定理，AC2=AH2+CH2，可得出关于x的方程：，解方程求得x的值即可。
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A．
（1）求点A的坐标。
（2）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=x和y=﹣x+7的图象于点B、C，连接OC．若BC=OA，求△OBC的面积．
【答案】（1）解：∵由题意得，，解得，
∴A（4，3）
（2）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，由勾股定理得，
OA===5．
∴BC=OA=×5=7．
∵P（a，0），
∴B（a，a），C（a，﹣a+7），
∴BC=a﹣（﹣a+7）=a﹣7，
∴a﹣7=7，解得a=8，
∴S△OBC=BC OP= ×7×8=28．
【解析】【解答】（1）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标；
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．
【分析】此题考查了一次函数解析式的综合应用以及勾股定理和三角形面积的综合应用。
24．如图，B为∠A边上一点，AB＝5．BC⊥AC，P为射线AC上一点，点Q，P关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，直线DQ，BC交于点E，连结DP，设AP＝m．
（1）当点P在线段AC上时，若BC=4，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长．
（2）在（1）的条件下时，若AP=PD，求CP的长．
（3）连接PE，若∠A=60°，△PCE与△PDE的面积之比为1：2，请画出示意图，求出m的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=48，
∴AC==3，
∵P，Q关于BC对称，
∴PC=CQ=3-m，
∴PQ=2PC=6-2m；
（2）解：当AP=PD时，∠A=∠PDA，
∵QD⊥AB，
∴∠ADQ=90°，
∴∠PDQ+∠ADP=90°，∠AQD+∠A=90°，
∴∠AQD=∠PDQ，
∴PD=PQ，
∴PA=PQ，
∴m=6-2m，
∴m=2，
∴CP=AC-AP=3-2=1；
（3）解：∵CP=CQ，
∴S△PEC=S△ECQ，
∵S△PDE=2S△PEC，
∴S△PDE=S△PEQ，
∴DE=QE，
设DE=EQ=x，
∵∠A=60°，∠ACB=90°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴BE=2x，AC=，
∵∠ADQ=90°，
∴∠AQD=90°-60°=30°，
∴EC=EQ=x，
∴BC=2x+x=，
在Rt△ABC中，
AB =AC +BC 即，
解得x=，
∴DQ=2x=2，CQ=PC==，
∵AQ=AC+CQ==4，
∴m=AP=AQ-PQ=4-3=1．
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得AC=3，根据轴对称的性质可得PC=CQ=3-m，据此不难表示出PQ；
（2）当AP=PD时，∠A=∠PDA，由等角的余角相等可得∠AQD=∠PDQ，则PD=PQ，推出PA=PQ，代入求解可得m的值，然后根据CP=AC-AP进行计算；
（3）根据CP=CQ结合三角形的面积公式可得S△PEC=S△ECQ，结合题意可得S△PDE=S△PEQ，则DE=QE，设DE=EQ=x，则BE=2x，AC=，EC=EQ=x，BC=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得x的值，然后求出DQ、CQ，由AQ=AC+CQ可得AQ，然后根据m=AP=AQ-PQ进行计算.
