人教A版高一下册数学必修第二册-第七章-复数 单元教学设计

人教A版高一下册数学必修第二册-第七章-复数-教学设计
复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用．本章通过方程求解，帮助学生理解引入复数的必要性，了解复数系的扩充过程；掌握复数的表示、运算及其几何意义，体会数系扩充过程中理性思维的作用．本章特别注重复数表示和运算的几何意义，强调形与数的融合．学生通过本章学习，可以提升数学运算、直观想象和逻辑推理等素养．
一、本章学习目标
1．复数的概念
(1)通过方程的解，认识复数．
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
2．复数的运算
掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
3*．复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
二、本章知识结构框图
三、内容安排
复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，在保持实数系的运算律的前提下，没有比复数系更大的数系了．本章充分考虑学生已有的数系扩充经验，类比从有理数系扩充到实数系的过程，强调扩充后的数系与实数系中的运算协调一致，且保持运算律不变；类比实数的表示和运算，研究复数的表示和运算，强调复数的表示和运算的几何意义．
“7.1复数的概念”从解方程的角度引发数系扩充的必要性，并引入虚数单位i；进而类比由有理数集扩充到实数集的过程，从可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充成复数集．复数本质上是一对有序实数，因此复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这就是复数的两种几何意义．本节内容是整章的基础知识，具有奠基性作用，侧重提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
“7.2复数的四则运算”讨论复数集中的四则运算问题，即研究复数的加、减、乘、除运算，其中加法、乘法运算是核心，减法、除法运算分别是它们的逆运算．除此之外，还讨论了复数加法、减法运算的几何意义．本节侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．
“7.3*复数的三角表示”从复数的向量表示出发，结合三角函数知识，得到复数的另一种重要表示形式——三角表示，进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．复数乘、除运算的三角表示形式简洁，在很多情况下可以简化复数的乘、除运算；其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此利用它们可以方便地解决很多平面向量和平面几何问题．本节侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中的运算及运算律；另外，数系的扩充过程也很关键．因此，本章的重点是：数系的扩充过程，复数的代数形式及其几何意义，复数的加、减、乘、除四则运算，复数加、减运算的几何意义．需要特别指出的是，复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，这种形式在复数体系中乃至整个数学中具有极为重要的地位，但鉴于《标准（2017年版）》将其定位为选学内容，不作为考试要求，因此不将它作为本章的教学重点．但我们建议一旦选学复数的三角表示，也应将复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义列为本章的教学重点．
由于学生既不太了解数系扩充的“规则”，也不适应复数代数形式是两项和，因而复数的引入是本章的一个难点．借助已学的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，梳理其扩充过程中体现的“规则”，在这些“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充是突破这个难点的关键．复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，因此复数的三角表示也是本章的一个难点．充分注意复数本质上是一对有序实数，进而从复数的向量表示出发，并突出复数与向量、三角函数以及几何之间的联系，是突破这个难点的关键．
四、课时安排
本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
7.1复数的概念 约2课时
7.2复数的四则运算 约2课时
7.3*复数的三角表示 约2课时
小结 约2课时
五、本章编写思考
1．注意在“规则”的引导下扩充数系
扩充数系不能盲目进行，必须有一定之规．在义务教育阶段，学生经历了将数系从自然数系逐步扩充到实数系的系列过程，但当时考虑到学生在义务教育阶段的认知基础和认知能力，并未强调数系扩充中的一些“规则”，因而他们对数系扩充“规则”的认识比较肤浅，甚至不甚了解．因此，本章特别注意引导学生梳理已学的从自然数系逐步扩充到实数系的过程与方法，尤其是注重梳理从有理数系扩充到实数系时体现的“规则”，即：数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律；进而类比从有理数系扩充到实数系的过程和方法，从使得方程有解的想法出发，利用这些“规则”，对实数系进行进一步扩充，引入复数及其四则运算，将实数系扩充到复数系．通过这个过程体现数系扩充过程中理性思维的作用，提升学生的逻辑推理素养．
2．结合解方程，初步体现复数的来龙去脉
复数的引入与解方程密切相关，复数本身也应用于解方程中，所以教科书努力较为完整地体现这两个方面．
首先，教科书以解方程为切入点，重点讨论实系数一元二次方程，并将其化归为方程，进而扩大实数集、引入复数，使得方程有解，体现数系扩充的必要性．
进而，在研究复数的四则运算、完成复数系扩充后，限于已有的复数基础，教科书采用“混而不错”的方式，默认一元二次方程及其一般形式的根不能超过两个这个直观事实，从特殊到一般，在复数范围内“解”实系数一元二次方程，给出求根公式：
当时，；
当时，；
从而“彻底地”解决了实系数一元二次方程的求解问题．
进一步地，教科书通过一个阅读材料，介绍一般的复系数一元多项式方程的解．给出代数基本定理，这实际上就是点出复数系是代数闭域，从解方程的角度进一步凸显出复数系的重要价值．
总之，教科书通过“完整地”介绍解方程的过程，让学生从一个侧面对复数的来龙去脉有个初步了解，有助于他们加深对引入复数的必要性和重要性的理解，也提升了他们学习复数的兴趣．
