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【50道综合题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．某校数学社团的同学们欲测量南溪仙缘长江大桥桥塔的高度，如图，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得南溪仙缘长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点，，在同一水平线上，）．求南溪仙缘长江大桥桥塔的高度．（结果保留到个位，参考数据：，，，），
2．如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿CB方向前进12米到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度（答案保留根号）．
3．如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计．
（1）求教室的长（教室前后墙壁之间的距离的值）；
（2）若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为1.2米，桌子的高度为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内？请说明理由．，，，精确到0.1米）
4．某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
5．如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）
6．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于 两点， 为 的中点， 轴于点 ，延长 交反比例函数 的图象于点 ，且
（1）求 的值；
（2）连结 求证：四边形 是菱形.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2， ，求 的值．
8．如图，在 中，、分别是、的中点，，连接交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）过点作于点，交于点，若，，求的长．
9．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达点，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为多少海里．
10．如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．
（1）求∠AFB的度数；
（2）求证：BF＝EF；
（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
11．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
（1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
（2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
12．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是，然后，她沿着坡度是（即）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡的长度．（参考数据：，结果精确到米）
13．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米）
（1）求绳索长的最大值．
（2）若时，求桑梯顶端D到地面的距离．
14．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.50米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．
（1）求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到0.01米）
（2）求篮框到地面的距离．（精确到0.1米）
（参考数据：，，，，）
15．我国是世界上最旱发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长 的杆 ，向正北方向画一条射线 ，在 上取点D，测得 ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角 的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为 和 ，利用上表数据，在射线 上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为 ，推测点P位于（ ）
A．线段 中点左侧 B．线段 中点处 C．线段 中点右侧
16．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如标杆，镜子，测角仪……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案：
方案一 方案二
测量工具 测量角度的仪器，皮尺 皮尺，标杆
测量方案示意图
说明 点C、D、A在同一条直线上， A、E、C三点共线，D、F、B三点共线，、、均垂直于
测量数据 ，， 标杆，小明的身高，，
参考数据 ，，
任务解决：请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度．
17．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为小星身高米.
（1）若小星正站在水平地面上处时，那么他的影长为多少米？
（2）若小星来到一个倾斜角为的坡面底端处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？
18．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜7°（∠BAB′＝7°）后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处（如图），测得∠ADC＝37°，AD＝5米．
（1）填空：∠ACD的度数为 ．
（2）求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
19．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
20．如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= ．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
21．在中，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
22．如图，在 中， ， ， 是边 上一点，且 .
（1）试求 的值；
（2）试求 的面积.
23．如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求CD的长．
24．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若，，求四边形ADCE的周长．
25．如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离，小球在最低点B时，与地面距离，求细线的长度．（参考数据：）
26．如图，在中，，于D，，，连接交于点O．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果，，求的长．
27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
28．气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 ．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西600方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点B的坐标为（ ），台风中心转折点C的坐标为（ ）；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4 ，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积
30．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为 ；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．
31．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西，点A在点B正西方向，点D在点A的东北方向，，，求的长．（结果保留根号）
32．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝2 ，sinB＝ ，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC，连结AE，F为线段AE的中点.
求：
（1）线段DE的长；
（2）tan∠CAE的值.
33．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到 两处景区游玩，他们从家 处出发，向正西行驶160 到达 处，测得 处在 处的北偏西15°方向上，出发时测得 处在 处的北偏西60°方向上
（1）填空： 度；
（2）求 处到 处的距离即 的长度（结果保留根号）
34．（如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．
（1）求B点到OP的距离．
（2）求滑动支架AC的长．
（参考数据：sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）
35．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
36．如图，四边形 是平行四边形，联结 ， ．
（1）求 的度数．
（2）求 的值．
37．如图，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短．
38．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
（1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
（2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
39．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，旋转角为 ，且0°< <180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．
（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求 的度数．
40．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= ．
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
41．计算：
（1）sin45°+sin30° cos60°；
（2）+（ ）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．
（3）+1﹣3tan230°+2 ．
42．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求此时海监船与岛屿P之间的距离．
43．图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（参考数据：，，）
（1）求图（2）中点B到一楼地面的距离；
（2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数）
44．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像在第二象限交于点 ，与 轴交于点 ，点 在 轴上，满足条件： ，且 ，点 的坐标为 ， 。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当 时， 的解集。
45．如图，小华在测点D处安置测角仪，测得旗杆顶部点M的仰角，在与点D相距4.5米的点A处安置测角仪，测得点M的仰角，已知测角仪的高度为1.5米（点A，D，N在同一水平线上，且点M，N，D，A，B，E，C都在同一竖直平面内，点B，E，C在同一直线上），求旗杆顶部距离地面的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，）
46．已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2.设CQ=a（a＞0）.
