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【50道综合题·专项集训】北师大版八年级下册第一章 三角形的证明
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
2．如图，已知，，，垂足为C．，，求的度数．
3．如图所示，在△ABC中，已知AD⊥BC，∠B=64°，∠C=56°，
（1）求∠BAD和∠DAC的度数；
（2）若DE平分∠ADB，求∠AED的度数.
4．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， .
求证：
（1） ；
（2） .
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝ ， AD＝ ；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
6．如图1，四边形 中， ， ， ，经过点 的直线 将四边形分成两部分，直线 与 所成的角设为 ，将四边形 的直角 沿直线 折叠，点 落在点 处（如图1）.
（1）若点 与点 重合，则 ， ；
（2）若折叠后点 恰为 的中点（如图2），则 的度数为 .
（3）在（2）的条件下，求证： .
7．小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 ．（请你画出图形，并直接写出结果）．
8．已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若∠EPF=60°，EO＝1，求PF的长；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3 －4，求BC的长．
9．如图，在等边△ABC中，DE分别是AB，AC上的点，且AD=CE．
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠1+∠2的度数．
10．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG.
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.
11．如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，
（1）试说明△ABD与△ACE全等的理由；
（2）如果∠B=60°，试说明线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
12．如图，直线y＝-x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）.在x轴的负半轴上有一点C（-4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD.
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围.
13．如图，在等腰 中， ，D为BC的中点，过点C作 于点G，过点B作 于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E.
（1）求证： ；
（2）求证：AB垂直平分DF；
（3）连接AF，试判断 的形状，并说明理由.
14．已知：如图，一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为
．
（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF.
（1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由
（2）若BD=26，EF=5，求AC的长
16．如图， 中， ， ， 于点 ， 于点 ， 与 相交于 .
（1）求证：
（2）若 ，求 的长.
17．意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达 芬奇的方法证明勾股定理．
18．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
19．如图所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=3，AC=4，求AD的长．
20．在等边 中，过点A作一条射线 ，设 ，在射线 上取一点D，使得 且 ． 是 的角平分线，交直线 于E．
（1）如图1，当 时 ， ；
（2）当 时， ；
（3）如图2中，求出 的度数（可以用含 的等式表示）．
21．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
22．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
23．如图所示，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠。
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B。
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑。
（1）请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)。
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明。
24．如图，中，，，垂足为D．
（1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
25．如图，等腰三角形ABC的周长为20cm，底边BC长为y（cm），腰AB长为x（cm）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）腰长AB=7时，底边的长.
26．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，MN经过点O，与AB、AC分别相交于点M、N，且MN∥BC.
（1）求证∠BOC=90°+ ∠A；
（2）若△AMN 与△ABC的周长的比为2：3，△ABC的周长为30，求BC的长.
27．如图，在中，，点D在边上（不与点A，点C重合），连接，.
（1）设时，求的度数；
（2）若，，求的长.
28．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米，
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长。
29．在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）写出A点和B点的坐标；
（2）若C点的坐标为C(0，-2)，判断△ABC的形状，并说明理由.
30．如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，重合部分为△EBD．
（1）求证：△EBD为等腰三角形；
（2）若AB=2，BC=8，求AE.
31．如图，已知△ABC中，AB=BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E.
（1）求证：AE=DE；
（2）若∠C=65°，求∠BDE的度数。
32．已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组
（1）求a、b的值．
（2）求这个等腰三角形的周长．
33．如图，在 中，D是 的垂直平分线 上一点， 于F， 交 的延长线于E，且 ．
（1）若 ，则 ．
（2）求证： 平分 ；
（3）在（1）的条件下，求 的度数．
34．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数．
35．已知：如图ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，
求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF=BE+CF．
36．如图， 中， ， 的平分线交 于D， 交 的延长线于点E， 交 于点F.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的长.
37．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD.
38．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵=BA，=CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
39．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
40．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D，
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数.
41．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为 ；
（2）图中格点△ABC的面积为 ；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
42．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，交AC于D，EF⊥BC于点F.
（1）若∠CDE=152°，求∠DEF的度数；
（2）若点D是AC的中点，求证： .
43．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
44．综合题。
（1）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．求证：DE=DF；
（2）如图2，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D是BC边上的动点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．请问DE+DF的值是否随点D位置的变化而变化？若不变，请直接写出DE+DF的值；若变化，请说明理由．
45．如图，在中，是边上一点，若，，，．
（1）求的度数．
（2）求的长．
46．
（1）（探索研究）
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上.试探究线段BE和CD的数量关系.小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系.
（2）（类比探究）
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论.
47．如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
48．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD
（1）求证：DB=DE
（2）过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF。
49．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是A（6，0）、B（0，2），在AB的右上方有一点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
（1）若点C坐标为（x，y），请在图1中作一点C（点A除外），使x+y=6；
（2）设点C坐标为（x，y），请在图2中作一点C，使x+y的值最大，并求出x+y的最大值.
