(共21张PPT)
8.2.1整式乘法
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握单项式乘单项式的法则，并能运用它进行运算；
2.掌握单项式的加、减、乘、乘方等较简单的混合运算，并能灵活运用运算律简化计算；
3.经历探索单项式乘单项式的运算法则的过程，通过类比学习，使学生感受运算律是运算的通性，是获得运算法则的基础，感受转化思想和方法；
4.让学生主动参与到探索过程中，培养学生有条理地思考和表达能力.
知识与技能目标
学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。
能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。
过程与方法目标
通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。
体会从特殊到一般，
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
问题
光的速度大约是3 105 km/s，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年才能到达地球，1年以3 107 s计算，试问地球与这颗恒星的距离约为多少千米？
(3 105) (4 3 107)
如何计算？
有理数的乘法
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
(3 105) (4 3 107)
(3 4 3) (105 107)
36 1012
3.6 1013 (km)
乘法交换律、结合律
同底数幂的乘法
把底数10换成字母c, 原式变为：3c5·4 3c7
单项式乘单项式
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
3c5·4 3c7
(3 4 3)·(c5·c7)
36c12
乘法交换律、结合律
同底数幂的乘法
你能类比计算(3 105) (4 3 107)的方法计算3c5·4 3c7吗？
有理数的运算律和运算性质在整式运算中仍然适用.
数式通性
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
你能用语言描述单项式乘以单项式的计算过程吗？
3c5·4 3c2 (3 4 3)·(c5·c7)
15c12
系数与系数相乘
同底数幂相乘
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
如果把3c5·4 3c7中各项系数也换为字母，又该如何计算？
bc5·abc7
15ab2c7
系数与系数相乘
同底数幂相乘
a
·(b·b)
·(c5·c7)
只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.
3c5·4 3c7
b
b
a
bc5·abc7
1
1
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
仿照刚才的计算方法，尝试完成下面计算：
做一做
(1) 4x2y·3xy2 (4 3)·(x2· )· (y· )
；
(2) 5abc·( 3ab) [5 ( 3)]·(a· )· (b· )·c
.
x y2
12x3y3
a b
15a2b2c
从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法的法则吗？
讨论
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
单项式乘以单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
有理数的乘法
单项式乘以单项式
类比
归纳
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1 计算： ( 4abc)( ab).
单项式与单项式相乘
有理数的乘法
同底数幂的乘法
转化
单项式乘以单项式的结果仍是单项式.
解：( 4abc)( ab)
[( 4) ]
·(a·a)·(b·b)·c
2a2b2c
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例2 计算：
(1) (2x3)( 5xy2)； (2) (2x)3( 5xy2).
解：(1) (2x3)( 5xy2)
[2 ( 5)](x3·x)·y2
10x4y2
(2) (2x)3( 5xy2)
8x3( 5xy2)
[8 ( 5)](x3·x)·y2
40x4y2
1.底数不变；
2.指数相加.
(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
(2)注意按顺序运算；有乘方，先算乘方，再算单项式相乘；
(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立.
先算乘方
知识点1 单项式乘单项式的乘法法则
1. [2024合肥包河区月考] 的值是( )
D
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 若
,
为正整数,则， 的值分别为( )
A
A. 8，10 B. 8,8 C. 2,9 D. 5,10
【点拨】因为
,
所以, .
返回
4. 如果单项式与 是同类项，那么这两个
单项式的积是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】解本题的关键是同类项定义中的两个“相同”，即所
含字母相同，且相同字母的指数相同.
返回
5.计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
【解】原式
.
返回
知识点2 单项式乘单项式乘法法则的应用
6.一个长方体的长为，宽为 ，高为
，则它的体积是_____________.
7.若 表示， 表示 ，则
× __________.
返回
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
注意事项：
①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
②注意按顺序运算；有乘方，先算乘方，再算单项式相乘；
③不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
④此性质对于多个单项式相乘仍然成立.