25．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．
（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；
（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；
（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．
【答案】（1）证明：如图
∵AC⊥AP，
∴∠CAP＝90°，
∵∠APC＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ABP＝30°，
∴∠ABP＝∠P，
∴AB＝AP
（2）解：∵∠BAC＝ ∠ACP，∠B+∠BAC＝∠ACP，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC，
设AC＝x＝BC，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴AC＝3
（3）解：∠AMP的大小不发生变化，理由如下：
∵∠AMP＝∠B+ ∠APC
＝ ∠ACP+ ∠APC，
＝ （∠ACP+∠APC）
＝ ×90°
＝45°，
∴∠AMP是一个定值，即不发生变化．
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可知∠PAC=90°，由∠APC=30°，就可求出∠ACP的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠B的度数，从而可证得∠B=∠APB，然后根据等角对等边，就可证得结论。
（2）利用已知条件易证AC=BC，设AC=BC=x，用含x的代数式可表示出CP的长，再在Rt△ACP中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可求解。
（3）利用三角形外角的性质，可证∠AMP＝∠B+ ∠APC，由∠B＝ ∠ACP，就可求出∠AMP的度数，即可证得结论。
26．如图
（1）在网格中画 ，使 、 、 三边的长分别为 、 、
（2）判断三角形的形状： (直接填结论)．
（3）求 的面积．
【答案】（1）解：如图：
（2）锐角三角形
（3）解：
【解析】【解答】（2）∵AC=，AB=，BC=
AC2＞AB2+BC2
∴此三角形不是直角三角形
如图
在Rt△CDB和Rt△ABE中
∠CBD＜∠ABE
∴∠ABD+∠CBD＜90°即∠ABC＜90°
∴∠ABC时锐角
此三角形中，最长的边为AC
∴∠ABC最大，
∴△ABC是锐角三角形。
故答案为：锐角三角形。
【分析】（1）利用勾股定理画出△ABC。
（2）利用勾股定理的逆定理，可知△ABC表示直角三角形，再根据网格特点，可证得∠CBD＜∠ABE，就可得出△ABC中最大的角为锐角，即可得出结论。
（3）将△ABC转化到边长为3×3的矩形中，利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，计算可求解。
27．如图，在超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米（即，米），高为3米的矮台BD的顶端B．
（1）求旗杆的高度OM；
（2）求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】（1）解：如图，过点作，过点作，设
∴
∴四边形均为矩形
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
解得：
∴
∴旗杆的高度为15米．
（2）解：由题意知
在中，
∴
∴
∴玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出OB=13，再求出ON=15，最后计算求解即可。
28．如图，在四边形ABCD中，
，连结BD，已知四边形ABCD的周长为30
（1）求证：BD⊥CD.
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ 是等边三角形
∴ .
∵ ，
∴
∴
（2）解：如图，作DE⊥AB于点E，
由(1)知 是等边三角形，
∴
∴ ，
∴
∵∠BDC=90°，
△BCD是直角三角形.
又∵四边形ABCD的周长为30，
∴CD+BC=30-AD-AB=30-6-6=18.
设CD=x，则BC=18-x，
根据勾股定理，得
解得 ，
∴
∴
【解析】【分析】（1）先证出△ABD是等边三角形，得出∠ADB=60°，从而得出∠BCD=90°，即可得出 BD⊥CD；
（2）作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质得出AE的长，再根据勾股定理得出DE的长，从而得出△ABD的面积，再根据四边形ABCD的周长得出CD+BD的长，再根据勾股定理得出CD的长，从而得出△BCD的面积，即可得出四边形ABCD的面积.
29．我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域.
（1）求证：；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）证明：∵km，km，km，
∴.
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：海港C受台风影响.理由如下：
如图，过点C作于D.
∵，
∴.
∵，
∴海港C受到台风影响.
（3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口.
∴EC=FC，
∵CD⊥AB，
∴ED=FD，
在中，由勾股定理得：
，
∴km，
∵台风的速度为40km/h，
∴.
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h .
【解析】【分析】（1）由题意可得AC=300km，BC=400km，AB=500km，然后根据勾股定理逆定理进行证明；
（2）过点C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式求出CD，然后与250进行比较即可判断；
（3）在线段AB上取点E，F，使EC=250km，FC=250km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口，根据等腰三角形的性质可得ED=FD，利用勾股定理可得ED，然后求出EF，再除以台风的速度可得持续的时间.
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D为AB上一点，CD＝8，BD＝6.
（1）求证：∠CDB＝90°；
（2）求AC的长.
【答案】（1）证明：∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）解：∵AB＝AC，
∴设AC＝x，则AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x＝ ，
故AB＝AC＝ .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案；（2）设AC＝x，由题意得到x2＝（x﹣6）2+82，计算即可得到答案.