请利用没有刻度的直尺和圆规作出符合条件的点C.（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
50． 是 的高.
（1）如图1，若 ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，若 ， 的平分线 交 于点 ，求 的值；
（3）如图3，若 是以 为斜边的等腰直角三角形，再以 为斜边作等腰 ， 是 的中点，连接 、 ，试判断线段 与 的关系，并给出证明.
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【50道综合题·专项集训】北师大版八年级下册第一章 三角形的证明
1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
【答案】（1） 解：（1）∵DE垂直平分AC，∠A＝36°∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2） 解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．
【解析】【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5．
2．如图，已知，，，垂足为C．，，求的度数．
【答案】
3．如图所示，在△ABC中，已知AD⊥BC，∠B=64°，∠C=56°，
（1）求∠BAD和∠DAC的度数；
（2）若DE平分∠ADB，求∠AED的度数.
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴在Rt△BAD中，∠BAD+∠B=90°，
又∵∠B=64°，∴∠BAD=26°；
∴在Rt△BAD中，∠DAC+∠C=90°，
又∵∠C=56°，∴∠DAC=34°；
（2）解：∵AD⊥BC，DE平分∠ADB，∴∠BDE=45°，
在△BED中，∠B=64°，∴∠B+∠BDE=109°，
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠AED=109°.
【解析】【分析】（1）在Rt△BAD和Rt△BAD中，根据直角三角形的两个锐角互余分别求解即可得；
（2）由DE平分∠ADB，AD⊥BC求得∠BDE=45°，再根据三角形外角的性质求解即可.
4．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， .
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AD＝BC，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）
（2）证明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB.
【解析】【分析】（1）根据垂直得：∠DAB＝∠ABC＝90°，根据SAS证明△ABC≌△BAD；
（2）由（1）中的全等得：∠CAB＝∠DBA，根据等角对等边可得结论.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，CD＝ ， AD＝ ；
（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；
（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）2；8
（2）解：①∠CDB=90°时，S△ABC= AC BD= AB BC，
即 ×10 BD= ×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD= =3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=10÷1=10秒，
综上所述，t=3.6或10秒；
（3）解：①CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；
②BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
综上所述，t=6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）t=2时，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= =10，
AD=AC-CD=10-2=8；
故答案是：2；8．
【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
6．如图1，四边形 中， ， ， ，经过点 的直线 将四边形分成两部分，直线 与 所成的角设为 ，将四边形 的直角 沿直线 折叠，点 落在点 处（如图1）.
（1）若点 与点 重合，则 ， ；
（2）若折叠后点 恰为 的中点（如图2），则 的度数为 .
（3）在（2）的条件下，求证： .
【答案】（1）45°；8
（2）30°
（3）解：由（2）得 是 的线段垂直平分线，
∴ ，BE=AF
∵ ，
∴ .
【解析】【解答】（1）若点D与点A重合，
则 ∠COA＝45°，OA＝OC＝8.
故答案为：45°，8.
（2）如图：延长ED、OA，交于点F.
∵∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠AOC＋∠BCO＝180°，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠DAF.
在△BDE和△ADF中，
，
∴ （ASA），
∴DE＝DF.
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OE＝OF，
∴根据等腰三角形的性质可得∠EOD＝∠FOD.
由折叠可得∠FOD＝∠EOC＝ ，
∴∠COA＝3 ＝90°，
∴ ＝30°.
故答案为：30°；
【分析】（1）若点D与点A重合，利用折叠的性质可求出θ的值及a的值.
（2）延长ED、OA，交于点F，可得到∠AOC＋∠BCO＝180°，可推出BC∥OA，利用平行线的性质可证得∠B＝∠DAF，利用ASA证明△BDE≌△ADF，利用全等三角形的性质，可证得DE=DF；再利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可证得OE=OF，∠EOD＝∠FOD；由此可证得∠COA＝3θ=90°，即可得到θ的值.
（3）利用线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质可证得OE=OF，BE=AF，再根据OF=OA+AF，由此可证得结论.
