人教A版高一下册数学选择性必修第三册6.2.2排列数 教学设计（表格式）

人教A版高一下册数学必修第二册6.2.2排列数教学设计
课题 6.2.2 排列数
课型 新授课 课时 2课时
学习目标 1..能在排列的基础上给出排列数的定义和表示，并能区分排列与排列数. 2.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，发展学生的数学推理与数学运算素养.
学习重点 排列数公式.
学习难点 排列数公式的探究及排列应用中 “顺序”的确定.
学情分析 1.学情分析： 这一节课之前，已经掌握了分类加法计数原理与分步乘法计数原理以及排列的概念。本节课将在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，将所求排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算和数学建模等素养. 为了激发学生的学习兴趣，教师可以通过引入生活中的排列问题，如座位排列、运动会项目安排等，让学生认识到排列知识在实际生活中的重要性。同时，教师需要注重公式推导过程的教学，让学生理解排列数公式的来源，并通过大量练习巩固公式应用。 在教学设计中，教师还可以设计一些生活化的实际问题，让学生在解决具体问题的过程中，逐步构建排列模型，培养其数学建模能力。通过反复练习和巩固，学生能够更好地掌握排列与排列数的知识，提高数学应用意识和问题解决能力。
核心知识 排列数的公式及应用
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
环节一 创设情境，引入课题 环节一 创设情境，引入概念 问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？ 师生活动：（1）为了便于表达和计算排列个数，教师可以先给出排列数的定义和表示： 排列数的定义：把从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示. 追问1 你能用排列数符号表示上节课中的问题1和问题2吗？ 师生活动 学生独立完成，教师适当指导. “从3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，这个排列数可以记为. “从1，2，3，4这4个数字中取出3个数字排成一个三位数”的排列个数可以记为. 追问2 对排列数表达式中的，任意赋值，你能用文字语言解释它的含义吗？ 追问3 “从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列”与“从个不同元素中取出个元素的排列数”是同一回事吗？ 师生活动 学生独立思考回答，教师归纳总结. 排列与排列数的区别：排列是指从个不同元素中取出个元素排成一列的具体排法，它不是数；排列数是指从个不同元素中取出个元素排成一列的所有排列的个数. 环节二 类比探究，获得公式 引导语 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷地求出排列个数，也即从个不同元素中取出）个元素的排列数是多少？ 问题2 上节课问题1、问题2中我们用“边取边排”的思路得到， 你能类比这样的思路求出与吗？ 师生活动 学生独立思考回答，教师指导并归纳总结. 学生通过分析回答如下： 问题1可以分两步完成，即先从3名同学中先选1名参加上午的活动，再从剩下的2名中选1名参加下午的活动，于是“从3名同学中选取2名同学”的排列数为; 问题2可以分三步完成，即先从4个不同数字中选取1个数字放在百位上，再从剩余的3个数字中选取1个数字放在十位上，最后从剩余的2个数字中选取1个放在个位上，于是“从4个不同数字中选3个数字”的排列数为. 类似地，假定有排好顺序的两个空位，从个不同元素中取出2个元素去填空，排列数的计算可分2步完成，即先从个不同元素中取出1个元素排在第1个位置，有种选法，再从余下的个不同元素中取出1个元素排在第2个位置，有种选法，如图6.2-2所示. 因此，.同样的方法也可以得到. 追问 你能类比与的求法，求出排列数吗？ 师生活动 学生独立思考并交流，教师抽取学生回答并正确引导.类比与的求法，假设有排好顺序的个空位，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每种填法就得到一个排列，填空分步完成，如图6.2-3所示，所有不同填法的种数就是排列数. 由分步乘法计数原理，个空位的填法种数为. 从而得到排列数公式： . 环节三 观察计算，辨析公式 问题3 观察排列数公式结构，回答下列问题： （1）观察公式的右边，有什么特点？共有几个因数？ （2）比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？ （3）若时，的表达式有什么特点？ 师生活动 学生独立思考，然后开展小组交流，推荐代表全班展示，教师引导学生评价. 学生思考回答出公式的右边共有个因数，是从开始每项依次减1的个因数的连乘积；由于是从元素总数中取出的元素数，因此，最后一个因式是，而不是.若时，，是从1到的连续自然数乘积，这就是的全排列. 全排列：一般地，从个不同元素中取出个元素排成一列叫做个不同元素的全排列，记作，根据排列数公式. 阶乘：我们把叫做的阶乘，记作.根据全排列数计算公式有，规定. 环节四 辨析理解 深化概念 例3 计算：（1）； （2）； （3）； （4）； 师生活动 学生独立计算，相互检查订正. 根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）. 追问1 观察例3的运算结果，你有什么发现？你能把你的发现推广到一般情况吗？ 师生活动 教师引导学生观察发现：（1）；同理，（2），即；然后教师启发学生将它推广到一般情况：. 具体证明如下： 追问2 在中，当时，分子、分母分别是什么？根据这种特殊情况，你能理解“规定”的意义吗？ 学生思考发现，当时，分母是，分子是，为了让公式的表示和运算有意义，规定. 环节五 综合应用，理解巩固 例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 师生活动 通过下述问题引导学生独立思考后，先分组讨论，再交流分享，最后教师总结点评. （1）这是一个排列问题吗？ （2）这里有特殊的元素和特殊的位置吗？如果有，你在完成这件事情时怎么处理这些特殊的元素和特殊的位置？ （3）对于这件事情的完成，你有哪些不同的完成方式？ 学生分析与思路分享： 这是一个含排列的复杂问题，在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素，百位是特殊位置.一般地，我们可以从特殊元素或者特殊位置入手来考虑问题. 思路1：特殊位置优先法.在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此百位是一个特殊的位置.我们从特殊位置入手，先从1~9这9个数字中取出1个排在这个位置，再从剩下的其他9个数字中选2个排在其他两个位置，如图6.2-4所示.根据分步乘法计数原理，得到所求三位数的个数为. 思路2：特殊元素优先法.以“0”这一特殊元素为讨论标准，分三种情况：第一类，每一位数字都不是0的三位数；第2类，个位上的数字是0的三位数；第3类，十位上的数字是0的三位数，如图6.2-5所示.根据分类加法计数原理，得到所求三位数的个数为 . 思路3：间接法.即用不考虑百位数对0的限制的排列数减去0在百位数的排列数，即所求三位数的 个数为. 