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度.
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值.
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值.
47．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AD，BC为边向外构造等边△ADE和等边△BCF，连结BE，DF，BD.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若AD与BE交于点G，且AD = BD，∠DFB=45°，BG = ，求△BDG的面积.
48．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC +
∠ADC = 90°.点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE.
（1）求证：DC⊥CE；
（2）若 ，求 BDE的面积
49．如图， 一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= ．
（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；
（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．
50．在平面直角坐标系中， 的顶点B在原点O，直角边BC，在x轴的正半轴上， ，点A的坐标为 ，点D是BC上一个动点（不与B，C重合），过点D作 交AB边于点E，将 沿直线DE翻折，点B落在x轴上的F处.
（1） 的度数是 ；
（2）当 为直角三角形时，点E的坐标是 .
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【50道综合题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．某校数学社团的同学们欲测量南溪仙缘长江大桥桥塔的高度，如图，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得南溪仙缘长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点，，在同一水平线上，）．求南溪仙缘长江大桥桥塔的高度．（结果保留到个位，参考数据：，，，），
【答案】仙缘长江大桥桥塔的高度约为米
2．如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上处测得建筑物顶端的仰角为，沿CB方向前进12米到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度（答案保留根号）．
【答案】
3．如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计．
（1）求教室的长（教室前后墙壁之间的距离的值）；
（2）若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为1.2米，桌子的高度为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内？请说明理由．，，，精确到0.1米）
【答案】（1）9.0米
（2）不在
4．某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】遮阳棚前端到墙面的距离为
5．如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）
【答案】该建筑物的高度为．
6．如图，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于 两点， 为 的中点， 轴于点 ，延长 交反比例函数 的图象于点 ，且
（1）求 的值；
（2）连结 求证：四边形 是菱形.
【答案】（1）解：∵
令y=0，得x=-4，即A（-4，0）
由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（-2，0）
又∵tan∠AOQ=
可知QC=1
∴Q点坐标为（-2，1）
将Q点坐标代入反比例函数得：1= ，
∴可得k=-2；
（2）证明：由（1）可知QC=PC=1，AC=CO=2，且A0⊥PQ
∴四边形APOQ是菱形.
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式可确定A点坐标，则C，Q的坐标可求解，然后用待定系数法可求反比例函数的解析式，则k的值可求解；
（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形APOQ是菱形．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2， ，求 的值．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴EA = EB，
∴∠EAB=∠B=25°．
∴∠CAE=40°．
（2）解：∵∠C=90°，
∴ ．
∵CE=2，
∴AE=3．
∴AC= ．
∵EA = EB=3，
∴BC=5．
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】 (1) 根据垂直平分线的性质可求出∠EAB的度数，然后在直角三角形ABC中可求出∠CAB的度数，再利用角的和差即可求解；
(2) 在直角三角形ACE中可求出AE的长，即可知道EB的长，利用勾股定理可得AC的长，然后在△ABC中即可求解。
8．如图，在 中，、分别是、的中点，，连接交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）过点作于点，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是，的中点，
，
在和中，，
≌；
（2）证明：是的中点，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（3）解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，结合中点的概念可得BN=DM，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据直角三角形斜边上中线的性质可得NM=AM=MD，由中点的概念可得BN=NC=AM=DM，则NC=MN=DM，推出四边形CDMN是平行四边形，然后结合MN=DM以及菱形的判定定理进行证明；
（3）根据直角三角形斜边上中线的性质可得MN=MD=AD，由等腰三角形的性质可得∠1=∠MND，根据平行线的性质可得∠1=∠CND，由已知条件可知∠1=∠2，则∠MND=∠CND=∠2，推出PN=PC，易得∠2=∠PNE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PN=2PE=2，则CE=PC+PE=3，然后利用三角函数的概念进行计算.
