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【50道填空题·专项集训】
北师大版九年级下册第二章 二次函数
1．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约.铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前处（即）达到最高点，最高点高为.已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，运动员的成绩是 .
2．把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 .
3．红星公司经营的某种运动服进价为每件150元，售价为每件元，月销量为件，且，则当售价为每件 元时，月利润最大．
4．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴交点的坐标为 ．
5．对于二次函数y=x2+2x﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x2+2x﹣5=0的一个正根的近似值是 ．（精确到0.1）．
6．如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ．
7．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ．
8．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的范围是 ．
9．抛物线y＝-（x+2）2+6顶点坐标是 ．
10．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是 ．
11．已知点（－1，y1），（2，y2）在抛物线y＝x2－2x＋c上，则y1，y2的大小关系是y1 y2（填“>”，“<”或“＝”）．
12．抛物线y=﹣2x2﹣1与y轴交于C，则C的坐标为 ．
13．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
14．将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为 ．
16．二次函数 的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB= ，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数第四象限的图象上，则点C的坐标是 .
17．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的部分对应值如表，则m＝ ．
x ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 5
y 7 0 ﹣8 ﹣9 m ﹣5 7
19．已知二次函数，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的表达式是 ．抛物线与y轴交点为C，当时，C点经过的路径长为 ．
20．如图，已知抛物线 的顶点为点A，交轴于点.轴，与抛物线交于点，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点处，则平移后的抛物线表达式为 .
21．张师傅去华开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，设每月盈利的平均增长率都是x．则根据题意。可列方程：
22．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
23．已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与 轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2
24．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 .
25．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 ．
26．已知抛物线y= x2-2x- m-1（m为常数，nm>0）与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），点P为抛物线在第四象限上的一点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点D在对称轴上，PD=m，取HD的中点C，连结CP、P若PR平分∠BPC；BP=2PC；则m= .
27．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 ．
28．如图，已知二次函数的图象过点，则a= ；若该二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是 ．（填写序号）
①；②；③当时，；④当时，y随x的增大而减小．
29．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线 ．
30．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①b2＞4ac；
②abc＞0；
③2a﹣b=0；
④8a+c＜0；
⑤9a+3b+c＜0．
其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
31．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的有 ．①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．（填编号）
32．抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
33．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式）
34．矩形的周长为 ，当矩形的长为 时，面积有最大值是 ．
35．定义运算“※”：，如：.若函数的图象过点，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为 .
36．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为 ．
37．将抛物线关于轴作轴对称变换，再向右平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标为 .
38．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
39．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
40．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 （填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
41．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
42．如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球飞行路线呈抛物线L形状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知m，m，m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，落下时落点Q与B，D在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度是 m．
43．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ．
44．定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个；
（2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ．
45．二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是 .（填写序号）
46．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 .
47．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、 y轴正半轴分别交于点A、B、D， 且点B的坐标为 （4，0），点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为 ．
48．已知抛物线y＝a+bx+c(a，b，c是常数，a≠c)，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点(3，0)；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点在抛物线上，若当＞＞2时，总有＞，则5a+c≥0．
其中正确的是 ．(填写序号)
49．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
；；；；．
其中正确的是 （填序号）
50．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是 ．
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【50道填空题·专项集训】
北师大版九年级下册第二章 二次函数
1．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约.铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前处（即）达到最高点，最高点高为.已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，运动员的成绩是 .
【答案】10m.
2．把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为 .
【答案】y=（x﹣3）2+2
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2），向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，
故答案为：y=（x﹣3）2+2.
【分析】首先将原抛物线配成顶点式，得出顶点坐标，然后根据点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”得到平移后抛物线的顶点坐标，从而根据平移不会改变抛物线的开口方向及开口大小，即二次项的系数不变，利用顶点式即可得出答案.
3．红星公司经营的某种运动服进价为每件150元，售价为每件元，月销量为件，且，则当售价为每件 元时，月利润最大．
【答案】
4．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴交点的坐标为 ．
【答案】（0，﹣2）
【解析】【解答】∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，
∴此时x=0，y=-2，
∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴交点的坐标是(0,-2).
故答案为：（0，﹣2）
【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，可以令x=0，求y的值即可．
5．对于二次函数y=x2+2x﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x2+2x﹣5=0的一个正根的近似值是 ．（精确到0.1）．
【答案】1.4
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴x=﹣=﹣1，
∴x＞﹣1时y随x的增大而增大，
∵当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0，
∴方程x2+2x﹣5=0的一个正根：1.4＜x＜1.45，
∴近似值是1.4．
答案1.4．
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
6．如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 ．
【答案】(0，1)
【解析】【解答】解：∵的的对称轴是y轴，
∴，
解得：
∴抛物线为：，
将代入得：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据的的对称轴是y轴求出b的值，再根据抛物线解析式求出顶点坐标。
7．写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式 ．
【答案】（答不唯一）
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：，令a=1，得
故答案为：(答案不唯一）.
