北师大版数学九年级上册第四章第7节《相似三角形的性质》课时练习

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北师大版数学九年级上册第3章第7节相似三角形的性质同步检测
一、选择题
1．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：根据题意得，选项A中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；
选项B、C中，正方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；
选项D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例．
故选：D．
分析：此题考查相似多边形的性质及判定．即对应角相等，对应边成比例．
2．如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案：B
解析：解答：∵△RPQ∽△ABC
∴
即
∴△RPQ的高为6．
所以点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选：B．
分析：根据相似三角形的对应高的比等于相似比，代入数值求得结果．此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比．
3．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
答案：C
解析：解答：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
分析：由相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：4
B．2：1
C．1：2
D．4：1
答案：C
解析：解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，等于相似比的平方，周长的比等于相似比，
∴周长之比为=1：2．
故选：C．
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比得到答案．此题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
5．给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（　　）
A．1听
B．2听
C．3听
D．4听
答案：B
解析：解答：设小标牌的面积为S1，大标牌的面积为S2，
则，故S2=4S1，
∵小标牌用漆半听，
∴大标牌应用漆量为：4×0.5=2（听）．
故选：B．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答．此题考查的是相似多边形的性质：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
6．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（　　）
A．7.5
B．6
C．5或6
D．5或6或7.5
答案：D
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，
如果2与4是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：4，即
△DEF的周长：（4+5+6）=2：4，
∴△DEF的周长为7.5；
如果2与5是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：5，即
△DEF的周长：（4+5+6）=2：5，
∴△DEF的周长为6；
如果2与6是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：6，即
△DEF的周长：（4+5+6）=2：6，
∴△DEF的周长5．
故选：D．
分析：根据相似三角形的周长的比等于相似比，求得相似比即可求解．因为2的对应边有可能为4，5，6，所以有三个答案．此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．解此题时要注意对应边不确定，即相似比不确定，容易漏解．
7．如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（　　）
A．4：5
B．16：25
C．196：225
D．256：625
答案：D
解析：解答：根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
∴
它们的面积比为256:625．
故选：D．
分析：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即面积的比等于对应角平分线的比的平方．
8．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm
B．60cm，100cm
C．75cm，115cm
D．85cm，125cm
答案：C
解析：解答：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．
故选：C．
分析：根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长． 此题考查相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比．
9．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（　　）
A．17
B．19
C．21
D．24
答案：D
解析：解答：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，
根据相似三角形的三边对应成比例，得
，
∴x=9，y=15，
∴x+y=24．
故选：D．
分析：根据相似三角形的性质三边对应成比例进行解答．此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的三边对应成比例．解答此类时，关键是对应边要找准．寻找对应边的一般方法有：最长边是对应边，最短边是对应边；对应角所对的边是对应边．
10．若△ABC∽△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
答案：C
解析：解答：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=70°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=70°．
故选：C．
分析：由于∠A=50°，∠B=60°，在△ABC中，利用三角形内角和等于180°求出∠C，再由△ABC∽△DEF，对应角相等，可知∠F=∠C．解题的关键能找出相似三角形的对应顶点．
11．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：解答：∵△ABC∽△ADE，
∴．
故选：D．
分析：由△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．掌握相似三角形的对应边成比例性质是解答此题的关键．
12．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　　）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
答案：C
解析：解答：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等可知得到的三角形是直角三角形．
故选：C．
分析：根据三组对应边的比相等的三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解．此题主要考查相似三角形的判定及性质．
13．△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（　　）
A．
B．
C．或
D．
答案：A
解析：解答：∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为，
△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，
∴△ABC与△A2B2C2的相似比为．
故选：A．
分析：利用两组相似三角形的相似比，进行转化求得答案，实际上相乘即可．此题考查了相似三角形的传递性．
14．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（ ）
A．
B．10
C．或10
D．以上答案都不对
答案：C
解析：解答：如图：