7．小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 ．（请你画出图形，并直接写出结果）．
【答案】（1）=
（2）=
（3）3或1
【解析】【解答】解：（1.）AE=DB，
理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD= ∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
故答案为：=；
（2.）如图3，
∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
故答案为：=；
（3.）如图4，当点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，
则∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE与△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如图5，当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
类似上述解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2﹣1=1，
故答案为：3或1．
【分析】（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，进而得到AE=DB；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，进而得出AE=DB；（3）分两种情况：点E在AB上和在BA的延长线上，作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD=EF，求出EF的长度，即可解决问题．
8．已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若∠EPF=60°，EO＝1，求PF的长；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3 －4，求BC的长．
【答案】（1）解：连接PO，如图，
∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）
∴PF=PE，∠EPO=∠FPO=30°
在Rt△PEO中，EO=1，∠EPO=30°
∴PO=2，得到PE=
∴PF=
（2）解：如下图
∵P是AD中点，∴AP=PD
又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。
∴∠OAD＝∠ODA。∴OA＝OD。
∴AC＝2OA＝2OD＝BD。∴平行四边形ABCD是矩形。
∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴AO∥PF。
∵PF⊥BD，∴AC⊥BD。∴平行四边形ABCD是菱形。∴平行四边形ABCD是正方形。
∴BD＝ BC。
∵BF＝ BD，∴BC＋3 －4＝ BC，解得，BC＝4
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的HL判定定理，可得出 Rt△PEO≌Rt△PFO ，再利用全等三角形的性质，得到PF的长度。
（2）根据中点的性质，得到Rt△PEA≌Rt△PFD ，再依次得到四边形ABCD为正方形，得出BC的长度即可。
9．如图，在等边△ABC中，DE分别是AB，AC上的点，且AD=CE．
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠1+∠2的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，
在△ACD和△CBE中
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴BE=CD；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠1=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠ACD+∠2=∠ACB=60°．
【解析】【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得到∠A=∠ACB=60°，AC=BC，然后，再利用SAS证明△ACD≌△CBE，最后，依据全等三角形对应边相等进行证明即可；
（2）依据全等三角形对应角相等可得到 ∠1=∠ACD，通过等量代换可得到∠1+∠2=∠ACB，故此可得到问题的答案.
10．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG.
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：补全图形如图，
（2）解：由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线.∴AE=AG=AD.
∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α，
∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α，
∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α，
∴
或：∠AGE=∠AEG=90°－∠EAC=90°－（∠BAC+∠EAB）=90°－（30°+α）=60°－α
（3）解：EG=2EF+AF，法1：设AC交EG于点H，∵∠BAC=30°，∠AHF=90°，
∴
又∵点E，G关于AC对称
∴EG=2EH，
∴
法2：在FG上截取NG=EF，连接AN.
又∵AE=AG，∴∠AEG=∠AGE，
∴△AEF≌△AGN，
∴AF=AN，
∵AH⊥EG
∴∠FAN=2∠FAC=60°，
∴△AFN为等边三角形，
∴AF=FN，∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF.
【解析】【分析】（1）过点D作AB的垂线，并在AB的垂线上取点E，使垂足成为DE的中点；过点E作AC的垂线，并在刚才作的垂线上取点G，使垂足成为GE的中点；线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG；
（2）由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线.，根据中垂线的性质及等量代换得出AE=AG=AD.根据等腰三角形的性质得出∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α，根据角的和差得出∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α，故∠EAG=2∠EAC=60°+2α，根据三角形的内角和及等腰三角形的性质得出 ∠AGE=(180 ∠EAG)=60° α ；
（3）EG=2EF+AF，法1：设AC交EG于点H，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出FH= AF ， 故EH=EF+FH=EF+ AF ， 根据对称的性质EG=2EH，从而得出结论；法2：在FG上截取NG=EF，连接AN.首先利用SAS判断出△AEF≌△AGN，根据全等三角形对边边相等得出AF=AN，根据等腰三角形的三线合一得出∠FAN=2∠FAC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△AFN为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，及线段的和差及等量代换即可得出结论。
11．如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，
（1）试说明△ABD与△ACE全等的理由；
（2）如果∠B=60°，试说明线段AC、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：CE=AC+CD，理由如下：
由（1）可得△ABD≌△ACE：BD=CE，AB=AC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BD=CE=BC+CD=AC+CD，即CE=AC+CD.
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△ABD与△ACE全等即可；
（2）利用全等三角形的性质和等边三角形的判定和性质解答即可.
12．如图，直线y＝-x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）.在x轴的负半轴上有一点C（-4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD.
（1）求b的值及点D的坐标；
（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围.
【答案】（1）解：将点A的坐标（6，0）代入y＝-x+b得.
解得b＝3.
∴直线AB的解析式为.
∵CD＝OD，
∴点D在线段CO的垂直平分线上.
∵C（-4，0），，
∴点D横坐标为-2.
∵点D在直线AB上，
∴当x＝-2时，y＝4.
∴点D坐标为（-2，4）.
（2）解：如下图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G.
∵，点A与点E关于y轴对称，
∴，线段AB和线段EB关于y轴对称.
∵动点P在线段AB上，点P的横坐标为a，点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q在线段EB上，点Q的横坐标为-a.
∵点Q落在△CDO内（不包括边界），
∴当点Q在线段FG上（不包括端点）时符合题意.
∵直线AB解析式，
∴当x=0时，y=3.
∴.
设直线EB解析式为，直线CD解析式为，直线DO解析式为.
∴将点E，B坐标代入直线EB解析式得
解得
∴直线EB解析式为.
同理可得直线CD解析式为，直线DO解析式为.
联立直线EB解析式和直线CD解析式得
解得
∴.
同理可得.
