北师大版数学九年级上册第二章第四节《用因式分解法求解一元一次方程》课时练习

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北师大版数学九年级上册第二章第四节用因式分解法求解一元二次方程课时练习
一、单选题（共15题）
1.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
答案：B
解析：解答：解方程-12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B
分析: 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可
2.我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　　）
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
答案：A
解析：解答: 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，
进而得到原方程的解为=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选A．
分析: 上述解题过程利用了转化的数学思想
3.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
答案：A
解析：解答: x2-7x+10=0，
（x-2）（x-5）=0，
x-2=0，x-5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
分析: 求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
4.一元二次方程x2-2x=0的根是（　　）
A.x1=0，x2=-2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=-2 D．x1=0，x2=2
答案:D
解析：解答: x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0，x-2=0，
x1=0，x2=2，
故选D．
分析: 先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可
5.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
答案:B
性质
解析：解答: ∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，
∴22-4 m +3 m =0，m =4，
∴x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
分析: 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验
6.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（　　）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
答案:A
解析：解答: 解方程x2-13x+36=0得，
x=9或4，
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选：A．
分析: 先求出方程x2-13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可
7.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
答案:B
性质
解析：解答：∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，
∴22-4m+3m=0，m=4，
∴x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
分析: 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验
8.已知a，b为实数，，则代数式的值为（　　）
A．2 B．3 C．-2 D．3或-2
答案:B
解析：解答: 设＝x，
原方程变形为，x2-x-6=0，
解得x=3或-2，
∵≥0，
∴=3，
故选B．
分析: 本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出要变形的整体
9.方程配方后，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
答案:A
解析：解答:，
x2+8x=-9，
x2+8x+42=-9+42，
故选：A．
分析: 先移项，再方程的两边都加上4的平方，即可得出答案
10.已知，则m2+n2的值是（　　）
A．3 B．3或-2 C．2或-3 D．2
答案:A
解析：解答: 设m2+n2=x，
原方程变形为（1-x）x=-6，
解得x=-2或3，
∵m2+n2≥0，
∴x=3，
∴m2+n2=3．
故选A．
分析: 本题考查了用换元法解一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，把m2+n2设为x，转化为关于x的一元二次方程是解题的关键
11.若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（　　）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
答案:C
解析：设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0
即-t2+t+6=0
t2-t-6=0
∴t=-2或3，即x+y=-2或3
故选C
分析: 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
12.已知，则m2+n2的值为（　　）
A．-4或2 B．-2或4 C．-4 D．2
答案:D
解析：解答: 设y= m2+n2，
原方程变形为y（y+2）-8=0
整理得，y2+2y-8=0，
（y+4）（y-2）=0，
解得y1=-4，y2=2，
∵m2+n2≥0，
所以m2+n2的值为2，
故选D．
分析: 本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的
13.若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b的值为（　　）
A．-4 B．2 C．4 D．-4或2
答案:D
解析：解答: 设a+b=x，由题意得
x（x+2）=8
+2x-8=0
（x-2）（x+4）=0
解得x1=2，x2=-4
因此a+b=2或-4．
故选：D．
分析: 此题考查用换元法解一元二次方程，注意原方程的特点，用一个字母代替方程的某一个式子是解决问题的关键
14.（m+n）（m+n-2）-8=0，则m+n的值是（　　）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
答案:C
解析：解答：设x=m+n，
则原方程可变为x（x-2）-8=0，
整理得，x2-2x-8=0，
（x-4）（x+2）=0，
∴x1=4，x2=-2，
∴m+n=4或-2；
故选C．
分析: 本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式m+n，再用字母x代替解方程
15．（x+y）（x+y+2）-8=0，则x+y的值是（　　）
A．-4或2 B．-2或4 C．2或-3 D．3或-2
答案:A
解析：解答：设x+y=a，原方程可化为a（a+2）-8=0
即：a2+2a-8=0
解得a1=2，a2=-4
∴x+y=2或-4
故选A．
分析: 解本题时，根据已知的方程与所求式子的关系，注意用换元法求值
二、填空题（共5题）
16.若，则x2+y2=______
答案: 10
解析：解答: 设x2+y2=t，原方程可化为t2-3t-70=0，
解得t1=10，t2=-7，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=10，
故答案为10．
分析: 本题考查了用换元法解一元二次方程，注意整体思想和x2+y2≥0这一条件的运用．
17.已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为____
答案: 1
解析：解答: 令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
分析：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
18.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______
答案:1
解析：解答: 设方程的另一个根是x2，则：
3+ x2=4，
解得x2=1，
故另一个根是1．
故答案为1．
分析: 根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根
19.方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为__________
答案：-8或
解析：解答：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
分析: 首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
20.解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________
答案：x-1=0或x+3=0
解析：解答：（x-1）（x+3）=0，
x-1=0或x+3=0．
故答案为x-1=0或x+3=0
分析: 把方程左边分解，则原方程可化为x-1=0或x+3=0
三、解答题（共5题）
21.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长
答案:14
性质
解析：解答: ∵2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，
∴22-4 m +3 m =0，m =4，
∴x2-8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
分析: 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验
22.解方程：x2-3x+2=0
答案: 解答: ∵x2-3x+2=0
∴（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
解析：分析：把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x-1）（x-2），再利用积为0的特点求解即可
23.解方程：x2+x-2=0
答案：解答：
分解因式得：（x-1）（x+2）=0，
可得x-1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=-2
解析：分析: 方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解
24.解方程：x（x-1）=2（x-1）
答案：解答：x（x-1）=2（x-1）．
x（x-1）-2（x-1）=0．
（x-1）（x-2）=0，
∴x-1=0，x-2=0，
∴x1=1，x2=2，
解析： 分析: 先移项得到x（x-1）-2（x-1）=0，再把方程左边分解得到（x-1）（x-2）=0，则方程转化为x-1=0，x-2=0，然后解一次方程即可
25.解方程：x2-x=-2（x-1）
答案：解答：x2-x=-2（x-1），
x（x-1）=-2（x-1），
（x-1）（x+2）=0，
x1=1，x2=-2．
解析：分析: 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x-1），此题难度不大
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