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【50道填空题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）
2．在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝ ．
3．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
4．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 海里．
5．关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角 ．
6．矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒．
7．如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．则 ．
8．如图， ，点 在射线 上，且 ，则点 到射线 的距离是 ．
9．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的长为 ．
10．如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO与地面垂直.为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA绕点O旋转到 处.若 ， ，则调整后点 比调整前点A的高度降低了 （用含m， 的代数式表示）.
11． 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
12．如图所示，在中，，将绕点旋转，当点与点重合时，点落在点处，如果，，那么的中点和的中点的距离是 .
13．如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为 ．
14．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，在△ABC中，∠C=90°．若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是 ；
B．用科学计算器计算：sin58°≈ （精确到0.01）．
15．在△ABC中，若 ，则∠C的度数是 ．
16．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为 米.
17．已知sinα=，则tanα=
18．某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东的方位上，然后以每小时海里的速度沿南偏东的方向航行，时到达B处，在B处测得灯塔C在其北偏东的方位上，则B处到灯塔C的距离是 ．
19． 如图1为一.款折叠婴儿车的演示过程.点D处有一卡扣，打开卡扣，从手柄P点处往下按压，完成折叠.已知支撑杆AB =AC= 60cm，BD= 30cm， 卡扣D恰好为BC中点，推杆PD=110cm.
(结果均精确到0.1cm.参考数据：≈1.414，≈1.732， sin75°≈0.966， cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，sin14.5°~0.250， cos14.5°~0.968， tan14.5°≈0.257. )
（1）如图2，当卡扣D固定时，支撑杆AB与水平线l呈15°角， 手柄P到水平线l的距离约为 cm.
（2）当折叠完成时，∠CDB=60°(如图3 所示)，支撑杆AB与水平线l呈1°角，此时手柄P约下降了 cm.
20．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα= .
21．如图，在中，，以点为圆心、为半径画劣弧交射线于点，为的中点，联结、，分别交、于点、，如果点是线段的黄金分割点，则 ．
22．如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和高的支柱，则共需钢材约 (结果取整数)．(参考数据：)
23．如图，坡面CD的坡比为 ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC是3米，斜坡上的树影CD是 米，则小树AB的高是 米.
24．如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
25．定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
26．如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是．
27．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的 倍．（结果保留两个有效数字）．
28．在高为60米的小山上，测得山底一座楼房的顶端和底部的俯角分别为30°和60°，则这座楼房的高为 ．
29．如图，点 ， ， 在 上， ， ， ， 的长为 ．
30．20170+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+ = ．
31．如图，在平面直角坐标系内有一点P（6，8），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值 ．
32．如图，无人机A的高度为270 m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，则这栋大楼的高度为 m．
33．在 中，若 ， ， ，则
34．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走 千米．
35．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
36．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为 cm（结果保留根号）．
37．如图，以点为圆心，半径为的圆与的图像交于点，若，则的值为 ．
38．一山坡的坡度为i=1： ，那么该山坡的坡角为 度．
39．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 米．（结果保留根号）
40．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点M．若，，则的长为 ．
41．如图，斜坡 长为100米，坡角 ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 改造成坡度 的斜坡 （ 、 、 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 到点 下降了 米（结果保留根号）
42．如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC=8，D、E两点分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B正好落在边AC上的点M处，并且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACD的正切值是 （用含m的代数式表示）
43．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 .
44．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ．
45．如图所示，为了测量出某学校教学大楼 的高度，数学课外小组同学在 处，测得教学大楼顶端 处的仰角为45°；随后沿直线 向前走了15米后到达 处， 在 处测得 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物 的高度约为 米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留整数）
46．如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平移长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的长为 .
47．如图，矩形 中，E为 边上一点， 交 于点F，若 ，则线段 的长为 ．
48．如图，在边长为 的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 .
49．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
50．如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
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【50道填空题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）
【答案】262
2．在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝ BC＝3，
在Rt△ABD中，cosB＝ ＝ ．
故答案为 ．
【分析】根据题意，画出图形，根据等腰三角形“三线合一”的性质以及锐角余弦三角函数的定义，即可求解.