∵点Q的横坐标为-a，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）将A（6，0）代入y＝-x+b中可求出b的值，据此可得直线AB的解析式，由CD=OD可知点D在线段CO的垂直平分线上，结合点O、C的坐标可得点D横坐标为-2，然后将x=-2代入直线AB的解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（2）作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G，易得E（-6，0），线段AB和线段EB关于y轴对称，令直线AB解析式中的x=0，求出y的值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线EB、CD、DO的解析式，联立直线EB、CD的解析式求出x、y的值，可得点F的坐标，同理可得点G的坐标，据此不难求出a的范围.
13．如图，在等腰 中， ，D为BC的中点，过点C作 于点G，过点B作 于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E.
（1）求证： ；
（2）求证：AB垂直平分DF；
（3）连接AF，试判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵CG⊥AD，
∴∠AGC=90°，
∴∠GCA+∠CAD=90°，
∵∠GCA+∠FCB=90°，
∴∠CAD=∠FCB，
∵FB⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠CBF=∠ACB，
在△ACD和△CBF中
，
∴△ACD≌△CBF（ASA）；
（2）证明：∵△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠DBE=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠DBE=∠FBE=45°，
在△DBE和△FBE中
，
∴△DBE≌△FBE（SAS），
∴DE=FE，∠DEB=∠FEB=90°，
∴AB垂直平分DF；
（3）解：△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，
∴CF=AD，
由（2）知：AB垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）先由CG⊥AD得到∠AGC=90°，证得∠CAD=∠FCB，再由AC=BC，FB⊥BC，根据“ASA”即可得出结论；（2）由（1）△ACD≌△CBF，得出CD=BF，证得BD=BF，由△ABC是等腰直角三角形，得出∠DBE=45°，再证得∠DBE=∠FBE=45°，由“SAS”证出△DBE≌△FBE即可得出结论；（3）由△CBF≌△ACD，得出CF=AD，由AB垂直平分DF，得出AF=AD，证得CF=AF，即可得出结论．
14．已知：如图，一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.
（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为
．
（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为 ．
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.
【答案】（1）32m
（2）（20+4 ）m
（3）解：如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4 +10=（20+4 ）m；
故答案为：（20+4 ）m；
【分析】（1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出△ABD的周长；（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF.
（1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由
（2）若BD=26，EF=5，求AC的长
【答案】（1）解： 结论是：EF⊥ AC，理由如下：
连接AE，CE，
∵点E是BD中点，∠BAD=∠BCD=90°，
∴AE= ，CE=
∴AE=CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥ AC；
（2）解：∵EF⊥ AC，
在Rt△AEF中，EF=5，AE=13，
由勾股定理得AF= ，
∵点F是AC的中点，
∴AC=2AF=24.
【解析】【分析】 （1）连接AE，CE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判断得出 EF和AC的位置关系 .
（2）连接AE，CE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， BD=26 ，可得AC=CE=13，又 EF=5 ， EF⊥ AC ，由勾股定理和等腰三角形三线合一可算得AF=CF及其长度，进而得到AC的长.
16．如图， 中， ， ， 于点 ， 于点 ， 与 相交于 .
（1）求证：
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明： ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形.
∵ ，
∵ ， ，
∴ ， 是 的垂直平分线.
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明 即可求解；（2）连接 ，先证明 是等腰直角三角形， 是 的垂直平分线，故可求解.
17．意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中左图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，右图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达 芬奇的方法证明勾股定理．
【答案】（1）解：
（2）解：由 得
所以
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积及直角三角形的面积，利用割补法分别求出 S1，S2即可；
（2） 利用（1）结论，令 ，然后移项合并即得.
18．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
是等边三角形
；
（2）解：∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE，
是等边三角形，
AB＝8，BD＝7，
△ADE的周长等于
【解析】【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，即可得到；
（2）根据旋转的性质可得，所以，再利用等边三角形的性质可得，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得△ADE的周长。
19．如图所示，在△ABC中，∠ACB= 90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC=3，AC=4，求AD的长．
【答案】（1）解：因为∠ACB=90°，∠A= 28°，
所以∠B=62°．
因为BD= BC，
所以∠BCD=∠BDC= 59°．
所以∠ACD=90°-∠BCD=31°
（2）解：由勾股定理得：AB= =5．
因为AB=AD+ BD，BD= BC=3，
所以AD=5-3=2
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和求出∠B=62°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和，可得 ∠BCD=∠BDC= 59°，根据∠ACD=∠ACB-∠BCD即可求出结论；
（2）由勾股定理求出AB=5，利用AD=AB-BD即可求出结论.