9．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达点，发现灯塔B在它北偏东方向，则此时货轮与灯塔B的距离为多少海里．
【答案】货轮与灯塔的距离约为海里
10．如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．
（1）求∠AFB的度数；
（2）求证：BF＝EF；
（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝ ∠ADC＝45°，
由旋转得：CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴CD＝DE＝AD，∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝15°，
∴∠AFB＝∠FAD+∠ADB＝15°+45°＝60°
（2）解：连接CF，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∵∠DEA＝15°，
∴∠CEF＝∠CBF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，
∵DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF＝15°，
∴∠FCB＝90°﹣15°＝75°，∠ECF＝60°+15°＝75°，
∴∠FCB＝∠ECF，
∵CF＝CF，
∴△ECF≌△BCF（SAS），
∴BF＝EF
（3）解： AB+CF＝2EF，理由是：
过C作CG⊥BD于G，
∵∠CBD＝45°，
∴△CGB是等腰直角三角形，
∵∠BCF＝75°，
∴∠GCF＝30°，
∴CF＝2FG，
设FG＝x，则CF＝2x，CG＝BG＝ x，
∴BC＝AB＝ CG＝ x，
∴ AB+CF＝2 x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+vx，
∴ AB+CF＝2EF
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质求出∠ADB的度数，利用旋转的性质和等边三角形的性质，可知CD=CE=AD， ∠ADE＝150°，就可求出∠DAE的度数，然后利用三角形外角的性质求出∠AFB的度数。
（2）连接CF，利用等边三角形的性质，可求出∠CEF＝∠CBF＝45°，再利用正方形的性质，可证得 AD＝CD，∠ADF＝∠CDF，利用SAS证明 △ADF≌△CDF，利用全等三角形的性质，可证得∠DAF＝∠DCF＝15°，再证明∠FCB＝∠ECF，然后利用SAS证明△ECF≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（3） 过C作CG⊥BD于G，利用已知条件易证△CGB是等腰直角三角形，再证明CF＝2FG，设FG＝x，则CF＝2x，利用勾股定理可证得CG＝BG＝ x，BC＝AB= x，然后用含x的代数式分别表示出 AB+CF和EF，即可得到线段AB，CF，EF的数量关系。
11．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
（1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
（2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
【答案】（1）；
（2）小明的眼睛离地面的距离约．
【解析】【解答】(1)解：作交于点，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：作交于点，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵视线垂直宣传栏板，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小明的眼睛离地面的距离约．
【分析】
（1）作交于点，交于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义先求出，再利用相似三角形的性质求出∠ABC的度数即可；
（2）作交于点，证明四边形为矩形，利用相似三角形的性质，分别求得和的长，利用解直角三角形的方法求解即可．
12．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是，然后，她沿着坡度是（即）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡的长度．（参考数据：，结果精确到米）
【答案】米．
13．桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索．（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米）
（1）求绳索长的最大值．
（2）若时，求桑梯顶端D到地面的距离．
【答案】（1）1.5米
（2）2.54米
14．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.50米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．
（1）求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到0.01米）
（2）求篮框到地面的距离．（精确到0.1米）
（参考数据：，，，，）
【答案】（1）2.24米
（2）3.1米
15．我国是世界上最旱发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为主，立木为表，测日影，正地中，意四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长 的杆 ，向正北方向画一条射线 ，在 上取点D，测得 ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角 的值，如下表：
节气 夏至 秋分 冬至
太阳光线与地面夹角
①记夏至和冬至时表影分别为 和 ，利用上表数据，在射线 上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为 ，推测点P位于（ ）
A．线段 中点左侧 B．线段 中点处 C．线段 中点右侧
【答案】（1）是； ，由勾股定理的逆定理可知
（2）解：①如图，∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠AMB＞∠ADB，
∴点M在点D的左边；
∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠ANB＜∠ADB，
∴点N在点D的右边；
如图，点M，点N即为所求．
②A
【解析】【解答】解：（1）是，
理由：由测量结果可知 ，由勾股定理的逆定理可知 ．
故答案是：是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
（2）②∵tan∠ADB= ＞1，
∴∠ADB＞45°，
∵∠APB＜∠ADB，
∴点P在点D的左边；
故答案为：A．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）①利用量角器，画出图形即可；②利用图象法判断即可。
16．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如标杆，镜子，测角仪……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案：
方案一 方案二
测量工具 测量角度的仪器，皮尺 皮尺，标杆
测量方案示意图
说明 点C、D、A在同一条直线上， A、E、C三点共线，D、F、B三点共线，、、均垂直于
测量数据 ，， 标杆，小明的身高，，
参考数据 ，，
任务解决：请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度．
【答案】学校旗杆的高度是
17．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为小星身高米.