3．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
【答案】80°；10°
【解析】【解答】解：∵cos（115°﹣α+β）= ，
∴115°﹣α+β=45°，
又∵α与β互为余角，
∴α+β=90°，
解得：α=80°，β=10°．
故答案为：80°，10°．
【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形内角和定理可求解。
4．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 海里．
【答案】
【解析】【解答】解：作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC=30°，AP=4×2=8，
∴PC=AP×sin30°=8× =4．
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴∠PBC=45°，
∴PB=PC÷ =4 ，∴乙货船每小时航行4 ÷2=2 海里/小时，故答案为2 ．
【分析】作PC⊥AB于点C，首先在直角三角形APC中求得PC，然后在直角三角形中求得PB的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度．
5．关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角 ．
【答案】45°
6．矩形中，对角线，交于点，，，点为边中点，动点从点出发，沿的方向在边，上以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为 秒．
【答案】2或
7．如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，
∴AC =AC，∠CAC =60°，
在 中， ， ， ，
∴AC=AB cos∠BAC=4×cos30°=4× = ，
∠BAC =∠BAC+∠CAC =90°，
∴AC = ，
在Rt△BAC 中，∠BAC =90°，AB=4，AC = ，
．
故答案为： ．
【分析】根据旋转的性质得到AC'=AC，从而得到∠BAC'-∠BAC+∠CAC'=90°，根据余弦函数得到AC的值，从而得到AC的长，在三角形BAC中，根据勾股定理求出BC的长度即可。
8．如图， ，点 在射线 上，且 ，则点 到射线 的距离是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥AN于点C．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，
∴BC= AB=1
故答案为：1．
【分析】过点B作BC⊥AN于点C，然后在直角三角形中，根据直角三角形中30°角的直角边等于斜边的一半进行求解．
9．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的长为 ．
【答案】
10．如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO与地面垂直.为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA绕点O旋转到 处.若 ， ，则调整后点 比调整前点A的高度降低了 （用含m， 的代数式表示）.
【答案】
【解析】【解答】如图，作 于 ，
由已知条件可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】作 于 ，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=AO-OB即可得出结果.
11． 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
【答案】（cm）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=42cm，
∴BD=CD=BC=21（cm），
在Rt△ABD中，∵sin∠ABC==，
∴设AD=2x，AB=5x，
∴BD==x（cm），
∴x=21，
∴x=，
∴AD=2（cm），
故答案为：2cm．
【分析】利用等腰三角形的三线合一性质可求BD的长，再利用三角函数的定义求解即可。
12．如图所示，在中，，将绕点旋转，当点与点重合时，点落在点处，如果，，那么的中点和的中点的距离是 .
【答案】4
13．如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵等腰直角
∴
∴．
故答案为：．
【分析】由求出BD=10，利用勾股定理求出BC=8，由等腰直角三角形可得AB=BC，继而得解.
14．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，在△ABC中，∠C=90°．若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是 ；
B．用科学计算器计算：sin58°≈ （精确到0.01）．
【答案】70° ；3.70
【解析】【解答】解：（1）过点C作CF∥BD，如图所示：
∵BD∥AE，CF∥BD，
∴AE∥CF，
∴∠DBC=∠BCF，∠EAC=∠ACF，
∴∠DBC+∠EAC=∠BCF+∠ACF=∠C=90°，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=∠CAE=∠C﹣∠DBC=90°﹣20°=70°．
故答案为：70°；
（2）sin58°≈4.3589×0.8480≈3.70．
故答案为：3.70．
【分析】（1）过点C作CF∥BD，由平行线的性质可得CF∥AE，然后由两直线平行内错角相等，可得∠DBC+∠CAE=∠C，即可计算∠CAE的度数；
（2）正确使用计算器计算即可．
15．在△ABC中，若 ，则∠C的度数是 ．
【答案】60°
【解析】【解答】解：由题意得：
则
∴
故答案为：60°．
【分析】等式两边进行去除绝对值，开平方，移项，得出式子，然后，特殊角的三角函数值，tan60° = ,cos60° = 1/2，得出结论
16．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为 米.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长与的延长线交于 过作于
设 则
因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米，
而
同理可得：
故答案为：.
