北师大版九年级数学上册第四章图形的相似第4节《探索三角形相似的条件》课时练习

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北师大版九年级数学上册3.4探索三角形相似的条件同步练习
一、选择题
1.已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
答案：C
解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴，
故选C．
分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．
2.如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案：B
解析：解答：∵△RPQ∽△ABC，
∴，
即，
∴△RPQ的高为6．
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选B．
分析：根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值即可求得结果．
3.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则=（　　）
A．1：3
B．1：9
C．1：3
D．1：1.5
答案：B
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴．
故选B．
分析：由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
4.两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（　　）
A．8和12
B．9和11
C．7和13
D．6和14
答案：A
解析：解答：∵两个相似三角形对应中线的比2：3，
∴两个相似三角形的周长的比为2：3，
设这两个三角形的周长分别为2x，3x，
则2x+3x=20，解得x=4，
∴2x=8，3x=12，
即两个三角形的周长分别8和12．
故选A．
分析：根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程求出x后计算2x和3x即可．
5.已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（　　）
A．2
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，
∴，
解得，
∵BC=1，
∴．
故选A．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解．
6.已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（　　）
A．AB是A′B′的3倍
B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍
D．∠A′是∠A的3倍
答案：A
解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，
∴，∠A=∠A′，故C与D都错误；
∴AB=3A′B′，故A正确，B错误．
故选A．
分析：根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解．
7.如果两个相似三角形的面积比是1：6，则它们的相似比（　　）
A．1：36
B．1：6
C．1：3
D．1：6
答案：D
解析：解答：∵两个相似三角形的面积比是1：6，
∴它们的相似比．
故选D．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
8.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：AD
解析：解答：∵△ABC∽△DBA，
∴；
∴，
；
故选AD．
分析：根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
9.△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（　　）
A．27
B．12
C．18
D．20
答案：C
解析：解答：设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18．
故选C．
分析：设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
10.已知△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，则△DEF的周长为（　　）
A．39
B．26
C．52
D．13
答案：C
解析：解答：∵△ABC的三边长分别为4，3，6，
∴△ABC的周长为：4+3+6=13，
∵与它相似的△DEF的最小边长为12，
∴△DEF的周长：△ABC的周长=12：3=4：1，
∴△DEF的周长为：4×13=52．
故选C．
分析：由△ABC的三边长分别为4，3，6，与它相似的△DEF的最小边长为12，即可求得△AC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
11.一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（　　）
A．24cm
B．21cm
C．13cm
D．9cm
答案：A
解析：解答：设其余两边的长分别是xcm，ycm，
由题意得x：y：21=3：5：7，
解得x=9，y=15，
故其余两边长的和为9+15=24（cm）．
故选A．
分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
12.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
答案：C
解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
13.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴，
∴EF=2BC=2．
故选：B．
分析：根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
14.相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为，那么小三角形的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：根据题意两个三角形的相似比是5：3，面积比就是25：9，
大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16=2（），所以小三角形的面积为2×9=18（）．
故选D．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求小三角形的面积为．
15.已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为（　　）
A．4：1
B．1：4
C．16：1
D．2：1
答案：D
解析：解答：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比2：1．
故选D．
分析：由△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，根据相似三角形对应的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可求得答案．
二、填空题
16.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______．
答案：2：3
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，
故答案为：2：3．
分析：相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
17.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
答案：4：1
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1．
分析：根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
18.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______．
答案：4：9
解析：解答：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
19.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为______．
答案：2：3
解析：解答：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．
20.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为______．
答案：9：16
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为9：16．
故答案为：9：16．
分析：由△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
三、解答题
21.已知△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的的最大边长为26，求的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
答案：解答：∵△ABC的相似三角形的最大边长为26，即对应△ABC的对应最大边长13，所以对应边长的比值为2，
所以另两边分别为10，24，
故三角形的周长为10+24+26=60，
∵，
∴三角形的最大角度为90°．
解析：分析：由题中条件可得三角形的相似比，进而可得其对应边的比，再由勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，即最大角为90°．
22.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
答案：解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得．
解析：分析：先根据勾股定理求出BE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出EF的长．
23.两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
答案：解答：设两个三角形的周长分别为x、y，
根据题意得，，
∴，
∵他们周长的和是240cm，
∴，
解得y=80，
x=2×80=160，
∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
解析：分析：设两个三角形的周长分别为x、y，根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程，然后求解即可．
24.如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．
答案：解答：①当△ADP∽△DPC时，
有
AP=2或9；
②当△ADP∽△BCP时，
，，
解得：，
综上知：AP=2或9或.
解析：分析：分△ADP∽△DPC和△ADP∽△BCP两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．
25.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
答案：解答：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，
则（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t=167；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：167s或4s．
解析：分析：首先设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
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