（1）若小星正站在水平地面上处时，那么他的影长为多少米？
（2）若小星来到一个倾斜角为的坡面底端处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？
【答案】（1）解：如图：由题意得： 米，，
∴米，
答：小星在处的影子为1.6米.
（2）解：∵，
设米，则米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴小星在斜坡上的影子为：，即 ，
答：当他在坡面上至少前进米时，他的影子恰好都落在坡面上.
【解析】【分析】（1）易得∠ADC=∠ACD=45°，可得AD=AC=1.6米；
（2）利用直角三角形的性质，可设米，则米，米，EG=x+1.6米，易得∠EBG=∠E=45°，可得BG=EG，据此建立方程并解之，继而得解.
18．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜7°（∠BAB′＝7°）后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处（如图），测得∠ADC＝37°，AD＝5米．
（1）填空：∠ACD的度数为 ．
（2）求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）
【答案】（1）60°
（2）解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．
在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∴cos37°＝ ≈0.8，
∴DE≈4，
∵sin37°＝ ≈0.6，
∴AE≈3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝ AE＝ ，
∴AC＝2CE＝2 ，
∴AB＝AC+CE+ED＝2 + +4＝3 +4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【解析】【解答】解：(1)∵AB⊥AD，∠BAB'＝7°，∠ADC＝37°，
∴∠ACD＝180°﹣37°﹣（90°﹣7°）＝60°，
故答案为：60°；
【分析】（1）利用三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可；
（2）先求出 DE≈4， 再求出 CE＝ AE＝ ， 最后计算求解即可。
19．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
20．如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= ．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC= ，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC= ．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= ，求出BE的长即可；（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
21．在中，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
即的长为3
（2）解：∵，，，
∴，
即的值为：
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC即可；
（2）由tanA=即可求解.
22．如图，在 中， ， ， 是边 上一点，且 .
（1）试求 的值；
（2）试求 的面积.
【答案】（1）解：如图，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 .
， ，
，
在 中， ，
在 中，
（2）解：过点 作 ，垂足为点 ，
， ，
设 ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
，即 ，
解得 .
的面积
【解析】【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH与BD交点为E，并根据勾股定理求出AH，即可求得 的值；（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，利用 ， ，设DF=x，分别表示出BF和FC求得DF即可求得面积．
23．如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求CD的长．
【答案】（1）解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
由三角形的面积公式得： ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°解得∠ACB=90°，再由勾股定理解得AB的长，继而根据正弦的定义求解即可；（2）由垂径定理得到CE=DE，再结合三角形的面积公式解答即可。
24．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，，．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若，，求四边形ADCE的周长．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形为菱形；
（2）解：在中，，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长为：．
【解析】【分析】（1）先求出 四边形是平行四边形， 再求出CD=AD，最后证明即可；
（2）利用锐角三角函数先求出AC=8，再利用勾股定理求出AB=10，最后求周长即可。
25．如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A、C两点间来回摆动，A点与地面距离，小球在最低点B时，与地面距离，求细线的长度．（参考数据：）
【答案】
26．如图，在中，，于D，，，连接交于点O．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形．
（2）解： ， ，
， ，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定方法证明四边形 是平行四边形，再利用矩形的判定方法证明即可；
（2）根据题意先求出∠ACD=∠CBD，再利用锐角三角函数计算求解即可。
27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
【答案】（1）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，∴AC= ，∵点D是AC的中点，
∴CD= AC= ，
∴Rt△BCD中，BD= =
（2）解：如图，过C作CH⊥AB于H，∵BC= ，cot∠ABC= ，
∴CH= ，BH=1，
∵CE=CB，
∴EH=BH=1，
∵∠ACB=90°，BC= ，AC= ，
∴AB=3，
∴AE=3﹣2=1，
∴△ACE的面积= ×AE×CH= ×1× = ．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，cot∠ABC=，所以可得AC= ，由题意可得CD= AC= ；在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD=；
（2）过C作CH⊥AB于H，在直角三角形BCH中，cot∠ABC=，所以CH= ，BH=1，所以根据等腰三角形三线合一可得EH=BH=1，在直角三角形ABC中，用勾股定理易得AB=3，所以AE=3﹣2=1，△ACE的面积=×AE×CH=.