【分析】延长AD与BC的延长线交于M， 过D作DH⊥BC于H，根据坡度可设DH=m，CH=m，根据CD的值结合勾股定理可得m的值，根据同一时刻的物长与影长成正比可得， 求出HM的值，由BM=BC+CH+HM可得BM，据此求解.
17．已知sinα=，则tanα=
【答案】
【解析】【解答】解：如图：设∠A=α，
∵sinα=，
∴=，
设AB=5x，BC=3x，
则AC==4x，
∴tanα==．
故答案为：．
【分析】首先根据题意画出图形，由sinα=，可设AB=5x，BC=3x，然后利用勾股定理可求得AC的长，继而求得答案．
18．某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东的方位上，然后以每小时海里的速度沿南偏东的方向航行，时到达B处，在B处测得灯塔C在其北偏东的方位上，则B处到灯塔C的距离是 ．
【答案】海里
19． 如图1为一.款折叠婴儿车的演示过程.点D处有一卡扣，打开卡扣，从手柄P点处往下按压，完成折叠.已知支撑杆AB =AC= 60cm，BD= 30cm， 卡扣D恰好为BC中点，推杆PD=110cm.
(结果均精确到0.1cm.参考数据：≈1.414，≈1.732， sin75°≈0.966， cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，sin14.5°~0.250， cos14.5°~0.968， tan14.5°≈0.257. )
（1）如图2，当卡扣D固定时，支撑杆AB与水平线l呈15°角， 手柄P到水平线l的距离约为 cm.
（2）当折叠完成时，∠CDB=60°(如图3 所示)，支撑杆AB与水平线l呈1°角，此时手柄P约下降了 cm.
【答案】（1）114.5
（2）64.5
【解析】【解答】解：（1）过点P作PF⊥直线l于点F，过点D作DG⊥直线l于点G，延长CB交直线l于点E，连接AD，
∵点D为BC的中点，
∴BC=2BD=2×30=60，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵点D为BC的中点，
∴∠DAB=∠BAC=30°，∠ADB=90°，
∴∠DAE=∠EAB+∠DAB=15°+30°=45°，
∵∠E=90°-45°=45°=∠DAE，
∴DE=AD，
在Rt△ADB中，DE=AD=ABcos∠BAD=60×cos30°=，
∴，
在Rt△PEF中，∠E=45°，
∴.
故答案为：114.5
（2）过点P作PF⊥l于点F，过点C作CH⊥PF于点H，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，过点C作CE⊥l于点E，
易证四边形CEFH是矩形，
∵DC=DB，∠DCB=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴CD=BC=DB=30，
∴PC=PD-CD=110-30=80，
∵AB=AC=60，AM⊥BC，
∴CM=BC=15，
，
∴∠CAM=∠BAM=14.5°，
∴∠CAE=∠CAM+∠BAM+∠BAE=14.5°+14.5°+1°=30°，
∴CE=HF=AC=30，
∴∠ACM=90°-14.5°=75.5°，
∴∠PCA=180°-60°-75.5°=44.5°，
∵CH∥l，
∴∠ACH=∠CAE=30°，
∴∠PCH=44.5°-30°=14.5°，
在Rt△PCH中，
PH=PCsin∠PCH≈80×0.25=20，
∴PF=PH+HF=20+30=50，
∴下降了114.5-50=64.5.
故答案为：64.5
【分析】（1）过点P作PF⊥直线l于点F，过点D作DG⊥直线l于点G，延长CB交直线l于点E，连接AD，利用线段中点的定义可求出BC的长，利用三边相等的三角形是等边三角形，可证得△ABC是等边三角形，可求出∠BAC=60°，利用等边三角形的性质可得到∠DAB，∠DAE的度数，可推出△ADE是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出DE的长，可得到PE的长；然后利用解直角三角形求出PF的长.
