第六章=章末复习 课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
第六章 章末复习
第六章 实 数
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解实数与数轴的关系，理解实数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义．
理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．
在教学过程中通过渗透类比转化的思想，让学生意识到知识之间的紧密联系，体会数学的一致性.
通过师生共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程，激发学生探索数学的热情和兴趣.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
第6章 实数
小结与复习
1. 平方根的概念及性质
2. 算术平方根的概念及性质
(2) 性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是 0，负数没有平方根.
(2) 性质：0 的算术平方根是 0，只有非负数才有
算术平方根，且算术平方根也是非负数.
(1) 定义：若 r2 = a，则 r 叫做 a 的一个平方根.
(1) 定义：a 的正平方根叫做 a 的算术平方根.
一、平方根
☆要点梳理
1. 立方根的概念及性质
(1)定义：如果 b3 = a，那么 b 叫做 a 的立方根.
二、立方根
(2)性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同的立方根.
2. 用计算器求立方根
用计算器求一个数 a 的立方根，其按键顺序为
2ndF
a
=
三、实数
1. 实数的分类
无理数：
无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数……
化简后含有 的数
按定义分：
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按符号分类：
0
负无理数
正无理数
正实数
负实数
0
1
2. 实数与数轴
(1) 实数和数轴上的点是一一对应的关系；
(2) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.
3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则
同样适用.
例1. 求下列各数的平方根：
例2. 求下列各数的立方根：
【归纳拓展】解题时，要注意题目的要求，是求平方根、立方根还是求算术平方根，要注意所求结果处理.
考点一 平方根与立方根
答案：(1) ；(2) ；(3)±10.
答案：(1) ；(2)0.3；(3) .
☆考点讲练
1.求下列各式的值：
答案：① 20；② ；③ ；④ .
针对训练
例3. 已知一个正数的两个平方根分别是 a + 3 和 2a -18，求这个正数.
解：根据平方根的性质，有 a + 3 + 2a - 18 = 0，
解得 a = 5. 所以 a + 3 = 8，82 = 64.
所以这个正数是 64.
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个非负数的算术平方根只有一个. 另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.
方法总结
3. 的平方根是（ ）
A. 4 B. 2 C.±2 D.±4
2. 下列说法正确的有（ ）
① -64 的立方根是 -4；
② 49 的算术平方根是±7；
③ 的立方根是 ；
④ 的平方根是 .
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
针对训练
C
例4. 若 a，b 为实数且 + |b-1| = 0，则 (ab)2025 = .
4. 若 与 (b - 27)2 互为相反数，则 .
-5
【解析】先根据非负式的性质求出 a，b 的值，再根据乘方的定义求出 (ab)2025 的值. ∵ + |b - 1| = 0，∴ a + 1 = 0，且 b - 1 = 0. ∴ a = -1，b = 1.
∴ (ab)2025 = (-1×1)2025 = (-1)2025 = -1.
-1
针对训练
例5 在实数 ， ， 中，分数有 （ ）
A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个
C
考点二 实数的概念及性质
【解析】 是分数； 虽然含有分母 2，但它的分子是无理数 ，所以是无理数；同理 也是无理数.
例6 如图所示，数轴上的点 A，B 分别对应实数 a，b，下列结论正确的是（ ）
A. a > b B. | a | > | b | C. -a < b D. a + b < 0
b
a
0
B
A
C
【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故 A 不正确；
根据点 A，B 与原点的距离知 | a |<| b |，B 不正确；
-a > 0，根据 | a | < | b |，知 -a < b，C 正确，D不正确.
5. 实数 π， ，0，-1 中，无理数是 ( )
A. π B. C. 0 D. -1
A
6. 若 | a | = -a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在 ( )
A. 原点左侧 B. 原点或原点左侧
C. 原点右侧 D. 原点或原点右侧
B
针对训练
例6 估计 的值在（ ）
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
B
考点三 实数的计算及估算
【解析】∵4<6<9,∴
因此 的值在 3 到 4 之间. 故选 B.
像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知数的平方作比较.
方法总结
7. 满足 的整数 x 是 .
8. 规定用符号[ x ]表示一个实数 x 的整数部分，例如：
[ 3.14 ] = 3， = 0. 按此规定 [ ] 的值为 .
针对训练
例7 计算 .
【解析】对于被开方数是带分数的二次根式，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方运算.
9. 计算 .
