(共26张PPT)
6.2.1 无理数和实数
第六章 实 数
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解无理数和实数的概念.
能够估算简单平方根无理数的大小，会将循环小数化为分数.
通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯.
通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.______和______统称为有理数.
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
整数
分数
正整数
分数
正整数
负整数
零
正分数
负分数
正有理数
负有理数
整数
正分数
负整数
负分数
复习回顾
2.将有理数按定义分类：
3.将有理数按大小分类：
有理数
零
有理数
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
如图，每个小正方形的边长均是1.
1
1
图中阴影正方形的面积是多少？
它的边长是多少？
面积是2.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
夹逼法
12=1, 22=4
1< <2
1.42=1.96, 1.52=2.25
1.4< <1.5
1.412=1.988 1, 1.422=2.016 4
1.41< <1.42
1.4142=1.999 396, 1.4152=2.002 225
1.414< <1.415
( )2=2
……
=1.414 213 562 373
…
无限不循环小数
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
你能估算出 的近似值吗？
整数或分数都可以看成 小数或 小数；
即：有理数都可以写成 小数或 小数的形式；
反过来，任何 小数或 小数都是有理数.
归纳
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
有限
无限循环
有限
无限循环
有限
无限循环
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
3.14159265…
=
=
=
π
=
把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
-2.23606796…
1.25992104…
1.41421356…
无限不循环小数
无限不循环小数又叫做无理数.
无理数也有正负之分.
有理数和无理数统称为实数.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
类比有理数分类，你知道实数按定义如何分类吗？
有理数
实数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
你能按数的大小将实数进行分类吗？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
按大小将实数进行分类：
正有理数
正实数
负实数
正无理数
零
实数
负有理数
负无理数
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
循环小数如何化为分数呢？
合作探究
纯循环小数
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9；分子则是一个循环节的数.如
混循环小数
每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9；
不循环的部分有几位数字，分母中9的后面就有几个0；
分子则是第一个循环节及它前面的数减去不循环的部分.如
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
巩固新知
应用新知
典型例题
把下列各数填入相应的大括号内：
有理数：{ }
无理数：{ }
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
1. 有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数
B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的
D．有理数是整数，无理数是分数
2.下列各数 ，其中有理数的个数有（ ）
A . 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
巩固练习
D
知识点1 无理数的概念
1. [2024长沙期末] 公元前5世纪左右，毕达哥拉斯学派认为
“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表
示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形
的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无
理数.下列各数中不是无理数的是( )
A
A. B. C. D.
返回
2. 下列数中：，，，，， ，
， （每两个1之间依次多1个0），
其中无理数的个数是( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
3.[2024宁波模拟] 写出一个大于2的无理数：______________
____.
（答案不唯一）
返回
4.[2024龙岩期中] 有一个数值转换器，原理如下图，若把实
数 代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最
终输出的数值是，则 _____.
256
返回
知识点2 实数的概念及分类
5. 下列说法正确的是( )
D
A. 正实数和负实数统称为实数
B. 正数、0和负数统称为有理数
C. 带根号的数和负数统称为实数
D. 无理数和有理数统称为实数
返回
6.把下列各数分别填入相应的集合中：
0，，，，， ， ，
（相邻两个3之间0的个数逐次加1），
，，， .
（1）整数集合：{_______________________________， ；
（2）正分数集合：{_________________， ；
0，，，，
，
（3）负有理数集合：{_ ___________________， ；
（4）无理数集合：{__________________________________
______________________________________， ；
（5）非负整数集合：{_______________， .
，，
， ，， （相邻两个3之间0的个数逐次加1）
0，，
返回
知识点3 无理数的估算
7. [2024资阳] 若，则整数 的值为( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. [2024安庆期末] 估计 的值应在( )
C
A. 3和4之间 B. 4和5之间
C. 5和6之间 D. 6和7之间
【点拨】因为 ，
所以.所以 .
所以估计 的值应在5和6之间.
返回
9. [2024成都校级月考] 若一个边长为 的正方形的面积为30，
则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为一个边长为 的正方形的面积为30，
所以.因为，所以 .
返回
10.（1）若，且是正整数，则 ___；
（2）已知，为两个连续的整数，且 ，则
的平方根为____.
3
【点拨】因为，即 ，且
，， 为两个连续的整数，
所以， .
所以 .
返回
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
实数的分类：按定义分类与按大小分类.