（2）过点P作PF⊥l于点F，过点C作CH⊥PF于点H，连接BC，过点A作AM⊥BC于点M，过点C作CE⊥l于点E，易证四边形CEFH是矩形，△DBC是等边三角形，利用等边三角形和等腰三角形的性质可求出CM的长，利用解直角三角形求出∠CAM的度数，可得到∠CAE的度数，由此可求出CE，HF的长；再利用三角形的内角和定理和平行线的性质可推出∠PCH=14.5°，利用解直角三角形求出PH的长，可得到PF的长，然后求差可得到柄P约下降的高度.
20．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα= .
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得OA==2，
所以sinα==，
故答案为．
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
21．如图，在中，，以点为圆心、为半径画劣弧交射线于点，为的中点，联结、，分别交、于点、，如果点是线段的黄金分割点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：BD=BA，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB> BC，
即BD> BC，
∵点B是线段CD的黄金分割点，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意可得：BD= BA，然后利用黄金分割的定义可得，于是在中利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.
22．如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和高的支柱，则共需钢材约 (结果取整数)．(参考数据：)
【答案】21
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，，
，
.
故答案为：21.
【分析】通过锐角三角函数求得AC、AD的长度，再通过等腰三角形的性质得到BC、AB的长度，即可求得共需钢材的长度.
23．如图，坡面CD的坡比为 ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC是3米，斜坡上的树影CD是 米，则小树AB的高是 米.
【答案】
【解析】【解答】由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，
在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为1： ，得 DE= ，
则根据勾股定理，得 ，
解得x=± ，- 不合题意舍去，
所以CE= 米，则，ED= 米，
那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+ = 米，
在Rt△AFD中，由三角函数得： =tan∠ADF，
∴AF=FD tan60°= × = 米，
∴AB=AF-BF=AF-CE= - = 米，
故答案为： 米．
【分析】将把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt△AFD，Rt△CED，然后由Rt△CED，和坡面CD的坡比的定义，求出CE和ED，再利用锐角三角函数的定义求出AF的长，然后求出AB的长。
24．如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
【答案】(4，2)
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为：(4，2).
【分析】过 作 轴于 ，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出CF，即可得出答案。
25．定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】参照题干中的计算将原式变形为，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
26．如图，在矩形中，，把该矩形绕点顺时针旋转度得矩形，点落在的延长线上，则图中阴影部分的面积是．
【答案】
27．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的 倍．（结果保留两个有效数字）．
【答案】2.3
【解析】【解答】如图，
根据题意设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，
过A'作A'C⊥AC于C，
在Rt△ACA'中，∠A'AC=10°÷2=5°，A'C=0.2tm，
∴AA'=CA'÷sin5°≈2.3，
∴A移动的距离约为2.3tm；
故交点A的移动速度是光速的2.3倍．
【分析】根据题意设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，过A'作CA'⊥AC于A'，在Rt△ACA'中，利用正弦函数的定义得出AA'的值；即交点A的移动速度是光速的倍数。
28．在高为60米的小山上，测得山底一座楼房的顶端和底部的俯角分别为30°和60°，则这座楼房的高为 ．
【答案】40米
【解析】【解答】解：作CE⊥AB，
∵∠DAB=90°﹣60°=30°，
tan30°=，
∴CE=BD=×AB=20（米），
∵∠ACE=30°，
∴AE=CEtan30°=20×=20（米），
∴CD=BE=AB﹣AE=60﹣20=40（米），
故答案为：40米．
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD=BE=AB﹣AE即可解题．
29．如图，点 ， ， 在 上， ， ， ， 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作BC的垂线交BC于点D，
，
，
，
为等腰三角形，根据三线合一，
点D为BC的中点，
，
在 中，由锐角三角函数知，
，
，
故答案是： ．
【分析】由两直线平行，得出BC所在等腰三角形的一个底角，作底边的高，在直角三角形中利用锐角三角函数知识表示出边长，再根据三线合一即可求出BC的长．
30．20170+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+ = ．
【答案】3
【解析】【解答】解：20170+2|1﹣sin30°|﹣（ ）﹣1+
=1+2× ﹣3+4
=1+1﹣3+4
=6﹣3
=3．
故答案为：3．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及算术平方根的定义进行计算即可．
31．如图，在平面直角坐标系内有一点P（6，8），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作轴于点，如图：
由于点，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，先求出，再求出即可。
32．如图，无人机A的高度为270 m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，则这栋大楼的高度为 m．
【答案】180
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，
由题意可知：∠DAB=30°，∠DAC=60°，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴AB=CB，
设BD=x，
∴AB=2x，
∴CB=AB=2x，
∴CD=BC+DB=3x，
由题意可知：CD=270，
∴3x=270，
∴x=90，
∴BC=2x=180，
故答案为：180；
【分析】先求出∠ACB=∠BAC=30°，再求出CD=BC+DB=3x，最后计算求解即可。
33．在 中，若 ， ， ，则
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA= ，代入求出即可.