31．如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ABC的高BH，CM交于点P。
（1）试说明：PB=PC。
（2）若PB=5，PH=3，求AB。
【答案】（1）解：因为AB= AC，所以∠ABC=∠ACB．
因为BH，CM为△ABC的高，所以∠BMC=∠CHB=90°
所以∠ABC+∠BCM= 90°，∠ACB+∠CBH=90．
所以∠BCM=∠CBH．所以PB= PC
（2）解：因为PB= PC，PB=5，所以PC=5，
在Rt△PCH中，因为PH=3，∠CHB= 90°
由PH2+CH2=PC2，
得CH2= PC2-PH2=52-32=42 ，所以CH=4．
设AB=τ，则AH=x-4．在Rt△ABH中，、
因为AH2 + BH2=AB2
所以(x-4)2+(5+3)2=x．解得x= 10，所以AB= 10．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BMC=∠CHB=90° ，再求出 ∠BCM=∠CBH ，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出 CH=4 ，再求出 x= 10， 即可作答。
32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）.
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点C'的坐标： ；
（3）△ABC的面积= ；
（4）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小，并求出△PAC周长的最小值.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
（2）（1，2）
（3）4
（4）解：如图，作点C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于点P，P即为所求，此时PA+PC最小，
∵PA+PC=PA+PC′=AC′= ，AC= ，
∴△PAC周长的最小值为
【解析】【解答】解：（2）点C（-1，2）关于y轴的对称点C′的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）.
（ 3 ）△ABC的面积=3×3- ×1×3- ×1×3- ×2×2=4，
故答案为：4.
【分析】（1）利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别画出点A，B，C的对称点 A1、B1、C1，再顺次连接即可。
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点C ' 的坐标。
（3）利用点A，B，C的坐标，将△ABC转化到边长为3的正方形中，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，列式计算可求值。
33．如图，中，于点，，为上一点，且，连接并延长交于点．
（1）求证：，；
（2）连接，若．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝45°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵DF＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF＝AC，∠DBF＝∠DAC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∴BF⊥AC；
（2）解：①证明：由（1）知BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE；②解：∵△BDF≌△ADC，∴CD＝DF＝，在Rt△CDF中，，∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝CF＝2，∴AD＝AF＋DF＝2＋．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据题意先求出 AC＝2AE， 再求解即可；
②利用全等三角形的性质，勾股定理计算求解即可。
34．如图，是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作E等边，DE交AC于点F，连接AE，
（1）求证：≌
（2）若，，求CD的长.
【答案】（1）证明：与是等边三角形，
，，，
，
≌
（2）解：如图，作于点G，
≌，
，
，，
，
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，根据角的和差关系可得∠BCD=∠ACE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）作DG⊥BC于点G，由全等三角形的性质可得BD=AE=2，易得BG、DG的值，由CG=BC-BG可得CG，然后利用勾股定理进行计算.
35．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，连接CD，DE＝FE，FC∥AB．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若∠1＝∠2，求证：CD＝CF；
（3）在（1），（2）条件下∠B＝2∠A＝，，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
（2）证明：∵
∴
∴ 而
∴
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴ 而
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠CFE，由已知条件可知DE=EF，利用AAS证明△ADE≌△CFE，据此可得结论；
（2）由（1）知∠A=∠2，结合∠1=∠2可得∠1=∠A，则DA=DC，结合AD=CF可得结论；
（3）由已知条件可得∠A=40°，则∠1=∠2=40°，根据内角和定理可得∠ACB的度数，进而可得∠B=∠BDC=80°，推出BD=CD，由（1）知△ADE≌△CFE，得到AE=CE，结合AC2+DF2=8可得CE2+DE2=2，由等腰三角形的性质可得CE⊥DF，则CD2=CE2+DE2=2，据此求解.