无理数：无限不循环小数叫做无理数．
实数
实数：有理数和无理数统称为实数．
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
完成教材上的课后习题
完成《点拨训练》上的习题
谢谢观看！(共29张PPT)
6.2.2 无理数和实数
第六章 实 数
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解实数与数轴的关系，理解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义．
理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．
在教学过程中通过渗透类比转化的思想，让学生意识到知识之间的紧密联系，体会数学的一致性.
通过师生共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程，激发学生探索数学的热情和兴趣.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
O'
OO'=圆的周长
=π
点O'对应的数是π
π
情境引入
每个无理数都可以用数轴上的点来表示吗？
O
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
你能把 和 在数轴上表示出来吗？
以原点为底边起点，画边长为单位1正方形，其对角线长即为
以原点为圆心，对角线长为半径画半圆
半圆与数轴的交点分别表示 和
边长为单位1正方形，其对角线长即为
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
实数
数轴上的点
一一对应
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
数轴上的每个点都表示一个实数
归纳
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
在数轴上作出表示下列各数的点.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
由数轴上各点的位置，你能比较它们的大小吗？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
与有理数一样，实数可以比较大小.
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
结论
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
的相反数是 ，
思考
有理数中相反数、倒数的意义适用于实数.
结论
合作探究
的倒数是 .
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
= ，
= ，
= .
思考
0
正实数的绝对值是它本身；
负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
a
a>0
0
a=0
–a
a<0
实数
结论
你能说说实数的绝对值的意义吗？
1. 的相反数是________，绝对值是________，倒数是________.
2. 绝对值等于 的数是________.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
有理数的相反数、倒数、绝对值等概念同样适用于实数，那么有理数的运算法则呢？
判断下列等式是否成立.
加法交换律
乘法交换律
乘法结合律
加法结合律
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
以上等式用了什么运算律？
这些运算律在实数范围内能使用吗？
成立
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
1. 可以进行加、减、乘、除、乘方运算；
2. 正数和零可以进行开平方运算；
3. 任何一个实数可以进行开立方运算.
有理数的运算法则及运算性质同样适用于实数.
与有理数一样，实数范围内：
结论
另外，在实数运算中，有时候需要用近似的有限小数代替无理数.如：
解
解
例1 近似计算：
(1) (精确到0.01) (2) (精确到0.1)
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
巩固新知
应用新知
典型例题
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
巩固新知
应用新知
典型例题
例2 在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“<”号连接它们.
解
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
由数轴上各点的位置，得
1. 下列四个数： 其中最小的数是( )
2. 下列各数中，互为相反数的是 ( )
3. 的值是( )
C
C
C
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
巩固练习
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
巩固练习
4. 计算(结果保留小数点后两位)：
(1) (2)
解
解
知识点1 实数与数轴上点的关系
1. [2024南充] 如图，数轴上表示 的点是( )
C
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
2. 如图，数轴上，两点表示的数分别为和 ，则
， 两点之间表示整数的点共有( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
知识点2 实数的性质及计算
3. 的绝对值是( )
B
A. B. C. D.
4. 的倒数是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 下列各组数中互为相反数的是( )
A. 5和 B. 和
C. 和 D. 和
B
6.对于两个实数，其中 ,定义一种新运算：
，如： ，那么
__.
返回
7.计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2）精确到 .
【解】原式
.
返回
知识点3 实数的大小比较
8. [2024德州] 在0，，， 这四个数中，最小的数是
( )
C
A. 0 B. C. D.
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9.[2024安徽] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖
冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：
___（填“ ”或“ ”）.
【点拨】因为， ，
，所以.所以 .
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易错点 对数轴上的点的距离表示与坐标的关系理解不
透而出错
10.数轴上点表示的数为1,点，分别位于点 的两侧，且
到点的距离相等.已知点到原点的距离为，则点 表示的
数是_______________.
或
【点拨】因为点到原点的距离为 ，
所以点表示的数是 .
当点在点 右侧时，
因为点表示的数为1，点表示的数为 ，
所以 .
因为点，到点 的距离相等，
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
实数的运算：
实数与数轴的关系：
实数与数轴上的点一一对应.
有理数的运算法则及运算性质同样适用于实数．
实数
实数的相反数、倒数、绝对值：
有理数关于相反数、倒数、绝对值的意义同样适用于实数．
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