20．在等边 中，过点A作一条射线 ，设 ，在射线 上取一点D，使得 且 ． 是 的角平分线，交直线 于E．
（1）如图1，当 时 ， ；
（2）当 时， ；
（3）如图2中，求出 的度数（可以用含 的等式表示）．
【答案】（1）15；60
（2）60°
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
【解析】【解答】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ；
∵ 是 的角平分线，
∴
又
∴
故答案为：15°，60°
（2）如图，
∵
∴
∵
∴
∴ 平分
∴点C与点E重合
∵
∴ 是等边三角形
∴
故答案为：60°；
【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出即可求出；再根据角平分线以及三角形外角的性质可得；
（2）证明 是等边三角形即可得出结论；
（3）求出，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质得出，同（1）的思路即可求解。
21．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又，
∴的周长
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得的周长；
（2）根据等边对等角的性质可得，所以，再利用角的运算求出即可。
22．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
【答案】（1）证明：连接OD，如图1，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠EAB＝60°，
∵DA⊥BA，
∴∠DAB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAE＝∠DAB，
∵MN垂直平分OA，
∴OD＝DA，
∴△AOD是等边三角形，
∴DA＝OA，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE
（2）证明：如图2，作EH⊥AB于H，
∴∠EHA＝∠DAF＝90°，
∵AE＝BE，
∴2AH＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，
∴2OB＝AB，
∴AH＝BO，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH＝AO＝AD，
∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴F为DE的中点．
【解析】【分析】（1）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．
（2）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO＝EH，再证△AFD≌△HFE即可．
23．如图所示，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠。
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B。
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑。
（1）请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)。
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明。
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形．理由如下：
因为AC2+ BC2 = 1602+ 1202 = 40000，AB2 = 2002 = 40000，
所以AC2+ BC2= AB2，
所以△ABC是直角三角形．
（2）解：甲方案所修的水渠较短．理由如下：
因为△ABC是直角三角形，
所以△ABC的面积= AB·CH= AC·BC，
所以CH= = 96(m)．
因为CH⊥AB，所以∠AHC= 90°，
所以AH2=AC2-CH2= 1602 -962= 1282，所以AH=128 m，
所以BH=AB-AH=72 m．
因为AC+ BC= 160+ 120= 280(m)，
CH+AH+ BH= 96 + 200= 296(m)，
所以AC+ BC【解析】【分析】（1）先求出 AC2+ BC2= AB2， 最后作答即可；
（2）利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
24．如图，中，，，垂足为D．
（1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）按照角平分线的尺规作图规则，作图即可；
（2）根据角平分线的性质得∠ABQ=∠CBQ，根据垂直，利用等角的余角相等及对顶角相等证明∠AQP=∠APQ，再根据等角对等边得出结论.
25．如图，等腰三角形ABC的周长为20cm，底边BC长为y（cm），腰AB长为x（cm）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）腰长AB=7时，底边的长.
【答案】（1）解：∵ 等腰三角形的底边BC长为ycm，腰AB长为xcm， 周长为20cm，
∴y＝20-2x；
（2）解：由题意得，
解得5＜x＜10；
（3）解：将x=AB=7代入y＝20-2x得y=20-2×7=6，
所以当腰长AB=7时，底边的长为6cm.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的底边长=周长-2×腰长即可建立出y关于x的函数关系式；
（2）根据两腰的长大于底边的长及底边长为正数列出不等式组，求解即可解决问题；
（3）将x=7代入（1）所得的函数解析式算出对应的函数值即可.
26．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，MN经过点O，与AB、AC分别相交于点M、N，且MN∥BC.
（1）求证∠BOC=90°+ ∠A；
（2）若△AMN 与△ABC的周长的比为2：3，△ABC的周长为30，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-2（∠OBC+∠OCB）=180°-2（180°-∠BOC）=2∠BOC-180°，
∴∠BOC=90°+ ∠A；
（2）证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠BCO=∠NOC，
∴∠ACO=∠CON，
∴CN=ON，
∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC.
∵△AMN与△ABC的周长的比为2：3，△ABC的周长为30，
∴△AMN的周长为20.
∴BC=△ABC的周长-AB-AC=30-20=10
【解析】【分析】（1）根据根据三角形的内角和定理可以求证；（2）同理可得CN=ON，然后求出△AMN的周长=AB+AC，最后，依据BC=△ABC的周长-AB+AC求解即可.
27．如图，在中，，点D在边上（不与点A，点C重合），连接，.
（1）设时，求的度数；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即；
（2）解：过点B作于点M，
∵，，
∴
设，则，
∵，
∴
∵在与中，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）设，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，∠ADB=x°+60°，， 在中，利用三角形的内角和定理建立关于x方程并解之，即得结论；
（2）过点B作于点M，设，则， 由等腰三角形的性质可得， 由勾股定理可得，据此建立关于m方程并解之即可.