36．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）求证：；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵，，，
∴．
∴；
（2）海港受台风影响．
理由如下：如图，过点作于．
∵，
∴，
∵，
∴海港受到台风影响；
（3）解：当，时，正好影响港口．
在中，由勾股定理得
，
∴，
∵台风的速度为，
∴．
∴台风影响该海港持续的时间为．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（2）过点作于．利用三角形的面积求出CD的长，再与250m比较即可；
（3）当，时，正好影响港口．由勾股定理求出DE的长，由EF=2DE求出EF，再利用时间=路程÷速度即可求解.
37．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=13，CD=9，若AD：AC=4：5.
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PAB为轴对称图形？
【答案】（1）解：∵AD：AC=4：5.
∴可设AD=4x，AC=5x，
在 中，CD=9，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2，
∴ ，解得： 或 （舍去）
∴AD=4x=12，AC=5x=15，
在 中，AB=13，由勾股定理得：
∴ ，
∴BC=BD+CD=5+9=14，
∴△ABC的面积为 ；
（2）解：由△PAB为轴对称图形，得：△PAB 是等腰三角形，
如图，当AB=BP=13时，
∴PC=BC-BP=14-13=1，
此时 （秒） ；
如图，当AB=AP=13时，点P只能在线段CD上，
∵AD⊥BC，
∴PD=BD=5，
∴BP=10，
∴PC=BC-BP=4，
∴ （秒）；
如图，当BP=AP，且点P在线段CD上时，
设DP=a，则BP=AP=5+a，
在 中，由勾股定理得： AP2=AD2+DP2，
∴ ，解得： ，
即 ，故此情况不成立；
如图，当BP=AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M，
设PD=m，则BP=AP=12-m，
在 中，由勾股定理得：BP2=BD2+DP2，
∴ ，解得： ，
∴PD+CD= ，
∴此时 （秒）；
综上所述，当t为 秒或 秒或 秒时，△PAB为轴对称图形.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD、AC、BD的长，从而求出BC的长，再利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案；
（2）分四种情况讨论： 当AB=BP=13时， 求出PC的长，从而求出t的值；当AB=AP=13时，点P只能在线段CD上，求出PC的长，从而求出t的值；当BP=AP，且点P在线段CD上时，得出DP＞DC，即可得出此情况不成立；当BP=AP，且点P在线段AD上时，求出PD+CD的长，从而求出t的值，即可得出答案.
38．如图①，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
【答案】（1）解：过P作PQ⊥BC于Q（如图1），
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC， ∴PQ=AB= ， ∵△PEF是等边三角形， ∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°， 设PF=2x，QF=x，PQ= ，根据勾股定理得： ，
解得：x=1，故PF=2， ∴△PEF的边长为2；
（2）解：PH﹣BE=1，理由如下： ∵在Rt△ABC中，AB= ，BC=3， ∴由勾股定理得AC=2 ，
∴CD= AC， ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC，∠PFE=60°， ∴∠FPD=60°， ∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH， ∴△APH是等腰三角形， 作ER⊥AD于R（如图2）
Rt△PER中，∠RPE=60°， ∴PR= PE=1，
∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1．
（3）解：结论不成立，
当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE， 当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1．
【解析】【分析】（1）作 PQ⊥BC于Q ，等边三角形三线合一的性质得∠PFQ=60°。由已知条件得PQ的长度，再根据特殊角三角函数值，即可得出 △PEF的边长 。
（2） 在Rt△ABC中 ，由勾股定理得AC，即可求得sin∠CAD，从而得到∠CAD的度数。根据平行线以及等边三角形的性质，得∠DPF=60°。由外角和定理得∠DHA，从而得三角形APH是等腰三角形。 作ER⊥AD于R ，可求出PR的长度，因此 PH﹣BE =PR。
（3）同（2），写出PH与BE的关系式，比较即可。
39．如图
（1）如图1， 是等边 内一点，连接 ，且 ，连接 ．
① ▲ 度；（答案直接填写在横线上）
② ▲ ﹔（答案直接填写在横线上）
③求 的度数．
（2）如图2所示， 是等腰直角 内一点，连接 ， ，连接 ．当 满足什么条件时， ．请给出证明．
【答案】（1）解：① ；② ；③
为直角三角形
为等边三角形
（2）解：当 时， ．
理由如下：
，
为等腰直角三角形，
，
当 时， 为直角三角形，
，
当 满足 时， ．
【解析】【解答】解：（1）①
即
故答案为： ；
②
，
由①得
是等边三角形，
故答案为：4；
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②先求出，再求出 是等边三角形，最后求解即可；
③先求出 为直角三角形 ，再求出∠BDO=60°，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的性质和勾股定理求解即可。
40．
（1）计算：
（2）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．求折断处离地面的高度（注：其中的丈、尺是长度单位，1丈 尺）
【答案】（1）解：原式
（2）解：设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ．
