北师大版数学九年级上册第四章第6节《利用相似三角形测高》课时练习

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北师大版数学九年级上册第3章第6节利用相似三角形测高同步检测
一、选择题
1．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m．当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（　　）
A．2m
B．4m
C．4.5m
D．8m
答案：B
解析：解答：设长臂端点升高x米，
则，
∴x=4．
故选：B．
分析：栏杆长短臂在升降过程中，形成的两个三角形相似，利用对应边成比例求解．此题考查相似三角形在实际生活中的运用．
2．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC，则梯子的长为（　　）
A．3.5m
B．3.85m
C．4m
D．4.2m
答案：A
解析：解答：∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴（AB-0.5）：AB=1.2：1.4，
∴AB=3.5m．
∴梯子AB的长为3.5m．
故选：A．
分析：由已知条件△ADE∽△ABC，得相似三角形对应边成比例，代入数据进行解答．此题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出梯子AB的长．
3．某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（　　）
A．1.25m
B．10m
C．20m
D．8m
答案：C
解析：解答：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，
解得x=20．
即该旗杆的高度是20m．
故选C．
分析：设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，列出方程1.6：0.4=x：5，然后解方程求解．
4．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）
A．10米
B．12米
C．15米
D．22.5米
答案：A
解析：解答：∵
即，
∴楼高=10米．
故选：A．
分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，列方程求解．此题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．12m
B．10m
C．8m
D．7m
答案：A
解析：解答：如图，∵ED⊥AD BC⊥AC
∴ED∥BC
∴△AED∽△ABC
∴
而AD=8，AC=AD+CD=8+22=30，ED=3.2
∴BC==12（m）
∴旗杆的高为12m．
故选：A．
分析：要求旗杆的高度BC，可证△AED∽△ABC，根据对应线段成比例，列出方程进行求解．此题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
题型：单选题
6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
答案：B
解析：解答：由题意知：∠ABP=∠CDP=，∠APB=∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴，
∴CD==8（米）．
故选：B．
分析：由已知条件得△ABP∽△CDP，根据相似形的性质得，代入数据进行解答．此题综合考查了平面镜反射和相似三角形在测量中的应用．
7．一个油桶高0.8m，桶内有油，一根长lm的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则油桶内的油的高度是（　　）
A．0.8m
B．0.64m
C．1m
D．0.7m
答案：B
解析：解答：如图在矩形中，∠C=，BE=0.8，AB=1，AC=0.8，
由题意知，DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴
即
解得，CD=0.64m．
故选：B．
分析：油面和桶底是一组平行线，可构成相似三角形，画出图形，利用对应边成比例进行解答．此题利用了相似三角形的对应边成比例求解．
8．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到，若OA=0.2米，OB=40米，=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（　　）
A．3米
B．0.3米
C．0.03米
D．0.2米
答案：B
解析：解答：∵∥
∴OA：OB=：
∴
解得：=0.3米．
故选：B．
分析：由题意可知，准星和靶是平行的，把实际问题抽象到相似三角形中，根据两三角形相似的对应边成比例列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．
9．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（ ）
A．8cm
B．10cm
C．20cm
D．60cm
答案：A
解析：解答：∵DE∥AB
∴△ABC∽△DEC
∴CD：AC=DE：AB
∴40：60=DE：12
∴DE=8cm
故选：A．
分析：由已知条件可知△ABC∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程进行求解．
10．已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ）
A．2.7m
B．1.8m
C．0.9m
D．2.5m
答案：A
解析：解答：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即，
则，∴h=2.7m．
故选：A．
分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比相等列方程求解．
11．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
A．2.4m
B．24m
C．0.6m
D．6m
答案：D
解析：解答：作AN⊥EF于N，交BC于M，则AM⊥BC于M，
∵BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF==6m．
故选：D．
分析：先根据题意得出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，列方程求出电线杆EF的高．
12．如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（ ）
A．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高
B．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高
C．可以利用△ABC∽△EDB，来计算旗杆的高
D．需要测量出AB、BC和DB的长，才能计算出旗杆的高
答案：B
解析：解答：∵AC∥EB
∴△ACB∽△EBD
∴，
当AB、CD确定后，由于它二者不是对应边．
∴不能求出旗杆的高度．
故选：B．
分析：因为太阳光是平行的，构成两个相似三角形，△ACB∽△EBD，利用相似比相等进行判断．
13．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像的长是物AB长的（ ）
A．3倍
B．不知AB的长度，无法计算
C．
D．
答案：C
解析：解答：如图，作OM⊥AB，ON⊥，
∵AB∥，
∴△OAB∽△，
∴，
即，
∴=AB．
故选：C．
分析：由AB∥A′B′可知，△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的相似比等于对应边上高的比，列方程求解．
14．如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（ ）米．（不计宣传栏的厚度）
A．4
B．5
C．6
D．8