3．突出复数的表示和运算的几何意义，体现形与数的融合
突出复数的表示和运算的几何意义，即从几何的角度认识、理解复数及其运算，是贯穿本章的一条主线．
在引入复数的代数形式时，教科书从复数本质上是一对有序实数对出发，基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标，得到复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的；基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，得到复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在引入复数的三角形式时，教科书从复数的向量表示出发，特别注意形与数的融合．具体地，重点引导学生思考如下问题：
如图7－1，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定．我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
进而从几何的角度得出“向量的大小可以用模来刻画”“借助以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ)为终边的角来刻画的方向”，再利用三角函数知识，用向量的模和角来表示复数，得到复数的三角形式．
从复数的运算看，复数代数形式的加、减运算的几何意义，就是相应平面向量的加、减运算；复数乘、除运算的三角形式的几何意义，就是平面向量的旋转、伸缩，具体地：由
引导学生得到，两个复数，相乘时，可以像图7－2那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果，就要把向量绕点O按顺时针方向旋转角)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
复数的代数表示、三角表示及其运算都具有明显的几何意义，注重在本章的所有关键点上强化数形结合，有助于学生深刻地认识、理解复数的表示与运算，提升他们的直观想象素养．
4．加强复数与相关知识的联系
“联系性”是本章的一条思想方法主线，本章把加强复数与实数、多项式、平面向量、三角函数之间的联系贯穿始终．
本章注意复数与实数的联系，复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系，注意复数及其代数形式的加、减运算与平面向量及其加、减运算的联系，并特别强调复数的三角形式及其乘、除运算与平面向量、三角函数的联系．例如，教科书在给出复数的加法法则后，指出其与多项式加法、向量加法的联系：
“两个复数相加，类似于两个多项式相加”
“复数的加法可以按照向量的加法来进行”．
在给出复数的乘法法则后，指出其与多项式乘法的联系：
“可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成，并且把实部与虚部分别合并即可”．
本章中，复数与相关领域知识之间的联系可以用以下框图直观表示：
六、本章教学建议
1．适当介绍历史史实，让学生感受理性精神
在数学史上，发现复数问题始于古希腊丢番图时代人们求解一元二次方程，但人们一直不承认复数，到1545年，意大利数学家卡尔丹在他出版的《重要的艺术》中，求解某些一元三次方程时再也无法回避虚数问题，这才迫使人们认真对待复数，直到18世纪末韦塞尔给出复数的几何表示，人们才开始逐渐接受复数．教学中可以参考这些数学史实，并根据学生的认知基础，采用适当的方式，介绍实系数一元三次方程的求根公式，以及用求根公式和因式分解两种方法，求解一些特殊的实系数一元三次方程，以引起学生的认知冲突，引入复数．例如，求解，可以利用一元三次方程的求根公式得到它的三个根或；也可以利用因式分解法，将原方程化为，从而得到方程的三个根，，，于是，从而应该是有意义的．但是，在初中阶段学生已经知道负数不能开平方，这样就引起了学生的认知冲突，为“自然地”引入复数作好了铺垫．
通过这样的教学过程，让学生了解历史上引入复数的漫长而曲折的过程，感受这个过程中数学家的丰富、深邃的想象力和创造力，以及不屈不挠、精益求精的精神，进而更加深刻地体会引入复数的必要性以及数学中理性精神的光辉．
2．加强运算训练，提升学生的数学运算素养
“运算”是贯穿本章的一条主线．复数属于代数领域，与中学阶段的其他代数内容一样，它肩负着培养学生的运算能力的重任．本章中的运算主要包括复数代数表示式的四则运算、复数三角形式与代数形式的互化以及复数三角形式的乘除运算等，教学时应加强这些运算的训练，不断提升学生的数学运算素养．
3．数系扩充时应注意适度体现“规则”
在将实数系扩充到复数系的过程中，教师应了解扩充数系的“规则”既具有一般性，同时又有一定的局限性．
一方面，在从自然数系逐步扩充到复数系的过程中，每次扩充数系时，新数系中的加法、乘法运算与原数系中的相应运算相容，并保持运算律，它们是这些扩充数系过程中的共性规律——扩充数系的“规则”．
另一方面，上述扩充数系的“规则”有着一定的局限性．一是，新数系中的加法、乘法运算各自都具有不同于原数系中相应运算的一些特征，并且每次扩充时的特征也不尽相同．例如，把整数系扩充到有理数系时，有理数系中两个分数（将整数看成是分母为1的分数）的加法运算是：同分母分数相加，分母不变，把分子相加；异分母分数相加，先通分，化为同分母的分数，再相加；而整数系中两个整数相加就是“累积计数”．可见，有理数系和整数系中的加法运算特征不尽相同．而把有理数系扩充到实数系时，实数系中两个不全是有理数的加法运算就是“合并同类项”，也就是说，实数系和有理数系中的加法运算特征也不尽相同．并且，上述两次数系扩充中加法“新增的”的特征也不相同．二是，按照从自然数系逐步扩充到复数系的“规则”，就无法继续扩充复数系了，要继续扩充复数系，必须对“规则”进行适当限制．例如，将复数系扩充为四元数域①时，就要放弃实数系中乘法运算的交换律．因此，扩充数系的“规则”具有一定的局限性．
教学中，既要考虑数系扩充“规则”在中学阶段的普适性，充分重视在“规则”的引导下将实数系扩充到复数系；同时又要注意其局限性，把握好体现“规则”的度，切不可盲目地一般化．应避免将中学阶段扩充数系的“规则”拔高为“公理”．
4．把握好复数的三角表示的教学要求
《标准（2017年版）》将复数的三角表示定位为选学内容，但同时和必修课程中的其他内容一样也为其设置了足够的课时．再考虑到复数的三角表示架起了复数、向量和三角函数联系的桥梁，既可以简化某些复数的乘、除运算，又可以方便地解决很多平面向量、平面几何及三角公式的推导问题．因此从重要性和教学的可行性出发，建议按必修内容对待复数的三角表示，力争所有学生都必选．教学中应在加强复数与代数、向量、三角和几何的联系性上发力，使得学生通过复数的三角表示的学习，在直观想象、逻辑推理和数学运算素养方面得到真正提升．