28．气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 ．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西600方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点B的坐标为（ ），台风中心转折点C的坐标为（ ）；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
【答案】（1）；
（2）过点 作 于点 ，则 ，
在Rt 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
【解析】【分析】（1）先求出B的坐标，再求出点C的坐标；
（2）过点C作于点D，构造直角三角形求出CA的长，然后再根据速度求出台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。
29．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4 ，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积
【答案】（1）解：连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，
∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°
（2）解：过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB sin60°=4× =2 ，
∴四边形ABCD的面积为： AD EB+ DB CD= ×4×2 + ×4×8=4 +16．
【解析】【分析】（1） 连接BD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出： △ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出 ∠ADB=60°，DB=4，然后利用勾股定理的逆定理判断出 ∠BDC=90°，最后根据∠ADC=∠ADB+ ∠BDC即可算出答案；
（2） 过B作BE⊥AD，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BE=AB sin60°算出BE的长，然后根据 四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BDC的面积即可算出答案。
30．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．
（1）线段OC的长为 ；
（2）求证：△CBD≌△COE；
（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．
①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；
②在平移过程中，当S= 时，请直接写出a的值．
【答案】（1）
（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，
∴OC=BC= AB，
∴∠CBO=∠COB，
∵四边形OBDE是正方形，
∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，
∴∠CBD=∠COE，
在△CBD和△COE中，
，
∴△CBD≌△COE（SAS）
（3）解：①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，
∵C是AB边的中点，
∴点C的坐标为：（2， ）
∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，∴CH=2﹣a，∴S= D1E1 CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；②当1＜a＜2时，S=﹣ a+1= ，解得：a= ；当a＞2时，同理：CH=a﹣2，∴S= D1E1 CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，∴S= a﹣1= ，解得：a= ，综上可得：当S= 时，a= 或 ．
【解析】【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= = ，
∵点C为边AB的中点，
∴OC= AB= ；故答案为： ．
【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案；
②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案． 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
31．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西，点A在点B正西方向，点D在点A的东北方向，，，求的长．（结果保留根号）
【答案】
32．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝2 ，sinB＝ ，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CE＝BC，连结AE，F为线段AE的中点.
求：
（1）线段DE的长；
（2）tan∠CAE的值.
【答案】（1）解：连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝2 ，sin∠B＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝4，由勾股定理得：BD＝2，
∴DC＝BD＝2，BC＝4，
∵CE＝BC，∴CE＝4，
∴DE＝2+4＝6；
（2）解：过C作CM⊥AE于M，则∠CMA＝∠CME＝90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE＝ ＝ ＝2 ，∵由勾股定理得；CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2，∴(2 )2－AM2＝42－(2 ﹣AM)2，解得：AM＝ ，CM＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠CAE＝ ＝ ＝
【解析】【分析】（1）连结AD，利用等腰三角形的性质，可得出AD⊥BC，根据sin∠B的值求出AD的长，利用勾股定理求出DC的长，根据DE=DC+CE，可求解。
（2）过C作CM⊥AE于M，则∠CMA＝∠CME＝90°，利用勾股定理求出AE的长，再根据CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2，求出AM的长，然后利用勾股定理求出CM的长，再利用锐角三角函数的定义，可求出tan∠CAE的值。
33．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到 两处景区游玩，他们从家 处出发，向正西行驶160 到达 处，测得 处在 处的北偏西15°方向上，出发时测得 处在 处的北偏西60°方向上
（1）填空： 度；
（2）求 处到 处的距离即 的长度（结果保留根号）
【答案】（1）45
（2）解：过点 作 于点
在 中，
∴ （ ）
在 中，
∴ （ ）
答： 处到 处的距离即 的长度是
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：45；
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）过点 作 于点 ，可得出 ，在 中， ，由此可得出答案．
34．（如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．
（1）求B点到OP的距离．
（2）求滑动支架AC的长．
（参考数据：sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）
【答案】（1）解：如图所示：
在Rt△BHD中，∠BDH=37°，
由tan37°= ，
可令BH=3x，则DH=4x．
由题意∠BOD=90°﹣45°=45°，则OH=BH=3x，
由OD=OH+DH=28得：4x+3x=28，
解得x=4，
∴BH=3x=12 （cm）；B点到OP的距离为12cm．
（2）解：在Rt△BHD中，sin∠BDH= ，
∴BD= ，
∴AC=BD=20（cm）；滑动支架AC的长为20cm．
【解析】【分析】（1）根据三角函数分别表示出OH和DH，再根据点D到点O的距离为28cm可列方程求解；（2）在Rt△BDH中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．