______
针对训练
考点1 三个概念
概念1 算术平方根与平方根
1. 下列说法中，正确的是( )
B
A. 3是 的一个平方根
B. 是3的算术平方根
C. 3的平方根就是3的算术平方根
D. 的平方根是3
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概念2 立方根
2. 关于立方根，下列说法正确的是( )
C
A. 正数有两个立方根
B. 立方根等于它本身的数只有0
C. 负数的立方根是负数
D. 负数没有立方根
【点拨】A.正数有一个立方根，故原说法错误；
B.立方根等于它本身的数有 ，0，1，故原说法错误；
C.负数的立方根是负数，故原说法正确；
D.负数有立方根，故原说法错误.
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概念3 实数
3. [2024日照] 实数,0,, 中无理数是( )
C
A. B. 0 C. D. 1.732
4.把下列各数填在相应的大括号内.
0，，，，，，，， ，
， （每相邻两个1之间依
次多1个0）， .
有理数：{
_ ___________________________________________________，
；
无理数：{___________________________________________
_______________________________________ ， ；
，，，，，， ，；
，，，
（每相邻两个1之间依次多1个0），， ；
正数：{_____________________________________________
____________________________________________________
_____ ， ;
整数：{___________________， ；
，，，；
，，，，， ，
（每相邻两个1之间依次多1个0）， ，
；
非负数：{___________________________________________
_____________________________________________ ， ；
分数：{_ _____________________________________， .
，，， ，.
，，，，， ，，
（每相邻两个1之间依次多1个0），，；
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考点2 一个关系——实数与数轴的关系
5.[2024滁州模拟] 如图，数轴上有，， 三点，表示实数1
和的点分别为，，点到的距离与点到原点 的距离
相等，设，，三点表示的三个数之和为 .
（1）求线段 的长；
【解】因为表示实数1和的点分别为， ，
所以 .
（2）求 的值；
【解】因为点到的距离与点到原点 的距离相等，
所以 .
又因为点 在原点左侧，
所以点表示的数为 .
所以 .
（3）若数轴上点表示的数为，且满足 ，请
求出的值，并在数轴上标出点 的位置.
【解】因为，所以.所以 .
在数轴上标出点 的位置如图所示：
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考点3 三个性质
性质1 算术平方根的性质
6.若，则 的值为____.
【点拨】因为 ，
所以,，解得, .
所以 .
返回
7.已知，，则是 的_____倍.
100
【点拨】因为，， 是8.73的10倍，
所以是 的100倍.
返回
性质2 立方根的性质
8.先阅读材料，再解答问题.
因为， ，
所以 .
因为， ，
所以 .
因为， ，
所以 .
…
因为 ___， ___，
所以____ ___.
（1）完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方
根的关系为____；
; ; ; 互为相反数
（2）计算 的值.
【解】
.
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性质3 实数的性质
9. [2024江门期末] 实数1，0，， 中，最大的数是
( )
C
A. 1 B. 0 C. D.
返回
10.[2024赣州期末] 如图，表示实数的点为，表示实数 的
点为 .请解答下列问题：
（1）若，则的相反数为_________， 的绝对
值为_________；
（2）若， .
①点到点 的距离为_________；
②若点是线段的中点，则点 表示的数为_______.
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11.已知的算术平方根是5，的平方根是，
是的整数部分，则 的平方根为_____.
【点拨】因为 的算术平方根是5，
所以，解得 .
因为的平方根是 ，
所以，解得 .
因为是的整数部分，而，所以 .
所以 .
所以的平方根为 .
返回
考点4 一种运算——实数混合运算
12.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
【解】原式
.
返回
考点5 一个技巧——比较实数大小的技巧
13.（1）比较与 的大小；
【解】因为 ，
所以.所以 .
因为，所以 .
所以.所以 .
（2）比较与 的大小.
【解】因为， ，
所以， .
所以 .
返回
考点6 两种思想
思想1 数形结合思想
14. [2024邵阳阶段练习] 如图，已知数轴上的点，，，， 分
别表示数0，，1，2，3，则表示数的点 应落在线段 ( )
B
A. 上 B. 上
C. 上 D. 上
【点拨】因为，所以 .
由数轴可知表示的点应落在线段 上.
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思想2 分类讨论思想
15.比较，， 的大小.
【解】当时， ;
当时， ;
当时， .
要比较，，的大小，必须知道 的取值范围，
由知，由知，综合得 ，此时仍无法直接
比较，因此可将的取值范围分为； ；
三种情况进行讨论.
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