34．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走 千米．
【答案】5+5 ﹣5
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5 ，
则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5 ﹣（5 +5）=5+5 ﹣5 ．
故答案为5+5 ﹣5 ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，将要解决的问题转化到直角三角形中求解。在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，利用解直角三角形分别求出AD、BD的长，就可以求出隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走的路程。
35．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB为半圆O的直径，AB=10，
∴OC=OB=5，
∵CD⊥AB于点D，CD=4，
∴OD==3，
∴，
∴BC=，
∴sin∠BCD==．
故答案为：
【分析】先求出OC=OB=5，再利用勾股定理求出OD和BC的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
36．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到底座DE的距离为 cm（结果保留根号）．
【答案】
【解析】【解答】如图，过点C作CH⊥DE，点C到底座DE的距离为CH
∵CD=8cm，∠CDE=60°，
∴CH=8sin60°=8×=4
故答案为：4．
【分析】过点C作CH⊥DE，点C到底座DE的距离为CH，再利用解三角函数的性质列出算式CH=8sin60°求解即可。
37．如图，以点为圆心，半径为的圆与的图像交于点，若，则的值为 ．
【答案】
38．一山坡的坡度为i=1： ，那么该山坡的坡角为 度．
【答案】30
【解析】【解答】解：设坡角为α，
由题意得，tanα= = ，
∴α=30°
【分析】根据坡度等于坡角的正切即可得到答案。
39．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠BDC=60°，∠A=30°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=20米，
∵∠C=90°，
∴BC= 米．
故答案为：
【分析】先求出∠A=∠ABD，再求出AD=BD=20米，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
40．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点M．若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示：过点M作MN⊥CF，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，
∴BF=AE= GC= DH，∠AEB=90°，
∴，
设AE =x，
∵，，
∴，
解得：x=2或x=-3（舍），
∵四边形EFGH为正方形，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EGF=∠NGM=45°，
∴△GNM为等腰直角三角形，
设GN=NM=m，则NC=GC-GN=2-m，
∴，
∴，
∴GN=NM=，
∴，
故答案为： .
【分析】根据题意先求出BF=AE= GC= DH，∠AEB=90°，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
41．如图，斜坡 长为100米，坡角 ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 改造成坡度 的斜坡 （ 、 、 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 到点 下降了 米（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC= AB=50，BC=AB cos∠ABC=50 ，
∵斜坡BD的坡度i=1：5，
∴DC：BC=1：5，
∴DC=10 ，
则AD=50-10 ，
故答案为：50-10 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．
42．如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC=8，D、E两点分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B正好落在边AC上的点M处，并且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACD的正切值是 （用含m的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】如图所示：作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC.
∵AB=AC，BC=8，AH⊥BC，
∴CH=4.
∵AC=4AM，
∴CM：AC=3：4.
∵AH∥MG，
∴ ，即 ，解得：CG=3.
∴BG=5.
∴DG=m﹣5.
由翻折的性质可知MD=BD=m.
在Rt△MGD中，依据勾股定理可知：MG= .
∴tan∠ACB= .
故答案为： .
【分析】根据题意添加辅助线，作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC，利用等腰三角形三线合一的性质，求出CH的长，再利用平行线分线段成比例，由AC=4AM，就可求出CG的长，可得到DG=m-5，利用折叠的性质可知MD=BD，再利用勾股定理空白市场MG的长，然后根据正切的定义就可求出∠ACD的正切值。
43．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合.若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF，，，，
∵DE∥BC，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即D为AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
∵AF＝EF，
∴是等边三角形，
在中，，，
∴，
∴，
∴四边形ADFE的面积为，
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，AE=EF，∠ADE=∠EDF，由平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，∠AFC=90°，进而推出BD=DF=AD，得到DE为△ABC的中位线，则DE=BC=5，易得△AEF是等边三角形，根据三角函数的概念可得AF，进而可得AG，据此计算.
