(共40张PPT)
8.4 .3 因式分解
十字相乘法、拆添项法
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
知识与技能目标
学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。
能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。
过程与方法目标
通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。
体会从特殊到一般，
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
十字相乘法：对于二次三项式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
例
分解因式：2x2+5x+2
2
1
1
2
+ = 5
1x+2
2x+1
(x+2)(2x+1)
1×1
2×2
二次项系数为1型
x2＋（p＋q）x＋pq
分解常数
p
q
分解二次项系数
1
1
1×q＋1×p
＝p＋q
二次项系数不为1型
ax2＋bx＋c
分解常数
c1
c2
分解二次项系数
a1
a2
a1c2＋a2c1＝b
＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
＝(x＋p)(x＋q)
1
两个字母型
ax2＋bxy＋cy2
分解常数
c1y
c2y
分解二次项系数
a1
a2
a1c2y＋a2c1y＝by
＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
口诀: 首尾分解，交叉相乘，求和凑中
把x2＋7x＋10分解因式．
例
解析
二次三项式：x2＋7x＋10
常数项：10＝2×5
一次项系数：7＝2＋5
所以原式＝(x＋2)(x＋5)
x2＋7x＋10
二次项系数为1
常数项
分解
10＝1×10
10＝(－1)×(－10)
10＝2×5
10＝(－2)×(－5)
一次项系数7
7＝2＋5
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
2
5
1
1
1×5＋1×2＝7
把x2－11x－12分解因式．
例
解析
二次三项式：x2－11x－12
常数项：－12＝1×(－12)
一次项系数：－11＝1＋(－12)
原式＝(x－12)(x＋1)
x2－11x－12
二次项系数为1
常数项
分解
－12＝（－1）×12
－12＝1×（－12）
－12＝（－2）×6
－12＝2×（－6）
一次项系数－11
－11＝1＋（－12）
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
－12
1
1
1
1×1＋1×(－12)＝－11
－12＝3×（－4）
－12＝（－3）×4
二次项系数为1的二次三项式，用十字相乘法因式分解要运用公式x2＋（p＋q）x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，必须要具备的三个条件：
（1）二次项系数是1的二次三项式；
（2）常数项能分拆成两个数之积；
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．
分解常数项的一般规律：
（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数相乘，它们与一次项系数符号相同．
（2）常数项是负数时，它分解成两个异号因数相乘，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同．
因式分解：3x2－11x＋10．
例
3x2－11x＋10
二次项系数为3
常数项
分解
10＝1×10
10＝（－1）×（－10）
10＝2×5
10＝（－2）×（－5）
一次项系数－11
分解
3＝1×3
－1
－10
1
3
1×（－10）＋3×（－1）＝－13
－10
－1
1
3
1×（－1）＋3×（－10）＝－31
－2
－5
1
3
1×（－5）＋3×（－2）＝－11
－5
－2
1
3
1×（－2）＋3×（－5）＝－17
因式分解：3x2－11x＋10．
例
解析
二次三项式：3x2－11x＋10
二次项系数：3＝1×3，
常数项：10＝（－2）×（－5）
原式＝(x－2)(3x－5)
－2
－5
1
3
（－5）＋（－6）＝－11
一次项系数：1×（－5）＋3×（－2）＝－11
二次项系数不为1的二次三项式，若想用十字相乘法进行因式分解，需要将二次项系数和
常数项分解因式，再交叉相乘相加等于一次项系数即分解正确。有时需要多次尝试和调整
才能分解成功。
因式分解：15x2＋7xy－4y2．
例
15x2＋7xy－4y2
二次项系数为15
常数项－4y2
分解
(－y)×4y
（－4y）×y
一次项系数7y
分解
15＝1×15
－y
4y
1
15
1×4y＋15×（－y）＝－11y
15＝3×5
－2y×2y
4y
－y
1
15
1×（－y）＋15×（4y）＝59y
－4y
y
1
15
1×y＋15×（－4y）＝－59y
y
－4y
1
15
1×（－4y）＋15×y＝11y
－2y
2y
1
15
1×（2y）＋15×（－2y）＝－28y
2y
－2y
1
15
1×（－2y）＋15×（2y）＝28y
－y
4y
3
5
3×（4y）＋5×（－y）＝7y
4y
－y
3
5
3×（－y）＋5×（4y）＝17y
－2y
2y
3
5
3×（2y）＋5×（－2y）＝－4y
2y
－2y
3
5
3×（－2y）＋5×（2y）＝4y
因式分解：15x2＋7xy－4y2．
例
解析
二次三项式：15x2＋7xy－4y2
二次项系数：15＝3×5，
常数项：－4y2＝（－y）×4y
原式＝(3x－y)(5x＋4y)
-y
4y
3
5
3×4y＋5×(-y)＝7y
一次项系数：3×4y－5×y＝7y
对于含有两个字母的多项式，将其中一个字母看成常数，用十字相乘法的特征去因式分解．
拆项、添项法
拆（添）项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.