答案：C
解析：解答：如图，由图可知，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
又DE=10米，AF=3，FG=2米，
∴AG=AF+FG=5米
即，
解得BC=6米
故选：C．
分析：由题意得出，△ABC∽△ADE，利用对应边成比例列方程代入相应数数据求解．
15．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
A．3.04
B．4.45
C．4.75
D．3.8
答案：B
解析：解答：∵留在墙壁上的树影高为1.2m，
∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96（m），
∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56（m），
∴设这棵树的高度为xm,则，解得x=3.56÷0.8=4.45，
∴设这棵树的高度为4.45m．
故选：B．
分析：此题先求出这棵树全落在地面上时的影子的长，再根据在同一时刻物高与影长对应成比例列出方程，解方程求出这棵树的高度．
二、填空题
16．为测量池塘边两点A，B之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点O，使AC、BD交于点O，且CD∥AB．若测得OB：OD=3：2，CD=40米，则A，B两点之间的距离为 米．
答案：60
解析：解答：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∵CD=40米，
∴AB=60米．
故答案为：60．
分析：此题考查相似三角形的应用，将原题转化为相似三角形，根据相似三角形的性质解答，即可得出DE的宽．
17．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA=20cm，=50cm，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是
答案：4：25
解析：解答：∵三角尺与其影子相似，
∴这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是，
故答案为：4：25．
分析：由题意知三角尺与其影子相似，它们的面积比就等于相似比的平方计算即可．此题考查相似三角形的应用，注意相似三角形的面积比就等于相似比的平方．
18．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC= m．
答案：1.5
解析：解答：∵光是沿直线传播的，
∴BD∥AE，
∴△CBD∽△CAE，
∴，
即，
解得BC=1.5m．
故答案为：1.5．
分析：因为光是沿直线传播的，所以BD∥AE，得出△CBD∽△CAE，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解．
19．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第 张．
答案：10
解析：解答：过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，∠A=，AB=AC，BC=63cm，
∴AD=BD=BC=×63=cm．
设这张正方形纸条是从下往上数第n张，
∵则BnCn∥BC，
∴△ABnCn∽△ABC，
∴，即，
解得n=10．
故答案为：10．
分析：先求出△ABC的高，再根据截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比进行求解．解答此类题熟练掌握相似三角形性质：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
20．如图，路灯点O到地面的垂直距离为线段OP的长．小明站在路灯下点A处，AP=4米，他的身高AB为1.6米，同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，路灯到地面的距离 ．
答案：4.8米
解析：解答：由题意得PO∥AB，
∴∠POC=∠ABC，∠OPC=∠BAC
∴△ABC∽△POC
∴
即：
解得：PO=4.8米．
∴路灯到地面的距离为4.8米．
故答案为：4.8米．
分析：先根据PO∥AB得到ABC∽△POC，再利用相似三角形的对应边的比相等得到比例式，代入求解．
三、解答题
21．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为多少米（精确到0.1米）．
答案：5.6
解析：解答：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
∴，
∵CD=1.6米，DE=2.4米，BE=8.4米，
∴，
∴AB==5.6米．
∴树（AB）的高度约为5.6米．
分析：因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比列方程求出答案．
22．如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳（AD与BC相等）去量，若测得OA：OD=OB：OC=3：1，CD=5cm，你能求零件的壁厚x吗？
答案：0.5cm
解析：解答：∵OA：OD=OB：OC=3：1，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△BOA．
∴AB：CD=OA：OD=3：1．
∵CD=5cm，
∴AB=15cm．
∴2x+15=16．
∴x=0.5cm．
分析：此题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答．相似三角形对应边成比例；对应边成比例且夹角相等的三角形相似．
23．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，求树高AB．
答案：16.5m
解析：∵∠DEF=∠BCD=，∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理，得DE==40cm，
∴
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，
分析：先证直角三角形DEF和直角三角形DCB相似，再利用相似三角形的对应边成比例列方程求得BC的长，最后加上小明同学的身高求得树高AB．
24．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=10m，塔影长DE=20m，小惠和小岚的身高都是1.60m，同一时刻，小惠站在点E处，影子在坡面上，小岚站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别是2m和1m，试求塔高AB．
答案：24m
解析：解答：作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，可得矩形BDFG．
由题意得：
∴DF==16（m）；
∵GF=BD=CD=5（m），
同理可得：，
∴AG=1.6×5=8（m），
∴AB=16+8=24（m）．
∴铁塔的高度为24m．
分析：过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据同一时刻物高与影长的比相等分别求得AG，GB长，把它们相加即可求解．
25．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．
（1）小明距离路灯多远？
答案：12m
（2）求路灯高度．
答案：6m
解析：解答：（1）设DB=xm，
∵AB∥CD，
∴∠QBA=∠QDC，∠QAB=∠QCD，
∴△QAB∽△QCD
∴
同理可得
∵CD=EF
∴
∴
∴x=12
即小明距离路灯12m．
（2）由得
∴CD=6
即路灯高6m．
分析：（1）先由已知条件得△QAB∽△QCD，列出比例式，同理可得，根据CD=EF，把相关数值代入可得小明距离路灯多远；（2）根据（1）得到的比例式及数值，计算可得路灯高度．
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