解得： ，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【解析】【分析】（1）化简二次根式进而利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2） 设竹子折断处离地面 尺，则斜边为 尺，根据勾股定理得方程，解得即可。
41．综合题。
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC= °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．
【答案】（1）120；AD=BE
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE=AE﹣DE=15﹣7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∴AB= = =17
（3）解：把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°﹣30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中， ，
即BD的长为13．
【解析】【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数．（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE﹣DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．
42．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC.
（1）在图中画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ，并直接写出点 的坐标；
（2）在（1）的基础上，试判断△ 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，由点A（﹣1，5）易得 （1，5），
连接 ；
（2）解：△ 是直角三角形，理由如下：
由（1）易得 ，
， ，
∵ ，
∴△ 是直角三角形.
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点y值不变，x值互为相反数得出点A'的坐标，先画出点A关于y轴的对称点 ，连接 ；
（2）由图可以判断△ 是直角三角形，根据点的坐标计算线段的长，再根据勾股定理逆定理计算验证即可.
43．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
（1）请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）将图形补充完整， ▲ ．
【答案】（1）解：如图，点E、点F即为所求．
（2）如图，
；5
【解析】【解答】(2)∵长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处，
∴，
∵在长方形中，，
∴
∴
∴设，则
∵
∴，即
∴解得
∴．
【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可。
44．如图所示，正方形网格中的每一个小方格边长都是1，
（1）求 中 和 的长；
（2）判断 是不是直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）解： ，
（2）解： ，
∵ ，
∴△ABC是直角三角形.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC、BC；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
45．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
【答案】（1）解：将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线
（2）解：由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中，
QB2+BE2=QE2， 则EF2=BE2+DF2．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，即可证明△AQE≌△AFE，由全等三角形的性质，证明得到EA为∠QED的平分线即可；
（2）根据（1）中△AQE≌△AFE的结论，由三角形全等的性质即可根据勾股定理得到证明答案。
46．如图，在平面坐标系中，点A、点分别在轴、轴的正半轴上，且，另有两点，和，（、均大于）．
（1）连接、、，求证：为等腰直角三角形；
（2）连接、、，若，，，求的度数；
（3）若，在线段上有一点，且，，，求的面积．
【答案】（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形.
（2）解：连接，如图所示：
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，如图所示：
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得：，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
【解析】【分析】（1）过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、，先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到是等腰直角三角形；
（2）连接DA，先利用“SAS”证出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证出，最后利用角的运算求出即可；
（3）作，为垂足，设，利用勾股定理可得，求出x的值，可得EF的长，再利用勾股定理求出CF的长，再求出，最后利用三角形的面积公式求解即可.
（1）证明：过点、点向轴、轴作垂线，垂足分别为、．
∵（、均大于），
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作，为垂足，
由勾股定理得，，，
设，可得，
解得，
∴，
在中，得，
∵，，
∴，
∴的面积．
47．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，点P从点B以每秒 个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其中一个点到达终点时，两点同时停止.