注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换.
例
分解因式：x4+4
x4+4x2+4－4x2
(x2+2) 2－(2x)2
(x2+2x+2) (x2－2x+2)
x4+0x2+4
分解因式：x3－3x2＋4．
例
解析
添项法：x3－3x2＋4＝x3－3x2－4x＋4x＋4
＝(x3－3x2－4x)＋(4x＋4)
＝x(x2－3x－4)＋4(x＋1)
＝x(x－4)(x＋1)＋4(x＋1)
＝(x＋1)(x2－4x＋4)
＝(x＋1)(x－2)2
x3－3x2－4x＋4x ＋ 4
添两项
－4x和+4x
分组
x3－3x2－4x
4x＋4
x3－3x2+2x－2x ＋ 4
添两项
+2x和﹣2x
分组
x3－3x2+2x
－2x ＋ 4
x3－3x2＋4
拆二次项
－2x2和－x2
分组
x3和－2x2
－x2和＋4
分解因式：x3－3x2＋4．
例
解析
拆项法：x3－3x2＋4＝x3－2x2－x2＋4
＝x2(x－2)＋(2－x)(2＋x)
＝x2(x－2)－(x＋2)(x－2)
＝(x－2)(x2－x－2)
＝(x－2)(x＋1)(x－2)
＝(x＋1)(x－2)2
x3－3x2＋4
拆常数项
1和3
分组
x3和1
－3x2和＋3
用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
换元法
n
n+1
m
m
换元法：对于一些结构较为复杂的多项式进行因式分解时，如果式子中存在重复出现的式子，把多项式中重复的部分看成一个整体，用新字母代替，叫做换元．
换元法优点：简单化，明朗化，减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度
换
元
替换
字母、未知数
题目特点：结构复杂，存在重复出现的式子
例
复杂
简单
分解因式：(a2－5a＋5)(a2－5a－3)－9．
例
将a2－5a看作一个整体用字母y表示
分析
再进行因式分解
后再转换回来
解析
令y＝a2－5a，
则原式＝(y＋5)(y－3)－9
＝y2＋2y－15 －9
＝y2＋2y－24
＝(y＋6)(y－4)
原式＝[(a2－5a)＋6][(a2－5a)－4]
＝(a－2)(a－3)(a2－5a－4)
换元法分解因式的步骤：1.换元 2.展开分解 3.分解后再代回 4.检验是否继续分解。
＝(a2－5a＋6)(a2－5a－4)
十字相乘法
将y＝a2－5a代入上式
分解因式：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24．
例
适当分组
分析
再换元
(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24
1.分组的目的是什么？
构造重复结构
2.怎样分组才能出现重复结构？
(x＋a)(x＋b)=
1+4=5
2+3=5
[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]－24
(x +5x+4)(x +5x+6)－24
分解因式：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24．
例
适当分组
分析
再换元
解析
(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)－24
＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)－24
令y＝x2＋5x，
＝y2＋10y
则有 (x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)－24＝(y＋4)(y＋6)－24
原式=y(y＋10)＝ (x2＋5x )( x2＋5x ＋10)
＝y(y＋10)
换元法分解因式，主要有两种方式，1.存在重复的式子直接用换元法分解；2.需要对式子进行分组等变形之后出现重复式子，再用换元法分解.