【分析】由题易知（0，-2）是所写抛物线的顶点，所以设顶点式。且随a（a≠0）的取值的不同答案不唯一。
8．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的范围是 ．
【答案】﹣1≤y≤3
【解析】【解答】根据二次函数的图象可得：当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3.
【分析】利用二次函数图象，由x的取值范围，可得出y的最大值和最小值，就可得出y的取值范围。
9．抛物线y＝-（x+2）2+6顶点坐标是 ．
【答案】（-2，6）
【解析】【解答】解：抛物线y = -(x + 2)2+6的顶点坐标是(-2，6)，
故答案为：(一2，6).
【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标.
10．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是 ．
【答案】 x2
【解析】【解答】解：∵有一个角是60°的直角三角形，
∴设∠A=60°，则∠B=30°，
∵斜边长为x，
∴AC= x，BC= x，
∴它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是：S= × x× x= x2．
【分析】首先根据已知得出两直角边的长度，进而得出面积S与斜边长x之间的函数关系式．
11．已知点（－1，y1），（2，y2）在抛物线y＝x2－2x＋c上，则y1，y2的大小关系是y1 y2（填“>”，“<”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】【解答】解：当x=-1时， ；
当x=2时，，
∴y1>y2，
故答案为：＞．
【分析】将x=-1和x=2分别代入y＝x2－2x＋c，求出y1和y2，再比较大小即可。
12．抛物线y=﹣2x2﹣1与y轴交于C，则C的坐标为 ．
【答案】（0，﹣1）
【解析】【解答】解：当x=0时，y=﹣1．
故答案为（0，﹣1）．
【分析】令x=0，将x=0代入抛物线解析式，即可求出函数与y轴的交点坐标．
13．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
【答案】y=2x2﹣4x+4
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=2．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=EF．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；
即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y=2x2﹣4x+4．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
14．将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴抛物线 的顶点（0，0）也同样向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到新抛物线的的顶点（-2，1）.
∴平移后得到的抛物线的解析式为 .
【分析】由于抛物线 的顶点（0，0），由于抛物线 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，可得新抛物线的的顶点（-2，1），利用抛物线平移的性质及二次函数的性质即可求出结论.
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，
∴当x＝4时，y＝ax2+bx﹣3＝5，
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝﹣2时，y＝ax2+bx﹣3＝5，
即关于x的方程ax2+bx﹣3＝5的两根为4和﹣2，
故答案为﹣2．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．
16．二次函数 的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB= ，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数第四象限的图象上，则点C的坐标是 .
【答案】（3，2）
【解析】【解答】设AB边上的高为h，
∵等边△ABC的边长为
∴AB边上的高h=2，
设点C的纵坐标为y，
∵点C在二次函数的图象上，
∴|y|=2，
∴y=±2，
∵点C落在该函数第四象限的图象上，
∴y= 2，
令y= 2代入
解得：x=0(舍去)或3，
∴C的坐标为 (3， 2)，
故答案为： (3， 2).
【分析】根据等边三角形的性质可求出等边三角形的高，再由点C在二次函数的图象上，且点C落在该函数第四象限的图象上，可求出C的坐标。
17．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为（6，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是
【答案】（﹣2，0）
【解析】【解答】解：（6，0）关于x=2的对称点是（﹣2，0）．
故答案是（﹣2，0）．
【分析】求出点（6，0）关于x=2的对称点即可．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的部分对应值如表，则m＝ ．
x ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 5
y 7 0 ﹣8 ﹣9 m ﹣5 7
【答案】﹣8．
19．已知二次函数，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的表达式是 ．抛物线与y轴交点为C，当时，C点经过的路径长为 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为，∴二次函数的顶点坐标为，
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是；
将x=0代入，可得，
，
①当时，随a的增大而增大，当时，，当时，，此时点C经过的路径长为；
②当时，随a的增大而减小，当时，，当时，，此时点C经过的路径长为4；
综上所述：当时，C点经过的路径长为，
故答案为：，．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出抛物线的顶点坐标为，即可得到顶点所在的直线解析式为；再求出OC的长，可得，分类讨论：①当时，②当时，最后分别求解即可.
