23.2中心对称讲义和同步练习（无答案）人教版2024—2025学年九年级上册

23.2中心对称讲义和同步练习人教版2024—2025学年九年级上册
【知识梳理】
一、中心对称：像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
二、中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等形。
3、作中心对称和图形的一般步骤
（1）确定“代表性的点”；
（2）作出每个代表性的点的对应点；
（3）顺次连结。
三、中心对称图形
1、中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。
2、中心对称图形的识别
常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。
3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系
区别：
（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
（2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。
（3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。
联系：
两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。
4、中心对称图形和轴对称图形的关系
（1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点；
（2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。
（3）轴对称图形是翻转180°与自身重合，而中心对称图形是旋转180°与自身重合。
【例题讲解】
例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．
例2.如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．
例3.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
【能力提升】
倍长中线法
例1：已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围.
例2：已知：如图，Rt ABC中，∠ACB=90°， D为AB中点，DE、DF分别交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．
例3:(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB>AC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF，并说明理由.
（2）在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE=CF的结论 仍然成立，请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明.
例4：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠ADB＝ ∠ADC，
求证： ∠DBC＝ ∠DCB.
【挑战自我】
1.如图，O是正△ABC内一点，OA =3，OB =4， OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，
（1）求点与的距离
（2）求的度数
（3）求的面积．
中心对称同步练习
基础巩固
1.下面的每组数中，两个数字成中心对称的是 (　　)
　　 A　　　　 B　　 　 C　　　　 D　
2．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，有下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则图中关于点O对称的三角形有________对．
4．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，作出它们的对称中心O.
如图5，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是
A(－3，1)，B(0，3)，C(0，1)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．
图5
能力提升
6.若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A、（3，﹣6） B、（﹣3，6） C、（﹣3，﹣6） D、（3，6）
7.如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转（ ）
A、8° B、10° C、12° D、18°
8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（ ）
A、60° B、75° C、85° D、90°
9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A、 B、 C、1﹣ D、1﹣
第7题 第8题 第9题
10.如图23 2 11，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
11.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．