=x(x+5)(x2＋5x＋10)
将y＝x2＋5x代入上式
＝[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]－24
待定系数法
待定系数法：就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例
待定系数法分解因式：x3－1
设 x3－1 =
x3－1 = x3+(b－1)x2 +(1－b)x －1
解得：b=1
所以x3－1 = (x－1)(x2+x+1)
建立待定系数的方程组并解方程组
恒等原理
(x+a)
当x=1时， x3－1=0
(x－1)
(x2+bx+c)
(x2+bx+1)
假设成若干个因式的连乘积
待定系数法因式分解的一般步骤是：
（1）把系数用字母代替，表示出分解的最终形式
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
分解因式2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15．
例
2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15
3y
－y
2
1
十字相乘
2x2＋xy－3y2＝(x－y)(2x＋3y)
设
＝(x－y＋m)(2x＋3y＋n)
求m，n的值
解析
因为2x2＋xy－3y2＝(x－y)(2x＋3y)，
设2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15＝(x－y＋m)(2x＋3y＋n)
＝2x2＋xy－3y2＋(2m＋n)x＋(3m－n)y＋mn．
由①、②解得m＝3，n＝－5．
∴2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15＝(x－y＋3)(2x＋3y－5)．
把m＝3，n＝－5代入③式也成立．
比较系数，得
①
②
③
必须先判断出分解后因式的形式，该形式一旦确定，后面就比较简单了．
分解因式2x2＋xy－3y2＋x＋14y－15．
例
知识点1 提公因式法与完全平方公式因式分解的综合运用
1.因式分解： __________.
2.[2024六安月考] 分解因式： __________.
【点拨】原式 .
返回
3. 若,，则多项式 的值为
( )
A
A. 2 B. C. 5 D. 6
返回
4.因式分解：
（1） ；
【解】
（2） .
.
返回
知识点2 提公因式法与平方差公式因式分解的综合运用
5. 把 分解因式，其中正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
6. 分解因式： ,结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【点拨】原式
.
D
返回
7. 下面是甲、乙两名同学分解因式 的结果，下列判
断正确的是( )
甲同学：原式 .
乙同学：原式 .
C
A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确
C. 甲、乙的结果都正确
D. 甲、乙的结果都不正确
返回
8.因式分解：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
9. 小逸是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：，5， ，
，， 分别对应强、我、祖、爱、国、有.现将
因式分解，则结果呈现的密码信
息可能是( )
B
A. 我爱祖国 B. 强国有我
C. 我爱国 D. 我有祖国
返回
10.[2024泰安期中] 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的
平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如 ，
，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论：
①最小的“幸福数”是8； 是“幸福数”；③“幸福数”一定
是4的偶数倍； 以内的所有“幸福数”之和是24.其中正确
结论的序号为__________.
①②③④
【点拨】设两个连续的奇数为和 .
因为 ，所以“幸福数”是8的倍数.
因为为正整数，所以 的最小值为1.所以最小的“幸福数”是8，
故①正确.
因为 ，所以520是“幸福数”，故②正确.
十字相乘法
换元法
拆（添）项法
待定系数法
因式分解的拓展
二次项系数为1
二次项系数不为1
含有两个字母型
直接换元
间接换元
x2＋（p＋q）x＋pq
＝(x＋p)(x＋q)
ax2＋bx＋c
＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
ax2＋bxy＋cy2
＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)
题目特点：结构复杂，存在重复出现的式子
（1）把系数用字母代替，表示出分解的最终形式
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
步骤：
思想方法：构造思想
谢谢观看！(共29张PPT)
8.4.1因式分解
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
2.理解因式分解与整式乘法的互逆变形关系.
经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想.
3.培养学生分析、类比的思想，积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值.
知识与技能目标
学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。
能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。
过程与方法目标
通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。
体会从特殊到一般，
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察思考
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m a+b+c
方法二： ma+mb+mc
m a+b+c =ma+mb+mc
整式的乘法
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
想一想
请把下列多项式写成整式的乘积的形式.