单项式与单项式
相乘
运算法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共24张PPT)
8.2.2 整式乘法
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握单项式乘多项式的法则，并能运用它进行运算；
2.掌握整式的加、减、乘、乘方等较简单的混合运算，并能灵活运用运算律简化计算；
3.经历探索单项式乘多项式的运算法则的过程，通过类比学习，利用乘法分配律将问题转化，培养学生转化的数学思想；
通过精心设计的教学活动，引导学生亲身经历整式乘法运算法则的推导过程，全方位培养学生的观察能力、归纳能力、类比能力以及推理能力，显著提升学生的逻辑思维水平。
在解决整式乘法问题的实践中，让学生深入体会从特殊到一般，再由一般到特殊的数学思想方法，切实提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
积极营造学生自主探究与合作交流的良好学习氛围，充分激发学生对数学学科的探索热情和浓厚兴趣。
培养学生勇于创新的精神和团队协作的意识，让学生在学习过程中感受数学运算所蕴含的简洁美和高度规律性，切实增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
透彻讲解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程，使学生知其然更知其所以然。
助力学生熟练掌握并能灵活运用整式乘法运算法则进行准确无误的计算，确保计算的高效性和准确性。
（二）教学难点
引导学生深入理解整式乘法运算法则的本质，特别是在多项式与多项式相乘时，如何巧妙且准确地运用乘法分配律展开式子，并合理合并同类项。
着力培养学生在面对复杂整式乘法问题时，能够灵活运用运算法则进行分析和求解的能力，有效避免在计算过程中出现符号错误、漏项等常见问题。
三、教学方法
讲授法：在课堂教学中，运用清晰、准确、生动的语言，系统地讲解整式乘法的概念、运算法则及其推导过程，为学生构建起清晰、完整的知识框架，确保学生能够精准理解关键知识点。例如，在讲解单项式与单项式相乘的运算法则时，详细阐述系数、同底数幂分别相乘的原理及依据。
讨论法：精心设计一系列具有启发性和争议性的问题，组织学生展开小组讨论。如在学习多项式与多项式相乘后，讨论如何快速准确地确定展开式中各项的符号，通过学生之间的思维碰撞，加深对知识的理解和掌握。
探究法：创设丰富多样、贴近生活实际的问题情境，引导学生自主探究整式乘法的规律。比如，通过计算不同规格长方形面积（长和宽用整式表示），让学生自己总结出单项式与多项式相乘的运算法则，培养学生的自主探索精神和创新思维能力。
练习法：根据教学目标和学生的实际情况，精心挑选和设计多样化的练习题，涵盖基础计算、化简式子、解决实际问题等多种类型。让学生在大量的练习中巩固所学的运算法则，不断提高计算能力和解题技巧。同时，及时反馈学生的练习情况，针对学生出现的错误进行详细、深入的讲解和纠正，确保学生能够及时掌握知识要点。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究
你还能通过别的方法得到等式n(a b c) na nb nc吗？
n(a b c)
na
nb
nc
类比单项式乘单项式，说说这是什么运算？
乘法分配律
单项式乘多项式
探究
尝试计算：2x(x 2y)
2x(x 2y)
2x·x 2x·2y
2x2 4xy
乘法分配律
单项式乘单项式
讨论
尝试归纳单项式乘以多项式的运算法则.
单项式乘多项式
解：
转化
单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
归纳
单项式乘以多项式
单项式乘以单项式
转化
乘法分配律
解：(1) 原式 ( 4x2)·(3x) ( 4x2) 1
典型例题
(2) 原式
( 4x2)·(3x) 4x2 1
1.底数不变；
2.指数相加.
1.非零单项式乘多项式，结果是一个多项式；
2.结果的项数与所乘多项式的项数相等；
3.正确确定积的符号：多项式的每一项包括前面的符号，要注意积的各项符号的确定，同号相乘得正，异号相乘得负.
12x3 4x2
2项
2项
2项
例1 计算：
(1) ( 4x2)(3x 1)； (2) .
2项
解：(1) 原式 ( 2x)·x2 ( 2x)·( x) ( 2x) 1
2x3 2x2 2x.
(2) 原式 a·a2 a a (a2·a a2 2)
a3 a2 (a3 2a2)
a3 a2 a3 2a2
3a2.
典型例题
例2 计算：
(1) ( 2x)(x2 x 1)； (2) a(a2 a) a2(a 2).
1.底数不变；
2.指数相加.
1.不要漏乘，尤其是“1， 1”；
2.注意符号.
典型例题
例3 化简：3a(4a2 4a 3) (2a)2(3a 2).
解：原式 3a(4a2 4a 3) 4a2(3a 2)
12a3 12a2 9a 12a3 8a2
20a2 9a.
.
先算乘方，再算单项式乘多项式.
知识点1 单项式乘多项式的乘法法则
1.计算： ________.
2.计算： ____.