20．如图，已知抛物线 的顶点为点A，交轴于点.轴，与抛物线交于点，若将该抛物线进行平移，使顶点落在点处，则平移后的抛物线表达式为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的顶点
当时，，即
∵轴，与抛物线交于点，
∴点纵坐标为3
∴
∴或（舍去）
∴
根据题意，得平移后的抛物线表达式为：
故答案为：.
【分析】将函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标为A（1，4），令x=0，求出y的值，可得B（0，3），根据BC∥x轴可得点C的纵坐标为3，将y=3代入函数解析式中求出x的值，可得点C的坐标，据此不难得到平移后的抛物线表达式.
21．张师傅去华开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，设每月盈利的平均增长率都是x．则根据题意。可列方程：
【答案】5000（1+ x）2= 7200
【解析】【解答】解： 设每月盈利的平均增长率都是x，则根据题意可得5000（1+ x）2= 7200 ，
故答案为：5000（1+ x）2= 7200.
【分析】 设每月盈利的平均增长率都是x，则5月份盈利 = 3月份盈利（1+每月盈利的平均增长
率）2，即可列出关于x得一元二次方程.
22．将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
【答案】或
23．已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与 轴的一个交点的坐标为(m，0)，若2【答案】 【解析】【解答】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a），
∴当y=0时，x1= ，x2=-a，
∴抛物线与x轴的交点为（ ，0）和（-a，0）.
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜ ＜3，解得 ＜a＜ ；
当a＜0时，2＜-a＜3，解得-3＜a＜-2.
故答案为： 【分析】令y=0，可得x1=，x2=-a，据此可得抛物线与x轴的交点坐标，当a＞0时，结合题意有2＜＜3；当a＜0时，结合题意有2＜-a＜3，求解即可.
24．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴将此函数图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数表达式y=（x-3-1）2-4+2即y=（x-4）2-2.
故答案为：y=（x-4）2-2.
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
25．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵h=﹣5（t﹣1）2+6，
∴a=﹣5＜0，
∴抛物线的开口向下，函数由最大值，
∴t=1时，h最大=6．
故答案为：6．
【分析】由函数的解析式就可以得出a=﹣5＜0，抛物线的开口向下，函数由最大值，就可以得出t=1时，h最大值为6．
26．已知抛物线y= x2-2x- m-1（m为常数，nm>0）与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），点P为抛物线在第四象限上的一点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点D在对称轴上，PD=m，取HD的中点C，连结CP、P若PR平分∠BPC；BP=2PC；则m= .
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，在BP上截取PE=CP
∵BP=2CP，PE=CP
∴CP=BE=PE
∵ PH平分∠BPC
∴∠EPH=∠CPH
在△CPH和△EPH中
∴△CPH≌△EPH（SAS）
∴HE=HC，∠HCP=∠HEP
∵点C是DH的中点
∴CD=CH
∴CD=HE
∵∠CPD=180°-∠CPH，∠HEB=180°-∠HEP
∴∠CPD=∠HEB
在△CPD和△EBH中
∴△CPD≌△EBH（SAS）
∴PD=BH=m
∵ y= x2-2x- m-1
∴对称轴为直线x=-=2
∴点B（m+2，0）
将点B（m+2，0）代入抛物线的解析式
（m+2）2-2（m+2）- m-1 =0
解之：m1=3，m2=-2
∵ - m-1 ＜0
解之：m＞-2
∴m=3
故答案为：3
【分析】在BP上截取PE=CP，可证CP=PE=BE，利用角平分线的定义可证得∠EPH=∠CPH，利用SAS证明△CPH≌△EPH，利用全等三角形的性质，易证HE=HC，∠HCP=∠HEP，再证明CD=HE，∠CPD=∠HEB，再利用SAS证明△CPD≌△EBH，利用全等三角形的性质，可证得PD=BH=m，再利用抛物线的解析式求出对称轴，就可得出点H的坐标，即可求出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值。
27．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），
∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，
∴点Q的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．
【分析】先求出点Q的横坐标为1×2-3=-1，再求点的坐标即可。
28．如图，已知二次函数的图象过点，则a= ；若该二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是 ．（填写序号）
①；②；③当时，；④当时，y随x的增大而减小．
【答案】1；④
29．抛物线y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线 ．
【答案】x=1
【解析】【解答】解：y=a（x+1）（x﹣3）
=ax2﹣2ax﹣3a
由公式 得，
抛物线的对称轴为x=1．
【分析】先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a，由公式x= 得抛物线的对称轴为x=1．
30．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①b2＞4ac；
②abc＞0；
③2a﹣b=0；
④8a+c＜0；
⑤9a+3b+c＜0．
其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）
【答案】①②⑤
【解析】【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2a，故b＜0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
所以abc＞0；
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1，b=﹣2a，
∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；
④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；
所以这结论正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
31．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的有 ．①；②；③对于任意实数，恒成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．（填编号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵顶点坐标(1，n)，
∴对称轴为直线x=1，
∴，
∴b= 2a>0，
∵与y轴的交点在(0，3)，(0，4) (包含端点)，
∴3 c 4，
3a+b=3a+( 2a)=a<0，故①正确，
∵与x轴交于点A( 1，0)，
∴a b+c=0，
∴a ( 2a)+c=0，
∴c= 3a，
∴3 3a 4，
∴，故②正确，
∵顶点坐标为(1，n)，
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c am2+bm+c，
∴a+b am2+bm，故③正确，
∵抛物线的顶点坐标(1，n)，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，故④错误，
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】由抛物线开口向下知a＜0，由顶点坐标(1，n)，得对称轴为直线x==1，可得b= 2a>0，从而求出3a+b=a<0，据此判断①；根据抛物线与y轴的交点范围得3 c 4，将点A( 1，0)代入解析式得a b+c=0，据此得c= 3a，即得3 3a 4，求出a的范围即可判断②；由顶点坐标可得x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，从而得出a+b+c am2+bm+c，据此判断③；由顶点坐标(1，n)，可得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+5没有交点，从而得出关于x的方程ax2+bx+c=n+5没有实数根，据此判断④.
32．抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ．
【答案】y=（x﹣4）2﹣3
【解析】【解答】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，其顶点坐标为（3，﹣4）．
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的顶点坐标为（4，﹣3），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣4）2﹣2，
故答案为：y=（x﹣4）2﹣2．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
33．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式）
【答案】
34．矩形的周长为 ，当矩形的长为 时，面积有最大值是 ．
【答案】5；25
【解析】【解答】设矩形的长为xcm，则矩形的宽为(10-x)cm，则矩形的面积y=x(10-x)=-x2+10x(0＜x＜10)
函数开口向下，当x=5时，函数有最大值，最大值y=-52+10×5=25，
故当矩形的长为5cm时，面积有最大值是25 ．
故答案为：5，25
【分析】根据矩形的周长可得出矩形的长与宽的和为10，设矩形的长为xcm，表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式，列出矩形的面积y与x的函数解析式，然后将其转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得结果。
35．定义运算“※”：，如：.若函数的图象过点，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，
则 ，
设图象向右平移k个单位，
则，
∵图象再次经过点P，
∴，
解得k=2或0（舍去），
∴.
故答案为：.
【分析】根据定义的新运算可得y=-2x2，则P（1，-2），设图象向右平移k个单位可得y=-2(x-k)2，将点P的坐标代入求出k的值，进而可得对应的函数表达式.
36．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为 ．
【答案】
37．将抛物线关于轴作轴对称变换，再向右平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标为 .
【答案】（2，-5）
【解析】【解答】解：∵抛物线y=(x-1)2-5的顶点坐标为（1，-5），
∴将抛物线y=(x-1)2-5关于y轴作轴对称变换后得到的抛物线的顶点坐标为（-1，-5），
∴ 再向右平移3个单位后所得抛物线的顶点坐标为（2，-5）.
故答案为：（2，-5）.
【分析】首先求出原抛物线的顶点坐标，进而根据关于y轴对称点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得到轴对称变化后新抛物线的顶点坐标，最后根据点的坐标的平移规律“横坐标左移加右移加”可得平移后抛物线的顶点坐标.
38．当时，直线（m为常数）与抛物线在自变量x取值范围内的图象有一个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】-2＜m≤1或m=-3
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x-2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）
当x=0时y=1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时（x-2）2-3=0，
解之：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
当x=1时y=-2，当x=4时y=1，
二次函数图象如下
由图象可知直线y=m与抛物线y=（x-2）2-3在1≤x≤4内图象有一个交点，
∴m的取值范围为-2＜m≤1或者m=-3.
故答案为-2＜m≤1或m=-3
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的顶点坐标，再由y=0求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值，可得到抛物线与x轴，y轴的交点坐标，然后画出函数图象，再求出当x=1和x=4时的函数值，观察函数图象，可得到直线y=m在1≤x≤4内与抛物线的图象有一个交点时的m的取值范围.