28．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米，
（1）问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长。
【答案】（1）解：CH是从旅游地C到河的最近的路线，
理由是：在△CHB中，
∵CH +BH =4 +3 =25，
∴BC2=25，
∴CH +BH2=BC
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
所以CH是从旅游地C到河的最近的路线
（2）解：设AC=AB=x千米，则AH=(x-3)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，
由勾股定理得：AC =AH +CH
∴x =(x-3) +4
解这个方程，得x=
答：原来的路线AC的长为 千米。
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，证明得到∠CHB为90°，即可得到CH⊥AB，即可得到答案；
（2）在直角三角形中，根据勾股定理列出关于x的方程，解出x的值即可。
29．在如图所示的平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）写出A点和B点的坐标；
（2）若C点的坐标为C(0，-2)，判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：对于直线y= x+3，
令x=0，y=3，令y=0，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3）
（2）解：如图，
∵A（-4，0），B（0，3），C（0，-2），
∴AB= =5，BC=3-（-2）=5，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形
【解析】【分析】（1）由直线与x轴相交，y=0，可得关于x的方程，解方程可求得点A的坐标；由直线与y轴相交，x=0，可得关于y的方程，解方程可求得点B的坐标；
（2）根据勾股定理可求得AB和AC的长；根据等腰三角形的定义可判断三角形ABC是等腰三角形。
30．如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，重合部分为△EBD．
（1）求证：△EBD为等腰三角形；
（2）若AB=2，BC=8，求AE.
【答案】（1）∵由折叠的性质，得∠CBD=∠EBD，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形；
（2）∵AD=BC=8，
设AE=x，则BE=DE=（8 x），
在Rt△ABE中，AB=2，由勾股定理，得：
，
解得： ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由折叠的性质，得到∠CBD=∠EBD，由AD∥BC，得到∠EDB=∠CBD，则∠EBD=∠EDB，则BE=DE，即可得到结论；（2）根据题意，设AE=x，则BE=DE=（8-x），由勾股定理列方程，即可得到答案；
31．如图，已知△ABC中，AB=BC，D为AC中点，过点D作DE∥BC，交AB于点E.
（1）求证：AE=DE；
（2）若∠C=65°，求∠BDE的度数。
【答案】（1）：证明：∵AB=BC
∴∠C =∠A
∵DE//BC
∴∠C=∠ADE
∴∠A=∠ADE
∴AE=DE
（2）解：∵AB=BC，D为AC的中点
∴BD⊥AC
∵∠C= 65
∴∠CBD= 90 –∠C=90 –65 =25
∵DE//BC
∴∠BDE =∠CBD = 25
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠C =∠A，利用两直线平行同位角相等，可得∠C=∠ADE，有等量代换可得∠A=∠ADE，根据等角对等边即可求出结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD⊥AC，利用直角三角形两锐角互余可求出∠CBD=25 ，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BDE =∠CBD = 25 .
32．已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组
（1）求a、b的值．
（2）求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）解：
②×2﹣①得5b=15，解得b=3，
把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；
（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；
若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求得a、b的值．
（2）讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
33．如图，在 中，D是 的垂直平分线 上一点， 于F， 交 的延长线于E，且 ．
（1）若 ，则 ．
（2）求证： 平分 ；
（3）在（1）的条件下，求 的度数．
【答案】（1）
（2）证明：如图，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 于F， ，
∴ 平分 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝ ，
故填：100°；
【分析】（1）根据四边形AFDE的内角和分析计算；（2）利用“HL”证明 ，即可得证；（3）利用（2）的结论得到三角形BCD是等腰三角形，再进行分析计算．
34．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数．
【答案】（1）解：∵D在AB垂直平分线上， ∴AD=BD， ∵△BCD的周长为8cm， ∴BC+CD+BD=8cm， ∴AD+DC+BC=8cm， ∴AC+BC=8cm， ∵AB=AC=5cm， ∴BC=8cm﹣5cm=3cm
（2）解：∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， 又∵DE垂直平分AB， ∴DB=AD ∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得AD=BD，而
△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=8，结合已知可求解；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠ABC=∠ACB的度数，和∠ABD=∠A的度数，则∠DBC=∠ABC-∠ABD即可求解。
35．已知：如图ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，
求证：
（1）△DFC是等腰三角形；
（2）EF=BE+CF．
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴DF=CF，即△DFC是等腰三角形；
（2）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=BE，
∵DF=CF，
∴EF=DE+DF=BE+CF．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FCD=∠BCD， 再求出 ∠FCD=∠FDC， 最后证明求解即可；
（2）根据角平分线求出 ∠EBD=∠CBD， 再求出 DE=BE， 最后证明即可。
36．如图， 中， ， 的平分线交 于D， 交 的延长线于点E， 交 于点F.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， .
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出 ， ，再根据垂直与外角的性质即可求出 ；（2）根据题意证明 ，再得到 为等边三角形，故可得到 ，可根据三角函数的性质即可求出AF.
37．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD.
【答案】（1）解：如图1，延长DE交AB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中点，
∴E是BC的中点，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E为DF的中点，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB
（2）解：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD.
