(共29张PPT)
9.3.1分式方程
第9章 分式
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能够识别分式方程，了解解分式方程的整体思想及检验的意义；
2. 能够准确的求出分式方程的解；
3.在经历“实际问题-分式方程-整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识；
（学生能够准确阐述分式的定义，清晰辨别分式与整式，深入理解分式有意义、无意义以及值为零的条件，并能熟练运用这些条件进行相关判断和计算。
透彻理解分式的基本性质，能够灵活运用该性质进行分式的约分、通分以及其他变形操作，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则，准确进行分式的四则运算。
（二）过程与方法目标
通过观察、分析、营造积极活跃的课堂氛围，激发学生对分式学习的兴趣和探索欲望，培养学生勇于创新、敢于质疑的精神。
通过小组合作学习，增强学生的团队协作意识，让学生在交流与合作中体验成功的喜悦，提高学习数学的自信心，同时感受数学知识的严谨性和应用的广泛性。
二、教学重难点 展示问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 小时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？（5 分钟）
展示问题：一艘轮船在A=0
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
做一做
下列式子，哪些是分式方程？
①
②
③
④
⑤
π不是未知量，即分母没有未知数.
没有等号，不是方程.
判断是否为分式方程，看原式，不化简.
分母没有未知数.
② ④.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
分式方程 整式方程
区别 分母中含有_______ 分母中___________
归纳
未知数
不含未知数
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
如何解分式方程 ？
解一元一次方程
去分母
含分母
含分母
去分母
分式方程
整式方程
转化
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
2000 – 1600= 5x.
整式方程
x=80.
把x=80代入上述分式方程检验：
左边 = =右边，
所以x= 80是该分式方程的根.
如何解分式方程 ？
解：
可转化为
方程两边同乘以最简公分母 ，得
解这个整式方程，得
思考
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
具体做法:是“去分母”，即方程两边乘以最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
去分母
分式方程
整式方程
转化
方程两边同乘以最简公分母 x –3，得
解：
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
如何解分式方程 ？把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
探究
2–x= –1–2(x–3).
整式方程
把x=3代入上述分式方程检验：
所以x=3不是原方程的根，原方程无解.
x=3.
解这个整式方程，得
方程中分式的分母为零，
分式无意义，
像x=3这样的根，称为增根.
分式方程
必须验根
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
2000 – 1600= 5x
代入
x= 80
假设成立
等号两边同乘 (x – 3)
假设： x – 3 ≠0
2–x= –1–2(x–3)
代入
x= 3
x –3 =0
假设不成立
(是原方程的根)
(不是原方程的根)
等号两边同乘
假设：
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
解分式方程的一般思想如下：
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x=a
检验
最简公分母为0
a不是分式方程的根
a是分式方程的根
最简公分母不为0
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3) (x – 3)，得
(x – 1) (x – 3) –2(x + 3) (x – 3) = – x(x + 3).
展开得
x2 – 4x+3 – 2x2+18 = – x2– 3x.
检验：当x=21时，(x + 3) (x – 3)
因而，原方程的根是x=21.
≠0.
去分母
解整式方程
检验
写原分式方程的根
解方程，得
x = 21.
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四写
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程.
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的解；否则，这个根不是原分式方程的根.
写出原分式方程的根.
归纳
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课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母(x – 1) (x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1) (x + 2) =3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x – 1) (x + 2)
所以，原分式方程无根.
＝0.
因而x=1不是原分式方程的根.
在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项.
知识点1 分式方程的定义
1. 下列式子是分式方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
知识点2 分式方程的解法
2. [2024济宁] 解分式方程 时，去分母变形
正确的是( )
A
A. B.
C. D.
3. [2024无锡] 分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 已知代数式和的值相等，则 的值为( )
A
A. B. 1 C. 2 D.
【点拨】因为代数式和 的值相等，
所以，解得 ,
经检验， 是分式方程的根.
返回
5.若是分式方程的解,则 的值为___.
6
【点拨】将代入分式方程，可得 ，
解得 .
返回
6.解方程.
（1）[2024福建] ;
【解】 ，
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
经检验， 是原方程的根.
（2）[2024陕西] .
【解】 ，
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
检验：当时， ，
所以原方程的根是 .
返回
知识点3 分式方程的增根
7.若关于的分式方程为常数 有增根，则增
根是______.
8.当__________时，解关于的分式方程
会产生增根.
或
返回
9. 已知关于的分式方程无解，则 的值为
( )
A
A. 或 B.
C. 或 D.
返回
易错点 去分母时，易因常数项漏乘最简公分母而出错
10.解方程： .
嘉琪的解法如下：
方程两边同乘,得 .①
解这个整式方程，得 .②
嘉琪的解法是否正确？如果不正确，从哪一步开始出错？请
写出正确的解答过程.
【解】嘉琪的解法不正确，从第①步开始出错.
正确的解答过程如下：
去分母，得.移项、合并同类项，得 .
经检验, 是原分式方程的解.
去分母时不要漏乘常数项，特别注意“检验”这一步
骤，不能省略.
返回
11. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校
，一部分学生乘慢车先行 ，另一部分学生再乘快
车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时
快，求慢车的速度.设慢车的速度为 ，则可列方
程为( )
A
A. B.
C. D.
返回
探究新知
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布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
分式方程
分式方程必须满足的条件(三者缺一不可)
(1) 是方程(含有未知数的等式)；
(2) 含有分母；
(3) 分母中含有未知数.
解分式方程的一般步骤
一去
二解
三验
四写
去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程.
解这个整式方程.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.
写出原分式方程的根.