（1）求BC的长；
（2）设△PDQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在动点P、Q的运动过程中，是否存在PD=PQ，若存在，求出△PDQ的周长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：△ABC中，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥ BC，
∴∠B=∠C=30°，BD=DC
∴AD= AB=2，由勾股定理得：BD=DC= 2
∴BC=2BD=4 ；
（2）解：过点Q作QM⊥BC于点M，
∵CQ=t，∠C=30°，BP= t
∴QM= CQ= t ，
①当点P在线段BD上运动时，即0≤t≤2，如图：
PD=BD-BP=2 - t
∴S△PDQ= ×PD×QM= ×（2 - t）× t=- t2+ t(0≤t≤2)；
②当点P在线段DC上运动时，即2PD= BP - BD = t- 2 ，方法同①得：
S△PDQ= ×PD×QM= ×（ t -2 ）× t= t - t2 (2（3）解：当点P在BD上运动时，∠BDQ>90°，PD≠PQ，
所以若PD=PQ= t -2 ，则PD=PQ
如（2）②中图形，此时PD=PQ= t- 2 ，PC=BC-BP=4 - t，
MC= = t ，MP=MC-PC= t-(4 - t)= t-4 ，
Rt△PMQ中，∵QM2+MP2=QP2
∴（ t）2+（ t-4 ）2=（ t -2 ）2，
化简得：t2-6t+9=0，即（t-3）2=9，∵t >0
解得t=3，即PD=PQ= t -2 =3 -2 = =PC，
又∵∠C=30°，∴∠C=∠PQC=30°，∠DPQ=∠C+∠PQC=60°，即△DPQ是等边三角形，
∴△DPQ的周长=3PD=3 .
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质三线合一和含30°锐角的直角三角形的性质即可解答；（2）分当点P在线段BD上运动和当点P在线段DC上运动，过点Q作QM⊥BC于点M，用含时间t的代数式分别表示出PD=BD-BP=2 - t或者PD= BP - BD = t- 2 ，、QM CQ= t的长，根据三角形面积公式即可求解；（3）根据题意可得，当PD=PQ时，PD=PQ，用含t的式子分别表示出Rt△PMQ的三边，由勾股定理得QM2+MP2=QP2，解得t=3后得到△DPQ是等边三角形，边长为 ，从而求出周长.
48．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．
【答案】（1）解：结论：BQ=CP．
理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ
（2）解：成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．
（3）解：如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．
∵∠OPC=15°， ∠OCB=∠OPC+∠POC ，∴∠POC=45°，∴CE=EO，设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF= a，在Rt△PCE中，PC= = = ，∵PC+CB=4，∴ ，解得a= ，∴PC= ，由（2）可知BQ=PC，∴BQ= ．
【解析】【分析】（1）作PH∥AB交CO于H， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠A=30°，可证得△CBO和△CPH是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得CP=CH=PH，OC=CB，即可证得OH=PB，再证明∠POH=∠BPQ，利用旋转的性质，可得出PO=PQ，然后由SAS证明△POH≌△OPB，利用全等三角形的性质，可证BQ=PH，从而可证得结论。
（2）作PH∥AB交CO的延长线于H， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠A=30°，可证得△CBO和△CPH是等边三角形，利用等边三角形的性质，可证得CP=CH=PH，OC=CB，即可证得OH=PB，再证明∠POH=∠BPQ，利用旋转的性质，可得出PO=PQ，然后由SAS证明△POH≌△OPB，利用全等三角形的性质，可证BQ=PH，由PH=PC，从而可证得结论。
（3）作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF，由（1）可知∠OCB=60°，利用三角形外角的性质，可证得 ∠OCB=∠OPC+∠POC，求出∠POC的度数，可证得△OEC是等腰直角三角形，可证得CE=OE，设CE=CO=a，可表示出PF、FC、EF，利用勾股定理求出PC，再根据PC+CB=4，建立关于a的方程，求出a的值，然后求出BQ的长。
49．如图1，教材P41页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的 大正方形．试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的 大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中 ， 两点表示的数分别为 ， ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在两条数轴上分别找到表示 以及 的点．（作图过程中标出必要线段长）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图
【解析】【分析】（1）∵∴大正方形边长为 ，即小正方形对角线的长。
（2）由题（1）知小正方形对角线等于 ，则图2圆的半径等于 ，则0点到A的长度为 ，
它表示的数为-（-1），即1- . 0点到B点的长度为+1，相应表示的数为1+ .