【解析】【分析】（1） 延长DE交AB的延长线于F， 由平行线的判定和性质易证∠CDE＝∠F，用角角边可证 △CDE≌△BFE，则DE=EF，由角平分线的定义可得∠CDE＝∠ADE，则∠ADE＝∠F，由等角对等边可得AD=AF，根据等腰三角形的三线合一可求解；
（2） 在DA上截取DF＝DC，连接EF，由题意用边角边可证△CDE≌△FDE，则CE=EF， ∠CED＝∠FED，结合已知可得FE＝BE，由等角的余角相等可得∠AEF＝∠AEB，用边角边可证△AEF≌△AEB，所以AF=AB，结合线段的构成可求解.
38．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵=BA，=CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：理由：连接BE，EC．
∵AB=BE，EC=CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【解析】【分析】（1）根据题中的步骤补图即可.
（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得直线BC垂直平分线段AE ，继而可得线段AD是△ABC中BC边上的高线.
39．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明AP＝AQ．
【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作
（2）解：∵BQ平分∠ABC ∴∠ABQ=∠CBQ
在△ABQ中，∠BAC=90°
∴∠AQP+∠ABQ=90°
∵AD⊥BC ∴∠ADB=90°
∴在Rt△BDP中，∠CBQ+∠BPD=90°
∵∠ABQ=∠CBQ ∴∠AQP=∠BPD
又∵∠BPD=∠APQ
∴∠APQ=∠AQP ∴AP=AQ
【解析】【分析】（1）如图，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别与BA、BC相交，然后分别以两交点为圆心，以大于两交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点B与两弧的交点画出射线， 分别交AD，AC于P，Q两点.
（2）由（ 1）得∠ABQ=∠CBQ，根据等角的余角相等可得∠AQP=∠BPD， 利用对顶角相等及等量代换可得∠APQ=∠AQP，由等角对等边可得AP=AQ.
40．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在高AE上，且OA=OB，连接BO并延长交AC于点D，
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）若△BCD是等腰三角形，求∠BAC的度数.
【答案】（1）证明：∵AE为高，AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC
∵OB=OA
∴∠ABD=∠BAE
∴∠BAC=2∠ABD
（2）解：∵△BCD是等腰三角形
∴分为三种情况，分别是BD=BC，BD=DC，BC=DC
①若BD=BC
则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC
∵∠BAC=2∠ABD
∴∠C=∠BDC=3∠ABD
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠DBC=2∠ABD
∵∠C+∠DBC+∠BDC=180°
∴8∠ABD=180°
∴∠ABD=22.5°
∵∠BAC=2∠ABD∴∠BAC=22.5°×2=45°
②若BD=DC
则∠C=∠DBC
∵∠C=∠ABC
∴点D与点A重合，这种情况不存在
③若BC=DC
则∠CBD=∠CDB=∠ABD+∠BAC
∵∠BAC=2∠ABD
∠CBD=∠CDB=3∠ABD
∴∠C=∠ABD+∠DBC=4∠ABD
∵∠C+∠DBC+∠BDC=180°
∠ABD=18°
∵∠BAC=2∠ABD
∴∠BAC=18°×2=36°
综上所述∠BAC=45°或∠BAC=36°.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAC，由角平分线的概念可得∠BAE=∠CAE=∠BAC，由OB=OA可得∠ABD=∠BAE，据此证明；
（2）①若BD=BC，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC，结合∠BAC=2∠ABD可得∠C=∠BDC=3∠ABD，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，推出∠DBC=2∠ABD，在△BCD中，应用三角形内角和定理可得∠ABD的度数，据此求解；②若BD=DC，则∠C=∠DBC，此时点D与点A重合，这种情况不存在；③若BC=DC，则∠CBD=∠CDB=∠ABD+∠BAC，结合∠BAC=2∠ABD可得∠CBD=∠CDB=3∠ABD，同理求出∠ABD的度数，据此求解.
41．如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为 ；
（2）图中格点△ABC的面积为 ；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（0，0）
（2）5
（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形
【解析】【解答】（1）解：∵点A（3，4）、C（4，2），
∴点B的坐标为（0，0）；
故答案为：（0，0）；（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4﹣ ×4×2﹣ ×4×3﹣ ×2×1=5；
故答案为：5；
【分析】（1）由已知点的坐标即可得出点B为坐标原点，即可得出结果；（2）图中格点△ABC的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结果；（3）由勾股定理可得：AB2=25，BC2=20，AC2=5，得出BC2+AC2=AB2，由勾股定理的逆定理即可得出结论．
42．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，交AC于D，EF⊥BC于点F.
（1）若∠CDE=152°，求∠DEF的度数；
（2）若点D是AC的中点，求证： .
【答案】（1）解：∵∠CDE=152°，
∴∠ADE=28°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠DEA=∠EFB=90°，
在Rt△DEA中，
∴∠A=90°-28°=62°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=62°，
∴∠DEF=360°-62°-152°-90°=56°
（2）证明：连接BD
∵AB=BC，且点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，
∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ABC=2∠ADE.
【解析】【分析】（1）由邻补角的意义可求得∠ADE的度数，在Rt△DEA中，由直角三角形两锐角互余可求得∠A的度数，由等边对等角可得∠C=∠A，在四边形DEFC中，用四边形内角和等于360°可求解；
（2）连接BD，由等腰三角形的三线合一得BD⊥AC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由直角三角形两锐角互余得∠ADE=∠ABD，于是结论可得证.