44．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB，
∵AC是BC和AB的比例中项，
∴AC2=AB BC，
∴AB BC=AB2+BC2-2AB BC cosB，
即1×2=12+22-2×1×2×cosB，
∴cosB=，
故答案为：．
【分析】先求出AC2=AB BC，再利用锐角三角函数计算求解即可。
45．如图所示，为了测量出某学校教学大楼 的高度，数学课外小组同学在 处，测得教学大楼顶端 处的仰角为45°；随后沿直线 向前走了15米后到达 处， 在 处测得 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物 的高度约为 米.（参考数据： ， ，结果按四舍五入保留整数）
【答案】21
【解析】【解答】解：由题意可得四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形
设AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，
在Rt△AFG中，
解得：
∴
故答案为：21
【分析】利用已知易证四边形FDCE，四边形ECBG，四边形FDBG均为矩形；设AG=x米，由∠AEG=45°，可表示出AG，FG的长，利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据AB=AG+BG，可求出AB的长.
46．如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平移长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的长为 .
【答案】 或
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 过 作 于
四边形 是矩形，
由平移的性质可得：
设 则
设 则
为直角三角形，
当 时，
解得： （不合题意舍去），
当 时，如图，
同理可得：
解得：
故答案为： 或
【分析】过 作 于 过 作 于 由题意可分两种情况求解：①当 时，用勾股定理可得关于a的方程求解；②当 时，用勾股定理可得关于a的方程求解.
47．如图，矩形 中，E为 边上一点， 交 于点F，若 ，则线段 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长DC至G，使CG=DC，连接EG，如图，
∵四边形ABCD是矩形
∴
∴
∴
作DH⊥EG于点H，设∠DEC=α，则∠BAC=2α，∠DEG=2α，
∴
又
∴
∴
又
∴
∵
∴
∴
整理得，
即，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】延长DC至G，使CG=DC，连接EG，作DH⊥EG于点H，设∠DEC=α，则∠BAC=2α，∠DEG=2α，得出，由，，整理得出，即可得出线段 的长。
48．如图，在边长为 的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：如图：
∵CD=AE，BC=AC，
∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是 ，∠AOB=120°，连接CO，
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，
∵∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠OAC+∠OBC=180°，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴OC=AC÷cos30°=4，OA= OC=2，
∴OP=2，
∵PC≥OC-OP，
∴PC≥2，
∴PC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】根据线段的和差关系可得BD=CE，证明△ABD≌△BCE，得到∠BAD=∠CBE，由外角的性质得∠APE=∠ABE+∠BAD，根据对顶角的性质可得∠APE=∠BPD，求出∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，∠APB=120°，证△AOC≌△BOC，得∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，∠OAC=∠OBC=90°，利用三角函数的概念求出OC、OA，进而得到OP，当点O、P、C三点共线时，PC取得最小值，为OC-OP，据此解答.
49．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
【答案】 或 或2
【解析】【解答】解：①当 时，
Ⅰ．如图1，当∠ABC为钝角时，作 于 ， 于 ，
与 之间的距离为2，即 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，
，
，
∴
，即 ，
，
， ．
Ⅱ．如图2，当∠ABC为锐角时，作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵BC=2，
∴点E与点C重合， ，
∴ 等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
是等腰直角三角形，
．
②当 时，
Ⅰ．如图3，当∠ACB为锐角时，同①Ⅱ可得，此时 是等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
，
；
Ⅱ．如图4，当∠ACB为钝角时，作 于 ，则 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 ，得到△ 时，点 在直线 上，
，即直线 与 无交点，
综上所述， 的值为 ， ，2．
故答案为： 或 或2．
【分析】先根据 和 时两种情况，再分别由 的 倍的边与BC所成角为钝角和锐角两种情况画出图形分别求解．
50．如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
【答案】
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