追问 比较本题和教科书第9页例8的解答，你对用排列数公式计数有什么体会？ 师生活动 学生思考并在组内交流，教师抽取学生展示，并引导得到：对于一些较为综合的计数问题，要清楚“是完成什么事情”，怎么确定完成事情的顺序，其中特殊位置、特殊元素分析法以及间接法是常见的处理策略.从上述问题的解答过程中还可以看到，采用排列数公式解这类特殊的计数问题比用原来的计数原理来得更为简便和快捷. 二、排队问题 命题角度1　“相邻”与“不相邻”问题 例5－1　3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻． 解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法， 女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法， 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法． (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有A·A＝720(种)不同的排法． (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法． (4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法． 命题角度2　定序问题 例5－2　7人站成一排． (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？ 解　(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法． (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.故有＝840(种)不同的排法． 命题角度3　元素的“在”与“不在”问题 例5－3　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题． (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解　(1)方法一　把元素作为研究对象． 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法． 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法． 由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法． 方法二　把位置作为研究对象． 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2 160(种)排法． 方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)． (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置． 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 800(种)方法． (3)把位置作为研究对象． 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法． (4)间接法． 总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法． 反思感悟　排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题． (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列． (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中． (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数． (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决． 跟踪训练　三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解　(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法． (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法． (3)方法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法． 方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法． 方法三　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法． (4)方法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法． 方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法． 环节五 归纳总结 反思提升 问题 回顾本节课所学内容，并回答下列问题： （1）排列数中各个符号的含义是什么？ （2）排列数公式是如何推导的？ （4）你能总结本节课的知识结构吗？ 师生活动 学生根据问题总结交流、相互补充，教师总结完善. （1）是选取范围的元素总个数，是需要选出的元素个数，是先选取后排列的总个数，使用它可以简化书写和运算流程. （2）从个不同元素中取出个元素排成一列，可以分步完成：第1步，从个不同元素中取出1个排在第1个位置；第2步，从剩下的个不同元素中取出1个排在第2个位置；……第步，从剩下的个不同元素中取出1个排在第个位置.根据分步乘法计数原理，得到. （4）本节课的知识结构如图6.2-6所示. 通过对问题1的思考给出排列数的概念与表示，进而借助追问1、2理解排列数符号表达各部分的含义，在追问3的基础上辨析排列与排列数的区别，从而体会符号表达的简洁性和抽象化. 从简单的两个排列数与好的计算入手，类比推广，建立“填空方式”计算排列数与，最后找到任意一个一般的排列数的算法公式，让学生经历从特殊到一般的推广过程，体会程序化思维，发展学生的数学推理素养. 通过观察辨析公式，把握公式特点，加深对公式的理解与记忆. 通过例3，强化学生运用公式计算排列数的技能，同时为追问做准备. 通过追问，引导学生观察发现计算中的规律，并自然地推广到一般情况，从而得到排列数式的另一基本形式，并认识到规定的合理性. 通过对例4、例5-1、例5-2、例5-3的多种解法呈现，让学生了解解决排列问题的一般方法，熟悉排列数公式在实际问题中的应用，体会排列数符号和公式带来的便捷. 通过上述问题的回答，明确排列数的概念和排列数公式的推导，并总结解决排列问题的一般方法，形成本节课的学习结构，为组合数的学习做好铺垫.
板书设计 6.2.1 排列数 1、排列数的定义 例3 2.排列数公式 例4
作业设计 作业：配套辅导资料对应的《排列数》.
教学反思 本节课在导入环节，我通过情境引入，激发学生的求知欲.在教学实施过程中，我采用了多种教学法，关注学生的反馈，及时调整教学策略，确保学生掌握知识点.在例题讲解环节，我引导学生学会分析，寻找解决问题的突破口.本次教学达到了预期的教学目标，学生在课堂上的参与度较高，课堂效果较好，我将不断调整，努力提升自己的教学水平.