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共24张PPT)
9.3.2分式方程
第9章 分式
沪科版数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题；
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理；
3.通过分式方程的应用学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问题解决问题的能力；
（学生能够准确阐述分式的定义，清晰辨别分式与整式，深入理解分式有意义、无意义以及值为零的条件，并能熟练运用这些条件进行相关判断和计算。
透彻理解分式的基本性质，能够灵活运用该性质进行分式的约分、通分以及其他变形操作，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则，准确进行分式的四则运算。
（二）过程与方法目标
通过观察、分析、归纳、类比等活动，培养学生的逻辑思维能力和自主探究能力，使其能够从具体实例中抽象出分式的相关概念和性质。
在分式运算的学习过程中，提升学生的运算能力和数学表达能力，让学生学会有条理地思考和解决问题，体会数学中的转化思想和类比思想。
（三）情感态度与价值观目标
营造积极活跃的课堂氛围，激发学生对分式学习的兴趣和探索欲望，培养学生勇于创新、敢于质疑的精神。
通过小组合作学习，增强学生的团队协作意识，让学生在交流与合作中体验成功的喜悦，提高学习数学的自信心，同时感受数学知识的严谨性和应用的广泛性。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念以及分式有意义、无意义、值为零的条件。
分式的基本性质，约分、通分的方法，以及分式的四则运算法则。
（二）教学难点
深刻理解分式的基本性质，尤其是在分式变形过程中，准确把握分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的整式这一条件。
灵活运用分式的运算法则进行复杂分式的化简和运算，在运算过程中正确处理符号问题和运算顺序，避免出现错误。
三、教学方法
讲授法：系统讲解分式的概念、性质、运算法则等基础知识，确保学生建立清晰的知识框架，例如在讲解分式的定义时，明确指出分式与整式的区别。
讨论法：组织学生对分式学习中的重点、难点问题展开讨论，如讨论分式有意义条件的应用，促进学生之间的思维碰撞，加深对知识的理解。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探究分式的性质和运算法则，比如通过探究分式的约分方法，让学生自己总结规律，培养学生的自主学习能力。
练习法：安排多样化的练习题，包括基础巩固、能力提升、拓展应用等不同层次，让学生在练习中巩固知识，提高运算能力和解题技巧，教师及时反馈练习情况，针对错误进行详细讲解。
四、教学过程
（一）情境引入（5 分钟）
展示问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 小时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？（5 分钟）
展示问题：一艘轮船在A=0
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少
思考
路程= 速度·时间
提速前
提速后
路程
速度
时间
s
s+50
x+v
x
审清题意，分清已知量、未知量.
设出恰当的未知数.
根据相等关系列方程.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少
思考
解方程.
解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为 h；提速后列车的平均速度为（x+v）km/h，提速后它行驶（s+50）km所用时间为 h.
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘x (x+v)，得
s(x+v)=x(s+50)
解得：
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少
思考
检验.
答.
检验：由v，s都是正数，得 时，x(x+v)≠0.
所以，原分式方程的解为
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
例1. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工一个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的___，乙队半个月完成总工程的____，两队半个月完成总工程的_____.
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
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课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
例1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1).
找相等关系.
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
例1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为1，
根据工程的实际进度，得 .
方程两边同时乘以6x，得2x+x+3=6x.解得x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
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课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
典型例题
例3. 有一并联电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：
若已知R1，R2，求R.
R1
R2
S
解：方程两边同乘以RR1R2，得
R1R2= RR2+ RR1，
即 R1R2= R(R1+ R2) ，
因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0.
两边同除以(R1+R2) ，得
知识点1 列分式方程解应用题
1. [2024保定期末] 为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循
环，某市决定对一条长 的道路进行拓宽改造.为了减轻
施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的
长度比原计划增加 ，结果提前6天完成任务.求实际每天
改造道路的长度与实际施工天数.珍珍同学根据题意列出方程
；文文同学根据题意列出方程
.已知两人的答案均正确，下列说法正
确的是 ( )
A. ， 代表相同的含义
B. 表示实际每天改造道路的长度
C. 表示实际施工天数
D. 表示实际每天改造道路的长度
C
【点拨】，代表不同的含义，故选项A错误； 表示原计划
每天改造道路的长度，故选项B错误； 表示实际施工天数，
故选项C正确； 表示原计划每天改造道路的长度，故选项
D错误.故选C.
返回
2. [2024达州] 甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人
原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲
为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同
时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工 个零件,
可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同
学所列的方程.
有甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路 所
用的时间相等，乙队每天比甲队多修 ，求甲队每天修
路的长度.
冰冰：
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）冰冰同学所列方程中的 表示____________________，
庆庆同学所列方程中的 表示___________________________
______________________________；
甲队每天修路的长度
甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间）
（2）在两个方程中任选一个，写出它的等量关系；
【解】冰冰用的等量关系是：甲队修路所用的时间 乙
队修路 所用的时间.
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度-甲队每天修路的
长度 .（选择一个即可）
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.
【解】选冰冰的方程： .
去分母，得，解得 .
检验：当时，, 均不为零，且符合题意,
所以 .
答：甲队每天修路的长度为 .
选庆庆的方程： .
去分母，得,解得 .
经检验， 是原的解，且符合题意.
所以 .
答：甲队每天修路的长度为 .
返回
知识点2 列分式方程解应用题的常见类型
类型1 古算问题
4. 我国古代数学名著《四元玉鉴》记载了
“买椽多少”问题：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚
钱三文足，无钱准与一株椽.大意是：现请人代买一批椽，这
批椽的总售价为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿
一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.试问
6 210文能买多少株椽？设6 210文能买 株椽，则可列方程
为( )
C
A. B.
C. D.
返回
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巩固新知
课堂小结
创设情境
分式方程的应用
审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量；
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；
解：解所列分式方程；
验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；
答：写出答案.
列分式方程解决实际问题的一般步骤
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
完成教材上的课后习题
谢谢观看！