返回
3. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明
拿出课堂笔记复习，发现一道题：
， 的地方被钢
笔水弄污了，你认为 处应是( )
A
A. B. C. D. 1
【点拨】 .故选A.
返回
4. 若计算的结果中不含有 项，
则 的值为( )
A
A. B. C. 0 D. 3
【点拨】
.
由题意知,所以 .
返回
5. 若，则
的值为( )
C
A. B. 0 C. 1 D. 无法确定
【点拨】利用整体思想求解.原式
.
. .
返回
6.化简： .
【解】原式 .
返回
知识点2 单项式乘多项式乘法法则的应用
7.通过计算几何图形的面积可以得到一些恒等式，根据如图
的长方形面积写出的恒等式为______________________.
返回
8.一张长方形硬纸片，长为，宽为 ，在它
的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形，然后折
成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积.
【解】长方形硬纸片的面积是
,一个小正方形的面积
是 ，则折成无盖盒子所用硬纸片的面积是
.
返回
易错点 对单项式与多项式相乘的法则理解不透而出错
9. 以下计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
【点拨】A.原式；B.与 不是同类项，不能合
并；C.原式；D.原式 .故选D.
10.将7张如图①的长方形纸片按照图②的方式不重叠放在长
方形 内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积
分别为，，已知小长方形的长为，宽为，且 .
（1）当，， 时，
求长方形 的面积.
【解】由题图可知，长方形 的
宽为，长为 ，所以长方
形的面积为 .
所以当，， 时，
长方形 的面积
.
（2）当时，请用含，的式子表示 的值.
【解】由题图可知，面积为 的长方形
的长为，宽为 ，面积为
的长方形的长为 ，宽
为 ，
所以当 时，
.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
注意事项：
①非零单项式乘多项式，结果是一个多项式；且结果的项数与所乘多项式的项数相等；
②单项式与多项式中的项勿漏乘，尤其是1或 1；
③注意符号：多项式的每一项都包括前面的符号,还要注意单项式的符号，从而正确确定积的符号；
单项式与多项式相乘
运算法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共33张PPT)
8.2.3整式乘法
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握多项式乘多项式的法则，并能运用它按步骤进行运算；
2.能进行简单的整式乘法运算，发展运算能力；
3.经历探索多项式乘多项式的运算法则的过程，能借助图形解释法则，发展几何直观；
知识与技能目标
学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。
能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。
过程与方法目标
通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。
体会从特殊到一般，
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习回顾
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
单项式乘单项式的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘多项式的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
如：2x2y·3xy2z
6·(x2·x)(y·y2)·z
6x3y3z
如：x(2x y 1)
x·2x x·y x·1
2x2 xy x
思考
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一块长方形的菜地，长为a ，宽为m.现将它的长增加b ，宽增加n，求扩大后的菜地面积.
你能用几种方法表示扩大后的菜地面积？
b
m
a
n
①
②
③
④
b
m
a
n
①
②
③
④
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
如果把它看成四个小长方形，
则它的面积可表示为：
am bm bn an
①
②
如果把它看成一个大长方形，
则它的长为 ，宽为 .
它的面积可表示为：
(a b)(m n)
a b
m n
m
n
a
b
n
a
m
b
①
②
③
④
这两种不同的表示方法之间有什么关系？
(a b)(m n)=am bm bn an
am
bm
bn
an
(a b)(m n)
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
am bm an bn
(a b)m
(a b)n
单项式乘多项式
(a b)(m n) am bm an bn
上面的运算，还可以把 (a+b) 看成一个整体运用分配率：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
在(a b)(m n) am bm an bn中，等式右边的四项，是由等式左边的哪两项相乘得到的？
(a b)(m n) am bm an bn
①
②
③
④
①
②
③
④
讨论
尝试归纳多项式乘以多项式的运算法则.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
(a b)(p q) ap aq bp bq
①
②
③
④
①
②
③
④
多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
归纳
这两个多项式叫做所得积的因式.
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
例1 计算：
(1) ( 2x 1)(3x 2)； (2) (ax+b)(cx+d).
解：
( 2x 1)(3x 2)
= ( 2x) 3x ( 2x ) ( 2)+( 1) 3x ( 1)×( 2)
= 6x2 4x 3x 2
= 6x2 x 2
结果中有同类项要合并同类项.
典型例题
(2) (ax+b)(cx+d)
= ax cx ax d+b cx bd
= acx2 adx+bcx+bd
= acx2 (ad+bc)x+bd
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
例1 计算：
(1) ( 2x 1)(3x 2)； (2) (ax+b)(cx+d).