35．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
【答案】（1）解：如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，
则DC=60海里，
故cos30°= = ，
解得：AC=40 ，
答：点A到岛礁C的距离为40 海里．
（2）解：如图所示 ：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，
则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′=x，则A′E= x，
故CA′=2A′N=2× x= x，
∵ x+x=40 ，
∴解得：x=20（ ﹣1），
答：此时“中国海监50”的航行距离为20（ ﹣1）海里．
【解析】【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°= ，进而求出答案；
（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
36．如图，四边形 是平行四边形，联结 ， ．
（1）求 的度数．
（2）求 的值．
【答案】（1）解：过点A作 ，
中
；
（2）解：过点 作 ，如图，
四边形 是平行四边形，
中，
．
【解析】【分析】（1）过点A作 ，由余弦的定义解得 ， ，再由勾股定理解得 ，最后根据正切定义解题即可；
（2）过点 作 ，由等积法解得 ， 中，利用勾股定理解得 ，最后由正弦定义解题即可．
37．如图，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短．
【答案】（1）解：作BH⊥AC于H．
∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠BAC=30°
∴BA=BC=30× =20海里．
∵BH⊥AC，
∴AH=HC=AB cos30°=10 海里，
∴AC=2AH=20 海里．
（2）解：作CH⊥AB交AB的延长线于H．
在Rt△BCH中，BH=BC cos60°=10海里，
∴时间t= 小时=20分钟．
∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【解析】【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，求出HC即可解决问题；（2）作CH⊥AB交AB的延长线于H．求出BH即可解决问题；
38．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
（1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
（2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）点A到地面的距离为；
（2）点A上升的高度为；
39．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A’B’C，旋转角为 ，且0°< <180°．在旋转过程中，点B’可以恰好落在AB的中点处，如图②．
（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA’的距离等于AC的一半时，求 的度数．
【答案】（1）解：将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，∴ ．∵点 可以恰好落在 的中点处，∴点 是 的中点．∵ ，∴ ．∴ ．即 是等边三角形．∴ ．∵ ，
∴
（2）解：如图，过点 作 于点 ，点 到 的距离等于 的一半，即 ．在Rt 中， ， ，∴ ．∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
【解析】【分析】（1）由旋转性质和直角三角形的斜边中线性质，可先得∠ B = 60 °，再推出∠ A = 30 °；（2）利用30度角的正弦函数，先求出∠ C A D = 30 °，再求出旋转角∠ A C A ' = 120 ° .
40．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= ．
（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
【答案】（1）解：在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴cosD= ，
∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，
∴BE= CD=25（海里）
∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．
（2）解：设BF=x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，
∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．
解得x=7．
∴sin∠BCF= ．
【解析】【分析】（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解；（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．
41．计算：
（1）sin45°+sin30° cos60°；
（2）+（ ）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．
（3）+1﹣3tan230°+2 ．
【答案】（1）解：原式= × + ×
=1
（2）解：原式=2+2﹣2× +1
=4﹣1+1
=4
（3）解：原式= +1﹣3× +2×（1﹣ ）
= +1﹣1+2﹣
=2
【解析】【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；（3）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质计算即可得到结果．
42．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求此时海监船与岛屿P之间的距离．
【答案】此时海监船与岛屿P之间的距离是海里．
43．图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．
（参考数据：，，）
（1）求图（2）中点B到一楼地面的距离；
（2）求日光灯C到一楼地面的距离．（结果保留整数）
【答案】（1）
（2）
44．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像与反比例函数 的图像在第二象限交于点 ，与 轴交于点 ，点 在 轴上，满足条件： ，且 ，点 的坐标为 ， 。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当 时， 的解集。
【答案】（1）解：如图作 轴于点
则
∴
∵点 的坐标为
∴
∵
∴ ，
在 和 中
有
∴ ≌
∴ ，
∴ ，即
∴
∴反比例函数解析式为
（2）解：因为在第二象限中， 点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以当 时， 的解集为
【解析】【分析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，证明 ≌ 得到BH与CH的长度，便可求得B点的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围便是结果．
45．如图，小华在测点D处安置测角仪，测得旗杆顶部点M的仰角，在与点D相距4.5米的点A处安置测角仪，测得点M的仰角，已知测角仪的高度为1.5米（点A，D，N在同一水平线上，且点M，N，D，A，B，E，C都在同一竖直平面内，点B，E，C在同一直线上），求旗杆顶部距离地面的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】旗杆顶部离地面的高度约为9.9米．
46．已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2.设CQ=a（a＞0）.
（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度.
（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值.
（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值.