(1) x +x=________ (2) x 1 =________
根据整式的乘法，可以联想得到：
x +x=x x+1
x 1= x+1 x 1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，若不是，请说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗？
x +x=x x+1
pa+pb+pc=p a+b+c
观察以上两个多项式，它们有什么共同特点？
它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
做一做
试确定 3 x3 – 6 x2y 的公因式.
系数
最大公约数
3
字母
相同的字母
x2
所以公因式是3x2.
指数
相同字母的最低次幂
2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2) ab-2ac
(3) a 2-a 3
(4) 4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5) 9m 2n-6mn
(6) -6x 2y-8xy 2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
pa+pb+pc=p a+b+c
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公因式p与 a+b+c 的乘积
归纳
=4ab ·2a +4ab ·3bc
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
把8a b +12ab c分解因式.
=4ab (2a +3bc)
解： 8a b +12ab c
数字：最大公约数4
字母：公共的字母a、b
指数：a、 a 、b 、b
确定公因式： 4ab
分析：
例1 把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
(1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
解：
可用整式乘法检验因式分解的正确性.
当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
例2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)； (2) 3n(x 2)+(2 x).
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)
=(b+c)(2x 3y)
(2) 3n(x 2)+(2 x)
=3n(x 2) (x 2)
=(x 2)(3n 1)
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
知识点1 因式分解的概念
1. [2024合肥期末] 下列各式从左到右的变形中，属于因式分
解的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
知识点2 公因式
2. 式子, 的公因式是( )
C
A. B.
C. D. 以上均不正确
返回
3. 多项式 各项的公因式是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】与这两项的系数是8与 ,它们
的最大公因数是4，两项的字母部分与 都含有
字母和,其中的最低次数为,的最低次数为 ,所以
是所求的公因式.
返回
4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是 ，
则 的值可能为( )
A
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
5. 观察下列各组式子：
和； 和 ；
和； 和 .
其中有公因式的是( )
B
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ①④
返回
知识点3 用提公因式法分解因式
6.[2024镇江] 分解因式： _________.
7.[2024徐州] 若，，则代数式
的值是___.
2
【点拨】因为， ，所以
.
返回
8. 将多项式 因式分解，
结果为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】 .
返回
知识点4 提公因式法的应用
9. 计算 的结果是( )
B
A. B. C. 2 D.
返回
10. 多项式 可以因式分解成
，则 的值是( )
C
A. 0 B. 4 C. 3或 D. 1
【点拨】因为
,
所以 .
所以,或, .
所以或 .
返回
11. 三角形的三边长分别为,,，且 ，
则三角形 是( )
B
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
返回
12.用提公因式法分解因式：
（1） ；
【解】原式
（2） .
原式 .
返回
易错点 提公因式后因符号问题或漏项而出错
13. 下列因式分解正确的有( )
;
;
;
.
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
概念：
提公因式法
提公因式法的一般步骤：
因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
公因式：它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
1.找出公因式.
2.提公因式并确定另一个因式.
完成教材上的课后习题
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8.4.2 因式分解
第8章 整式乘法与因式分解
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
知识与技能目标
学生理解并掌握同底数幂的除法运算法则，能准确阐述其内容。
能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的同底数幂除法运算，包括底数为数字、字母的情况。
过程与方法目标
通过对同底数幂除法运算法则的探究过程，培养学生观察、归纳、猜想、推理的能力。
体会从特殊到一般，
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
(1) x2+6x+9；
(2) y2-25.
下列多项式如何分解因式？能不能用提公因式法？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
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巩固新知
课堂小结
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合作探究
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
理解完全平方公式：
完全平方式的结构特征是什么？
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项.
(2) 两个平方项的符号有什么特点？
两个平方项的符号同为正.
(3) 中间的一项是什么形式？
中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
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做一做
1 a 4a 4
下列多项式是不是完全平方式？为什么？
2 1 4a
3 4b 4b 1
4 a ab b
a 4a 4 (a 2)
不是，只有两项
不是，平方项符号不一致
不是，ab项没有系数2
理解平方差公式：
平方差公式的结构特征是什么？
平方差公式必须是二项式，且每一项都为平方项.
(2) 两个平方项的符号有什么特点？
两个平方项的符号相反.
