北师大版数学九年级上册第二章第五节《一元一次方程的根与系数之间的关系》课时练习

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北师大版数学九年级上册第二章第五节一元二次方程的根与系数的关系课时练习
一、单选题（共15题）
1. 若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（　　）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
答案：A
解析：解答：根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
分析: 根据根与系数的关系得到答案即可
2. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
答案:A
解析：解答: 设一元二次方程的另一根为，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得-1+=-3，
解得：=-2．
故选A．
分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根
3. 设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案:C
解析：解答: ∵一元二次方程-2x-3=0的两根是x1、x2，
∴x1+ x2=2，x1 x2=-3，
∴=（x1+ x2）2-2 x1 x2=22-2×（-3）=10．
故选C．
分析: 根据根与系数的关系得到x1+ x2=2，x1 x2=-3，再变形得到（x1+ x2）2-2 x1 x2然后利用代入计算即可
4. 已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1 x2=（　　）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
答案:B
解析：解答:∵一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，
∴x1 x2= =3，
故选：B．
分析: 利用根与系数的关系求出x1 x2=的值即可
5. 已知x=2是方程x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
答案:C
解析：解答：设关于x的方程x2-6x+m=0的另一个根是t，
由根与系数的关系得出：t+2=6，
则t=4．
故选：C．
分析: 设出方程的另一个跟，直接利用根与系数的关系求得答案即可
6.判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
答案:C
解析：解答: ∵一元二次方程式x2-8x-a=0的两个根均为整数，
∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，
A.△=64+4×12=102，= ，此选项不对；
B、△=64+4×16=128，= ，此选项不对；
C、△=64+4×20=144，=12此选项正确；
D、△=64+4×24=160，＝此选项不对，
故选：C．
分析: 根据题意得到△=64+4a，然后把四个选项中a的值一一代入得到是正整数即可得出答案
7. 如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（　　）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
答案:B
解析：解答：根据题意可得
x1+x2==3，
故选B．
分析: 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式
8. 若关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A.a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1
答案:A
解析：解答: ∵关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，
∴△=（-4）2-4（5-a）≥0，
∴a≥1．
故选A．
分析: 根据关于x的一元二次方程x2-4x+5-a=0有实数根，得出△=16-4（5-a）≥0，从而求出a的取值范围
9. 已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．5
答案:A
解析：解答: 解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，
∴x1 x2=1，x1+ x2=4，
∴x1 x2- x1- x2= x1 x2-（x1+ x2）=1-4=-3．
故选：A．
分析: 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
10.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为、，则 的值是（　　）
A．4 B．-4 C．3 D．-3
答案:D
解析：解答: =3．
故选D．
分析: 根据根与系数的关系求解
11.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（　　）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
答案:A
解析：解答: 设一元二次方程的另一根为，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得-1+=-3，
解得：=-2．
故选A．
分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根
12.设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案:C
解析：解答: ∵一元二次方程-2x-3=0的两根是x1、x2，
∴x1+ x2=2，x1 x2=-3，
∴=（x1+ x2）2-2 x1 x2=22-2×（-3）=10．
故选C．
分析: 根据根与系数的关系得到x1+ x2=2，x1 x2=-3，再变形得到（x1+ x2）2-2 x1 x2然后利用代入计算即可
13.已知一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，则x1 x2=（　　）
A．4 B．3 C．-4 D．-3
答案:B
解析：解答:∵一元二次方程-4x +3=0两根为x1、x2，
∴x1 x2= =3，
故选：B．
分析: 利用根与系数的关系求出x1 x2=的值即可
14.已知x=2是方程x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
答案:C
解析：解答：设关于x的方程x2-6x+m=0的另一个根是t，
由根与系数的关系得出：t+2=6，
则t=4．
故选：C．
分析: 设出方程的另一个跟，直接利用根与系数的关系求得答案即可
15.如果一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，那么x1+x2=（　　）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
答案:B
解析：解答：根据题意可得
x1+x2==3，
故选B．
分析: 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式
二、填空题（共5题）
16.已知：一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一根为____
答案: 4
解析：解答: 设方程另一根为t，
根据题意得2+t=6，
解得t=4．
故答案为4．
分析: 设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
17.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________
答案: 3
解析：解答: 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
分析：根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
18.已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是_______
答案:1
解析：解答: 设方程的另一个根是x2，则：
3+ x2=4，
解得x2=1，
故另一个根是1．
故答案为1．
分析: 根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根
19.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是_______，m的值是_______
答案：3|-4
解析：解答：设方程的另一个解是a，则1+a=-m，1×a=3，
解得：m=-4，a=3．
故答案是：3，-4
分析: 利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是-m，两个根的积是3，即可求解
20.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是__________
答案：m≤1
解析：解答：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，
∵方程有实数根，
∴△=22-4m≥0，解得m≤1．
故答案为：m≤1．
分析:本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键
三、解答题（共5题）
21.关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围
答案：m≤3且m≠2．
解析：解答: ∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
分析: 根据一元二次方程的根的判别式△的意义得到m-2≠0且△≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
22.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
答案: 3
解析：解答: 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
分析：根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
23.已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0．
（1）若-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．
答案：解答：
（1）把x=-1代入原方程得：1+m-2=0，
解得：m=1，
∴原方程为x2-x-2=0．
解得：x=-1或2，
∴方程另一个根是2；
（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由
答案：（2）∵△=b2-4ac=m2+8＞0，
∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根
解析：分析:（1）把x=-1代入原方程即可求出m的值，解方程进而求出方程的另一个根；
（2）由方程的判别式△=b2-4ac计算的结果和0比较大小即可知道方程根的情况
24.已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
答案：解答：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
答案：m=-4或m=-2．
解析：
（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2．
分析:（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
25.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
答案：解答：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
答案：当p=0，±1时
解析：解答：（1）原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解
分析:本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键
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