【答案】（1）解：如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，
Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，
∴ON= OA=5，AN=5 ，
同理得：CD=5，BD=5 ，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OB∥AC，
∴MQ=BD=5 ，
当a=2时，CQ=2，OP=4，
∴BM=DQ=5-2=3，
∴PM=PB+BM=16-4+3=15，
Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ= = =10 （cm）；
（2）解：分两种情况：
①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB=CQ，
即16-2a=a，
a= ；
②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，
∴PB=CQ
即2a-16=a，
a=16，此时Q与A重合，
综上，a的值为 或16；
（3）解：分三种情况：
①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，
∴PB=QD，
16-2a=a-5，
3a=21，
a=7；
②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，
∵C与C'关于PQ对称，
∴PQ是CC'的垂直平分线，
∴PC=PC'，CQ=C'Q，
∴∠PCC'=∠PC'C，
∵AC∥OP，
∴∠PC'C=∠QCC'，
∴∠QCC'=∠PCC'，
∵CC'⊥PQ，
∴PC=CQ=a，
∵OP=2a，
∴BP=2a-16，
Rt△BCR中，∠CBR=60°，
∴∠BCR=30°，
∵BC=10，
∴BR=5，CR=5 ，
∴PR=5-（2a-16）=21-2a，
由勾股定理得： ，
a=14+2 （舍）或14-2 ；
③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，
Rt△PBR中，∠PBR=60°，
∴∠BPR=30°，
∵PB=2a-16，
∴BR= BP=a-8，
同理得：CR= CQ= a，
∵BC=BR+CR，
∴a-8+ a=10，a=12，
综上，a的值为7或14-2 或12.
【解析】【分析】（1） 如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，利用解直角三角形求出ON、AN、CD、BD的长，再利用平行四边形的性质，可求出MQ、BD的长，从而可求出BM，根据PM=PB+BM，就可求出PM的长，然后在 Rt△PMQ中，利用勾股定理求出PQ的长。
（2）要使以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论： ①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形；②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，利用平行四边形的性质，分别建立关于a的方程，解方程求出a的值。
（3）分情况讨论：①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，根据PB=QD，建立关于a的方程，解方程求出a的值；②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，利用轴对称的性质及相关知识，分别表示出BP、BR、CR、PR，利用勾股定理建立关于a的方程，解方程求出a的值；③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q， 用含a的代数式表示出PB，BR，CR，然后根据BC=BR+CR，建立关于a的方程，解方程求出a的值；综上所述，可得出符合题意的a的值。
47．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AD，BC为边向外构造等边△ADE和等边△BCF，连结BE，DF，BD.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若AD与BE交于点G，且AD = BD，∠DFB=45°，BG = ，求△BDG的面积.
【答案】（1）证明：∵等边△ADE和等边△BCF，
∴AD=DE，BC=BF，∠EDA=∠CBF=60°，
∵ ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴ED=BF，∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠DBF，
∴ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：过点G作CH⊥BD于点H，
∴∠DHG=∠GHB=90°，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴∠DFB=∠DEB=45°，
∵△ADB是等边三角形，
∴ED=AD=BD，∠EDA=60°
∴∠DEB=∠DBE=45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH=GH=BGsin∠HGB=BGsin45°=；
∴∠EDB=90°，
∴∠GDH=90°-∠EDA=90°-60°=30°，
∴∠DGB=180°-∠GDB-∠GBD=180°-30°-45°=105°，
∴∠DGH=∠DGB-∠HGB=105°-45°=60°，
在Rt△DGH中
DH=HGsin∠DGH=HGsin60°=，
∴BD=BH+DH=1+；
∴
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AD=DE，BC=BF，∠EDA=∠CBF=60°，利用平行四边形的性质可推出AD=BC，AD∥BC，从而可推出ED=BF，利用平行线的性质去证明∠EDB=∠DBF；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）过点G作CH⊥BD于点H，利用垂直的定义可证得∠DHG=∠GHB=90°，利用平行四边形的性质可推出∠DFB=∠DEB=45°；再利用等边三角形的性质可得到ED=AD=BD，∠EDA=60°，利用等边对等角可求出∠DBE=45°，可证得△BGH是等腰直角三角形；利用解直角三角形求出BH，GH的长；利用三角形的内角和定理可求出∠DGB的度数，即可得到∠DGH的度数；在Rt△DGH中，利用解直角三角形求出DH的长，可得到DB的长；然后利用三角形的面积公式求出△BDG的面积.