解：
活学巧记
多项式相乘不漏项，
符号处理别失当，
结果合并同类项.
典型例题
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例2 计算：
(1) (a+b)(a2 ab+b2)； (2) (y2+y+1)(y+2).
解：
(a+b)(a2 ab+b2)
= a a2 a ab+a b2 b a2 b ab+b b2
= a3+b3
(2) (y2+y+1)(y+2)
= y3+2y2+y2+2y+y+2
= y3+3y2+3y+2
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
例3 若(x 4)(x 6) x2 ax b，求a2 ab的值．
解：∵(x 4)(x 6) x2 6x 4x 24
x2 2x 24，
∴x2 2x 24 x2 ax b，
因此a 2，b 24.
∴a2 ab ( 2)2 ( 2) ( 24)
4 48 52.
关键是根据等式左右两边相等时“对应项的系数相等”来确定出待定字母的值，进而求解．
典型例题
知识点1 多项式乘多项式的乘法法则
1. 计算 的结果是( )
B
A. B.
C. D.
2. 如果，那么， 的值分别
是( )
C
A. 10，2 B. 10， C. ，2 D. ，
返回
3. [2024亳州期末] 设 ，
，则与 的大小关系为( )
A
A. B. C. D. 不能确定
4.[2024重庆一中模拟] 已知， ，则
的值为____.
【点拨】 .因为
，，所以原式 .
返回
5.计算：
（1） ;
【解】
.
（2） .
.
返回
知识点2 多项式乘多项式乘法法则的应用
6. [2024保定一模] 现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或
正方形纸片各15张，小明要用这些纸片中的若干张拼接
（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和
的长方形.下列判断正确的是( )
C
A. 甲种纸片剩余7张
B. 丙种纸片剩余10张
C. 乙种纸片缺少2张
D. 甲种和乙种纸片都不够用
【点拨】因为 ，所
以要拼接一个长、宽分别为和 的长方形，
需要甲种纸片15张，乙种纸片17张，丙种纸片4张.所以乙种
纸片缺少2张.故选C.
返回
7.[2024安庆潜山十校联考] 如图
所示的是人民公园的一块长为
米、宽为 米的
空地，预计在空地上建造一个网
红打卡观景台（阴影部分）.
（1）请用， 表示观景台的面积.（结果化为最简）
【解】阴影部分的面积为
平方米，
所以观景台的面积为
平方米.
（2）如果修建观景台的费用为200元/平
方米，且已知， ，那么修建
观景台需要花费多少元？
【解】当， 时，
观景台的面积 （平方米），
（元）.
所以修建观景台需要花费19 600元.
返回
易错点 因漏乘或误判某些项的符号而出错
8. 若多项式展开后不含和
项，则, 的值分别是( )
A
A. 3，5 B. 5，3 C. 4，2 D. 2，4
【点拨】多项式展开为
.由题
意知易得
返回
9.[2024厦门期中] 如图为某年某月的日历（数字隐去），其
中，，，代表当日的数字，设代表的数字为 ，则
_________.（用含 的代数式表示）
返回
10. 在一次测试中，甲、乙两名同学计
算同一道整式乘法： ，甲由于抄错了第一个
多项式中的符号，得到的结果为 ；乙由于漏
抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为
（1）试求出式子中， 的值；
【解】由题意得
,所以,即 .
由题意得,所以，即 .
所以 ，
解得.所以.所以 .
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.
【解】由（1）知
.
根据甲抄错了第一个多项式中 的符号，乙漏抄了
第二个多项式中 的系数分别列式计算，再列出方程是解答
本题的关键.
返回
11.[2024贵阳模拟] 如图，学校有一
块长方形的劳动教育基地，长 米，
宽 米，后来为了满足需要，需在旁
边开垦新的土地，使原来的长增加
米，宽增加 米.
（1）求该基地现在的土地面积是多少平方米.
【解】 平方米，
所以该基地现在的土地面积是 平方米.
（2）当， 时，求增加的土地面积是多少平方米.
【解】当， 时，该基地现在的土
地面积 （平方米），
原来基地的面积
（平方米），
（平方米），
所以增加的土地面积是36平方米.
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课堂小结
创设情境
注意事项：
(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；
(3)相乘后，若有同类项应该合并．
多项式乘多项式
运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
完成教材上的课后习题
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