（3）∵5=4+1，得()2=22+1， 先把一个无理数的平方表示成两个有理数的平方和，然后以0点为基点，以数轴的正方向的一个单位长度，或两个单位长度为矩形的一边，相应另一边垂直于数轴，长度等于2或1，依此作出矩形，则矩形对角线的长度为，最后以0点为圆心，以此矩形的对角线的长度画弧交数轴的正方向于一点，这点表示的数即是 .
在数轴上再以-3为圆心，以为半径画弧交-3点和0点之间于一点，这点表示的就是 .
50．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．
已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠BAC＝∠EDF＝60°，AC＝DF＝3．
（1）操作探究1：
小颖将Rt△ABC和Rt△DEF按如图1的方式在同一平面内放置，其中AC与DF重合，此时B，C，E三点恰好共线．点B，E在点C异侧，求线段BE的长；
（2）操作探究2：
小军在图1的基础上进行了如下操作：保持Rt△ABC不动，将Rt△DEF绕点A按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），射线FE和CB交于点G．如图2，在旋转的过程中，小军提出如下问题：
从下面A、B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A．①求证：CG＝FG；
②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段FH的长为（ ）；
③请在图4中画出旋转角α为90°时的图形，并直接写出此时C，F两点之间的距离．
B．①求证：BG＝EG；
②如图3，当α＝30°时，延长AF交BC于点H，则线段GH的长为（ ）；
③在△DEF旋转的过程中，是否存在以A，B，G，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请在图4中画出旋转后的图形，并直接写出此时旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AC＝3，
∴AB＝6，
由勾股定理得； ，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴EF＝BC＝ ，
∴BE＝BC+EF＝
（2）A；证明：①如图2，连接AG，
在Rt△ACG和Rt△AFG中，
∵ ，
∴Rt△ACG≌Rt△AFG（HL），
∴CG＝FG； ；解：如图4，
由旋转得：∠CAF＝90°，AC＝AF＝3，
由勾股定理得：CF＝ ；
B．①证明：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CG＝EF﹣FG，
即BG＝EG；
②如图3，
设GH＝x，则CG＝FG＝ ，
∵FH＝ ，
Rt△GHF中，GH2＝FH2+FG2，
∴ ，
解得：x＝ ，
即GH＝ ，
故答案为： ；
③如图5，四边形AEGB是平行四边形，
∴AB∥FG，
∴∠BAE＝∠AEF＝30°，
∴α＝∠CAB+∠BAE+∠FAE＝60°+30°+60°＝150°．
【解析】【解答】②解：如图3，
当α＝30°时，∠CAF＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴CH＝ ，AH＝ ，
∵AF＝AC＝3，
∴FH＝ ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据勾股定理得BC的长，由全等知：EF＝BC＝ ，可得BE的长；（2）A．①如图2，连接AG，证明Rt△ACG≌Rt△AFG（HL），可得结论；②如图3，当α＝30°时，∠CAF＝30°，分别求AH和AF的长，利用线段的差可得FH的长；③如图4，根据勾股定理可得CF的长；
B．①由Rt△ABC≌Rt△DEF和线段的差可得结论；②如图3，设GH＝x，则CG＝FG＝ ﹣x，根据勾股定理列方程可得结论；③如图5，根据平行线的性质和角的和可得结论．
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