43．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
【答案】（1）解：补图如下：
结论：AC⊥BD
（2）解：∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
44．综合题。
（1）如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．求证：DE=DF；
（2）如图2，等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D是BC边上的动点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．请问DE+DF的值是否随点D位置的变化而变化？若不变，请直接写出DE+DF的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF
（2）解：不变．
如图2所示：连接AD，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴△ABC底边BC上的高= =12，
∴△ABC的面积= ×BC×12=60，
∴ AB DE+ AC DF=60，
∴DE+DF= ，
故答案为：
【解析】【分析】（1）连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF；（2）连接AD，根据三角形的面积公式即可得到 AB DE+ AC DF=12，进而求得DE+DF的值．
45．如图，在中，是边上一点，若，，，．
（1）求的度数．
（2）求的长．
【答案】（1）解：，
是直角三角形，
；
（2）解：在中，，
．
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BD2+AD2=AB2，然后根据勾股定理逆定理进行解答；
（2）在Rt△ACD中，根据勾股定理可得CD的值.
46．
（1）（探索研究）
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上.试探究线段BE和CD的数量关系.小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系.
（2）（类比探究）
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解： ，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵BE⊥CD，
∴ ，
∵∠BAC＝90°，∠EDB=∠ADC，
∴ ，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE=BE，
在△ACD和△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴
（2）解： ，理由如下：
证明：过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB =∠C，∠BHD=∠A=90°，
，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠GDB，
∴BH=DH，
与（1）同理可证△DEG≌△DEB（ASA），△HDF≌△HBG，
∴GE=BE，FD=BG，
∴ .
【解析】【分析】（1）延长BE交CA延长线于F，首先利用ASA证明△CEF≌△CEB，得到FE=BE，利用ASA证明△ACD≌△ABF，得到CD=BF，即可得出结论；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明∠BHD=∠A=90°，BH=DH， ，于是与（1）同理可证 .
47．如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解：①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
48．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD
（1）求证：DB=DE
（2）过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF。
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE．
（2）证明：证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∵AD=DC，
∴∠ADF=∠CDE，∴△AFD≌△CED，
∴AF=CE=CD=AD，DF=DE=BD，
∵∠FDB=∠DBE+∠E=60°，∴△BDF是等边三角形，
∴BF=BD，∵AF=AD，∴AB垂直平分DF．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质计算得到即可得到∠DBC的度数，根据中线的性质，由等边对等角即可得到DB=DE；
（2）根据题意，即可证明△AFD≌△CED，根据全等三角形的性质来证明△BDF为等边三角形，即可进行判断。
49．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别是A（6，0）、B（0，2），在AB的右上方有一点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
（1）若点C坐标为（x，y），请在图1中作一点C（点A除外），使x+y=6；
（2）设点C坐标为（x，y），请在图2中作一点C，使x+y的值最大，并求出x+y的最大值.
请利用没有刻度的直尺和圆规作出符合条件的点C.（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）解：①以AB为直径在AB上方作半圆；
②在y轴正半轴截取OD=6，作直线AD交半圆于点C；
（2）解：①以AB为直径在AB上方作半圆；
②作∠AOB的平分线OE；
③过AB的中点作OE的平行线交半圆于点C；
设x+y=m，则y=—x+m，m取最大值时，直线y=—x+m与半圆相切，
切点为C，由题意得M的坐标 为（3，—1），
∴MD= ，MC=
∴FD=6+
∴ .
【解析】【分析】（1）先以AB为直径在AB上方作半圆，再在y轴正半轴截取OD=6，连接AD交半圆于点C，点C即为所求；
（2）先以AB为直径在AB上方作半圆，再作∠AOB的平分线OE，过AB的中点作OE的平行线交半圆于点C，点C即为所求；设x+y=m，则y=—x+m，m取最大值时，直线y=—x+m与半圆相切，切点为C，由题意得M的坐标 为（3，—1），由此即可求得m的最大值。
50． 是 的高.
（1）如图1，若 ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，若 ， 的平分线 交 于点 ，求 的值；
（3）如图3，若 是以 为斜边的等腰直角三角形，再以 为斜边作等腰 ， 是 的中点，连接 、 ，试判断线段 与 的关系，并给出证明.
【答案】（1）解：证明：∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ， 是 的高，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：解：在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
可得 ， ， ，
设 ，则 ，
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ；
证明：延长 至点 使 ，连接 ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ( )，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ ( )，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ；
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAE=∠BAE，根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，根据三角形的外角性质得到∠CFE=∠CEF，得到CE=CF；（2）在AD上取点H，使DH=DG，连接CH，证明BC=BH，计算即可；（3）作MN⊥AB于N，证明△CDQ≌△QNM，根据全等三角形的性质证明即可.
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