（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC
则AE =AC=10
（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC
∴，即
AE=
综合（1），（2），故选：C．
分析：若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，△AED∽△ABC，应分类讨论求解．
15．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．3：2
答案：B
解析：解答：∵AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=3．
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=1：3．
∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．
故选：B．
分析：根据相似三角形的相似比等于对应边的比求解．此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比．
二、填空题
16．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为______ ．
答案：2：3
解析：解答：因为S△ABC：S△DEF=4：9=，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
分析：根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得出结果．此题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，也不能忽视面积比与相似比的关系．
17．已知△ABC与△的相似比为2：3，△与△的相似比为3：5，那么△ABC与△的相似比为
答案：2：5
解析：解答：∵△ABC与△的相似比为2：3，△与△的相似比为3：5，
∴AB：=2：3，：=3：5，
设AB=2x，则=3x， =5x，
∴AB：=2：5，
∴△ABC与△的相似比为2：5．
故答案为：2：5．
分析：先根据相似三角形的相似比写出对应边的比，再计算出AB与的比值，就是所求两个三角形的相似比．此题利用了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
18．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是
答案：5和20
解析：解答：多边形的面积的比是：，设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．
根据题意得：x+4x=25
解得x=5．
因而这两个多边形的面积分别是5和20．
故答案为：5和20．
分析：根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，可求得面积的比值，根据题意面积和为25，可求得两个多边形的面积．此题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
19．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8，则△DEF中EF边上的中线DN=
答案：6
解析：解答：∵△ABC∽△DEF，相似比为4：3，
∴△ABC中BC边上的中线：△DEF中EF边上的中线=4：3，
∵△ABC中BC边上的中线AM=8，
∴△DEF中EF边上的中线DN=6．
故答案为：6．
分析：因为△ABC∽△DEF，相似比为4：3，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，进行求解．解答此类题熟练掌握相似三角形性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
20．两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度．
答案：80｜40
解析：解答：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．
故答案为：80，40．
分析：由一个三角形的两个内角是40°、60°，根据三角形的内角各等于180°，求得第三个内角的度数，又由两个三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可求得答案．解答此题的关键是注意相似三角形的对应角相等．
三、解答题
21．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．
（1）求AB的长；
答案：3
（2）求CD的长；
答案：
（3）求∠BAD的大小．
答案：153°
解析：解答：△ABC∽△DAC
∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°
，
又AD=2，AC=4，BC=6，
∴AB=3，CD=．
∠BAD=∠DAC+∠BAC=36°+117°=153°．
∴（1）AB的长是3；（2）CD的长是；（3）∠BAD是153°．
分析：根据相似三角形的对应角相等求出∠DAC和∠BAC的度数，然后根据列出的比例式、已知边的长求出边AB和CD的长，最后根据相似三角形对应角相等，求出∠BAD的大小．
22．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．
答案：
解析：解答：：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=8，
∴BE==10
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得EF=．
分析：根据勾股定理先求出BE的长，再根据相似三角形的对应边成比例求出EF的长．此题考查的是相似三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
23．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
答案：
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
答案：
解析：解答：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴，
∵MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴，
∴由AB=4得，AD=；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为．
分析：（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，可以求出AD的长；（2）相似比就是对应边的比．此题考查相似多边形的性质，对应边的比相等．
24．已知：如图，△ABC∽△ADE，AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
答案：95°
（2）求DE的长．
答案：cm
解析：解答：（1）在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°；
（2）∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE，BC=6cm，
∴，即
∴DE=cm．
分析：（1）先由三角形的内角和是180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠ABC，最后由等量代换求得∠ADE的大小；（2）由AE：EC=5：3求得AE：AC=5：8，再根据相似三角形的对应边成比例求得DE的长度．此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为l单位/秒，问两动点同时出发，移动多少时间时，△PQA与△ABC相似？
答案：秒|秒
解析：解答：设运动时间为t秒，
则AP=2t，AQ=AC-CQ=6-t，
（1）若△PQA∽△CBA，
则：AP：AQ=AC：AB，
∴，
∴8t=3（6-t），
∴t=
（2）若△PQA∽△BCA，
∴AP：AQ=AB：AC，
∴，
∴6t=4（6-t），
∴t=
∴两动点同时移动秒或秒时，△PQA与△BCA相似．
分析：首先设运动时间为t秒，则AP=2t，AQ=AC-CQ=6-t，然后分△PQA∽△CBA与△PQA∽△BCA两种情况分析，根据相似三角形的对应边成比例，列方程求得答案．解答此题注意运用数形结合思想、分类讨论思想与方程思想．
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