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
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做一做
1 x y
下列多项式能否用平方差公式因式分解？为什么？
2 x y
3 x y
4 x y
这是两数平方和；
x y =(x+y)(x y)；
x y =(y+x)(y x)；
这是两数平方和的相反数.
判断依据：1. 各项能否写成平方项；
2. 确定两数平方是否相减.
(1) x2+6x+9；
(2) y2-25.
现在你能将下列多项式分解因式吗？
分析： (1) x2+6x+9
= x2 2·x·3 32
a2 + 2·a·b b2 =(a+b)2
=(x+3)2
分析： (2) 4x2-9
2x 2 32
2x+3 2x 3
a2 b2 (a + b)(a b)
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合作探究
注意：公式中的a，b可以表示数、单项式、多项式.
(1) x2+14x+49；
(3) y2-81；
例1 把下列各式分解因式：
(1) x2+14x+49
=x2+2·x·7+72
=(x+7)2
(3) y2-81
=y2-92
=(y+9)(y-9)
(2) 9x2-30ab+25b2；
(4) 36a2-25b2.
(2) 9x2-30ab+25b2
=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2
=(3a-5b)2
(4) 36a2-25b2
=(6a)2-(5b)2
=(6a+5b)(6a-5b)
解：
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巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
(1) ab2-ac2；
例2 把下列各式分解因式：
(1) ab2-ac2
=a(b2-c2) (提取公因式)
=a(b+c)(b-c) (用平方差公式)
(2) 3ax2+24axy+48ay2.
(2) 3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2) (提取公因式)
=3a(x+4y)2 (用完全平方公式)
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
知识点1 用完全平方公式分解因式
1. 下列可以用完全平方公式分解因式的是( )
C
A. B.
C. D.
2.[2024常州] 分解因式: __________.
3.[2024淄博] 若多项式 能用完全平方公式
因式分解，则 的值是_____.
4.[2024威海] 因式分解： _________.
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5. 如图，一个大正方形被分割成四部分的面积
分别为,,, ，
则大正方形的边长为( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】因为
，
所以大正方形的边长为 .故选D.
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6.因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
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知识点2 直接用平方差公式分解因式
7. [2024宣城三校联考] 下列各式中，不能用平方差公式进行
因式分解的是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】A. 能用平方差公式分解因式，
故该选项不符合题意；B. ，不能用平方差公式分解
因式，故该选项符合题意；C. ，能用
平方差公式分解因式，故该选项不符合题意；D.
，能用平方差公式分解因式，
故该选项不符合题意.
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8. 分解因式 ，结果正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
9.[2024德州] 分解因式： ______________.
10.利用因式分解计算： _______.
9 800
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11.因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
知识点3 公式法因式分解的应用
12. 若，，则 的值为
( )
C
A. B. C. 15 D. 7
返回
13. [2024安庆校级月考] 若为任意整数，则 的
值总能( )
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
【点拨】因为 为任意整数，且
，所以
的值总能被5整除.
C
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易错点 对公式法理解不透彻导致出错
14.有下列式子：； ；
；； .
其中在实数范围内能用公式法分解因式的是______.（填序号）
②④
【点拨】本题容易错选⑤，注意提出负号后，原式变为
，无法利用平方差公式分解.
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15. 将因式分解后得 ，
则 等于( )
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】因为
，所以 .
返回
16. 若，，则 的值为
( )
A
A. B. 5 C. D. 4
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17. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：
从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能
进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的
三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是( )
D
A. 甲： B. 乙：
C. 丙： D. 丁：
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18.（1）已知,互为相反数，且 ,求
, 的值;
【解】因为 ，所以
,即
.
又因为,所以.所以 .所以
, .
（2）已知 ，求
的值.
【解】因为 ,所以
.
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19.如图，学校劳动实践基地有两块边长分
别为，的正方形秧田， ，其中不能使
用的面积为 （阴影部分）.
（1）用含，的式子表示 中能使用的面
积：______________;
（2）若，，求比 多
出的使用面积.
比多出的使用面积为 ，当
， 时，原式
.
答：比 多出的使用面积为50.
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创设情境
公式法：
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
公式法
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