48．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD有交点，且∠ABC +
∠ADC = 90°.点E与点C在BD同侧，连接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE.
（1）求证：DC⊥CE；
（2）若 ，求 BDE的面积
【答案】（1）证明：∵△ABD∽△CBE
∴∠BCE=∠BAD
∵四边形ABCD的内角和为360゜，∠ABC + ∠ADC = 90°
∴∠BAD+∠BCD=360゜ (∠ABC + ∠ADC)=270゜
∴∠BCE+∠BCD=270゜
∵∠BCE+∠BCD +∠DCE=360゜
∴∠DCE=90゜
即DC⊥CE
（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，过点D作DG⊥BE于点G，如图
∵△ABD∽△CBE
∴ ，∠ABD=∠CBE
∴ ，
∵
∴
∴
∴
即
∵AF⊥CD
∴
∴∠ADC=30゜
∵∠ABC + ∠ADC = 90°
∴∠ABC=60゜
∵∠ABD=∠CBE
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE
即∠DBG=∠ABC=60゜
在Rt△DBG中，
∴
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等可得∠BCE=∠BAD，根据四边形的内角和为360°可得∠BAD+∠BCD=270°，则∠BCE+∠BCD=270°，然后结合周角为360°求出∠DCE的度数，据此证明；
（2）过点A作AF⊥CD于点F，过点D作DG⊥BE于点G，根据相似三角形的性质可得BE的值，根据已知条件结合三角形的面积公式可得，进而求出 ，由三角函数的概念得sin∠ADC的值，得到∠ADC的度数，然后求出∠ABC的度数，根据角的和差关系可得∠DBG=∠ABC=60°，根据三角函数的概念求出DG，然后根据三角形的面积公式进行计算即可.
49．如图， 一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= ．
（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；
（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．
【答案】（1）解：过点B作 交AC于点D.
答：点B离开地面的距离为 m.
（2）解：过E作 交AC、AB于点F、G.
答：AB的长为2.5m.
【解析】【分析】（1） 过点B作 交AC于点D，在Rt△BDA中，根据锐角三角函数的定义得，又由正弦定义得BD=AB·sin∠BAD即可求得答案.
（2） 过E作 EF⊥AC 交AC、AB于点F、G，在Rt△GEB中，根据锐角三角函数的定义得，从而求得BG长，根据勾股定理求得EG长；由FG=EF-EG求得FG，在Rt△AGF中，根据锐角三角函数的定义求得AG，由AB=AG+GB即可求得答案.
50．在平面直角坐标系中， 的顶点B在原点O，直角边BC，在x轴的正半轴上， ，点A的坐标为 ，点D是BC上一个动点（不与B，C重合），过点D作 交AB边于点E，将 沿直线DE翻折，点B落在x轴上的F处.
（1） 的度数是 ；
（2）当 为直角三角形时，点E的坐标是 .
【答案】（1）30°
（2）（1， ）或（2， ）
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点A的坐标为 ，
∴AC= ，BC=3，
∴tan∠ABC= = ，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30°；
（ 2 ）△AEF为直角三角形分三种情况：
①当∠AEF=90°时，
∵∠OED=∠FED，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠OED=45°.
∵∠ACB=90°，点A的坐标为 ，
∴tan∠ABC= ，∠ABC=30°.
∵ED⊥x轴，
∴∠OED=90°-∠ABC=60°.
45°≠60°，此种情况不可能出现；
②当∠AFE=90°时，
∵∠OED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°，
∵∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=30°.
∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，
∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°.
∵AC= ，
∴CF=AC tan∠FAC=1，
∴OF=OC-FC=3-1=2，
∴OD=1，
∴DE=tan∠ABC×OD= ，
∴点E的坐标为（1， ）；
③当∠EAF=90°时，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，
∵AC= ，
∴CF=AC tan∠FAC=1，
∴OF=OC+CF=3+1=4，
∴OD=2，
∴DE=tan∠ABC×OD= ，
∴点E的坐标为（2， ）；
综上知：若△AEF为直角三角形.点E的坐标为（1， ）或（2， ）.
故答案为：（1， ）或（2， ）.
【分析】（1）根据∠ACB=90°以及点A的坐标，得到AC和BC的长，再利用特殊角的三角函数值求解即可；
（2）根据直角三角形的定义可分三种情况考虑：①当∠AEF=90°时，②当∠AEF=90°时，③当∠EAF=90°时，三种情况分别求解.
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