39．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
… t m －2 －2 n …
当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②－2和3是关于x的方程的两个根；③．则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【解析】【解答】解：当x=0时，y=c=-2，当x=1时，y=a+b+c=-2，
∴a+b=0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上，
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①正确；
∵x=-2时，y=t，
∴-2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴为直线，
∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．②正确；
∵b=-a，c=-2，
∴二次函数解析式：y=ax2-ax-2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，抛物线对称轴为直线，
∴m=n=2a-2，
∴；③错误，
故答案为：①②.
【分析】根据表中数据可知a+b=0，抛物线对称轴为直线，根据题意可得在对称轴左侧，y随x增大而减小，推得a＞0，b＜0；根据x=-2时，y=t，结合抛物线的对称轴可得-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；结合a+b=0，可得二次函数解析式：y=ax2-ax-2，根据题意可得m+n=4a-4，即可得出结论.
40．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是 （填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
【答案】y1＜y2
【解析】【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；
当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；
∵﹣29＜1，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
41．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
【答案】1.6
【解析】【解答】解：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故答案为1.6
【分析】由题意知，第一个小球所形成的的抛物线的顶点为（1.1，h），可设解析式为y=a（t﹣1.1）2+h，第二个小球所形成的的抛物线的顶点为（1.1+1，h），可设解析式为y=a（t﹣1﹣1.1）2+h，根据两个小球离手时离地高度相同，则可得方程求解。
42．如图所示，从高为2m的点A处向右上抛一个小球P，小球飞行路线呈抛物线L形状，小球飞行的水平距离2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶上弹起，已知m，m，m，若小球弹起形成一条与L形状相同的抛物线，落下时落点Q与B，D在同一直线上，则小球在台阶弹起时的最大高度是 m．
【答案】
43．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ．
【答案】
44．定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个；
（2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ．
【答案】；；
45．二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是 .（填写序号）
【答案】①③④
【解析】【解答】解：
由所给图形可知
所以
故①正确.
因为抛物线的对称轴为直线
所以
即
因为当 时，函数值小于零，所以 即 整理得，
故②错误.
方程 的根可看成抛物线 与直线 图象交点的横坐标，显然抛物线 与直线 有两个不同的交点，
所以方程 有两个不相等的实数根.
故③正确.
因为抛物线的对称轴为直线 且开口向下，所以当 时，函数取得最大值则对于抛物线上的任意一点 (横坐标为m)，其函数值不大于
所以
即 故④正确.
故答案为： ①③④.
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.
46．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 .
【答案】（3，7）
【解析】【解答】解：y=x2-2x+4=(x-1)2+3，可看成y=x2向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，
由抛物线标准方程2py=x2可得y=x2的焦点F1（0，），准线l1：y=-，
故抛物线y=x2-2x+4的焦点为（1，）即为F点，准线l：y=，
如图，A、F为定点， 当周长最小时，即PA+PF最小，
F为抛物线焦点，则PF等于P到准线l的距离PQ，
当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标y=32-2×3+4=7，故点P坐标为（3，7）
故答案为：（3，7）.
【分析】将抛物线y=x2-2x+4化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到y=x2-2x+4的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即PA+PF最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标.
47．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、 y轴正半轴分别交于点A、B、D， 且点B的坐标为 （4，0），点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，D（0，4），B（4，0），
∴BD＝ ，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴AC＝BD＝ ，
连AC， BE=AB，CE的中点是F，
∴BF＝ AC＝ .
故答案为： ．
【分析】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到AC=BD= ，连结AC，由中位线定理得AC=2BF，求出AC长即可得解．
48．已知抛物线y＝a+bx+c(a，b，c是常数，a≠c)，且a﹣b+c＝0．下列四个结论：
①若b＝﹣2a，则抛物线经过点(3，0)；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③一元二次方程﹣a+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；
④点在抛物线上，若当＞＞2时，总有＞，则5a+c≥0．
其中正确的是 ．(填写序号)
【答案】①②④
49．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：
；；；；．
其中正确的是 （填序号）
【答案】
50．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是 ．
【答案】-15
【解析】【解答】解：由题意得：∵y＝﹣x2+bx+c，
∴ ，
当顶点在M处，则抛物线的表达式为：y＝ （x+1）2+4，
当x＝﹣1时，y=﹣1﹣b+c =4；
当顶点在P处，则抛物线的表达式为：y＝ （x 3）2+4，
当x＝﹣1时，y=﹣1﹣b+c = ；
顶点在N处时，则抛物线的表达式为：y＝ （x 3）2+1，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣b+c= 15；
∴则﹣1﹣b+c的最小值是 15；
故答案为：﹣15．
【分析】由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，从而求出抛物线的a值；顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，据此即得结果.
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