22.1二次函数的图象与性质培优训练（无答案）人教版2024—2025学年九年级上册

22.1二次函数的图象与性质培优训练人教版2024—2025学年九年级上册
本章知识结构图
二、典例精析
考点1：二次函数的图像与性质
【例1】下列函数中，是二次函数的是（　 　）
A． B． C． D．
【变式】已知函数是二次函数，则的取值范围为_______________.
【例2】抛物线y＝5（x﹣6）2﹣2的顶点坐标是（　 　）
A．（6，2） B．（6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
【变式】用配方法将二次函数y＝2x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
【例3】将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是___________________________.
【变式】将抛物线y＝x2﹣4x+5进行以下平移，平移后的抛物线顶点恰好落在坐标轴上的是（　 　）
向左平移3个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【例4】抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（　 　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小
【变式】已知点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣2x+m图象上的三个点，比较y1、y2、y3的大小关系为_______________________.
【例5】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
B． C． D．
【变式1】已知一次函数y＝bx﹣c与二次函数y＝ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【例6】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0
B．a﹣b＝0
C．3a﹣c＝0
D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）
【变式1】已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣＞0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　）
①② B．①③
C．②③ D．①②③
【例7】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），当0≤x≤m时，3﹣a≤y≤3，则m的取值范围为（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2
【变式1】（1）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤5 C．m＞5 D．2≤m≤5
（2）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B．或 C．或或 D．或或或
（3）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【变式2】已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
【变式3】已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
【例7】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 40 …
则二次函数的解析式为　 　．
【变式】（1）若某二次函数图象的形状、开口方向与抛物线y＝3x2相同，且其顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为　 　．
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点，则这条抛物线解析式是　 　．
（3）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
达标作业
1．若抛物线y＝（a﹣1）x2﹣a2+1＝0经过原点，则a的值是（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
2．二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）图象上有三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
3．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3+x+1
4．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与x轴有两个交点 B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．开口向下 D．与y轴交点坐标为（0，3）
5．表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：那么方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
6．已知二次函数y＝﹣x2+（n+2）x+m，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，则n的取值范围是（　　）
A．n＝﹣6 B．n≤﹣6 C．n≥﹣6 D．n＞﹣6
7．如图，二次函数y＝a（x+1）2+4的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　）
第7题图 第8题图 第11题图
A．a＜0 B．方程a（x+1）2+4＝3有两个不相等的实根
C．点B的坐标为（1，0） D．当 x＜0时，y随x的增大而增大
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0； ②2a﹣b＝0； ③9a+3b+c＞0； ④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
10．当m≤x≤m+2时，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的最小值为﹣2，则m满足的条件为（　　）
A．m＝4或﹣2或0≤m≤2 B．m＝﹣4或2或﹣2≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣2或0≤m≤2 D．m＝4或2或﹣2≤m≤0
11．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；则大小关系是　 　．
12.已知是y关于x的二次函数，m＝ 　 　．
13．将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝　 ．
14．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 　 　．
15．二次函数y＝3（x+2）2+1的图象的顶点坐标是 　 　．
16．二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）的对称轴是直线 　 　．
17．抛物线y＝3x2与直线y＝x+m的一个交点是（1，b），另一个交点为 　 　．
18．把二次函数y＝x2+bx+3由一般式化成顶点式为y＝（x+2）2+k，则k的值为　 　．
19．抛物线y＝4（x﹣3）2+7的对称轴是　 　．
20．用配方法将二次函数化成的形式是　 　．
21．已知，点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的图象上，则的大小关系是　 　．
22.已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
23.已知抛物线G的顶点为（﹣3，﹣2），且经过（﹣4，﹣1）．求抛物线G的表达式；
24.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（﹣1，5），求a的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设点S（s，y1），T（t，y2）是抛物线上两个不同点，且s+t＝2，求y1+y2的取值范围．
25.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．