北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第三节《正方形的性质与判定》课时练习

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北师大版数学九年级上册第一章
第三节正方形的性质与判定课时练习
一、单选题（共15题）
1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
答案：C
解析：解答：解：A.不正确，菱形的对角线不相等；
B.不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C.正确，三者均具有此性质；
D.不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
分析:对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质
2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BF B．AE⊥BF
C．AO=OE D．S△AOB=S四边形DEOF
答案：C
解析：解答: A.∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵CE=DF，
∴AF=DE，
∵∠D=∠BAF=90°，
∴△BAF≌△ADE，
∴AE=BF，
故此选项正确；
B.∵△BAF≌△ADE，
∴∠BFA=∠AED，
∵∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BFA+∠EAD=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF，
故此选项正确；
C.连接BE，
假设AO=OE，
∵BF⊥AE，
∴∠AOB=∠BOE=90°，
∵BO=BO，
∴△ABO≌△EBO，
∴AB=BE，
又∵AB=BC，
BC＜BE，
∴AB不可能等于BE，
∴假设AO=OE，不成立，即AO≠OE，
故此选项错误；
D.∵△BAF≌△ADE，
∴S △BAF=S △ADE，
∴S △BAF -S △AOF=S △ADE-S △AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，故此选项正确．
故选C．
分析: 首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE=BF，进而得出∠BFA+∠EAD=90°，即AE⊥BF，用反证法证明AO≠EO，利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
答案：D
解析：解答: 正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；
故选：D．
分析: 根据正方形和菱形的性质容易得出结论
4.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为1，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:D
解析：解答:连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2∴OD=
∴直线l∥AC并且到D的距离为1，
同理，在点D的另一侧还有直线满足条件，
故共有4条直线l．
故选：D．
分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答
5.若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　）
A．100 B．20 C．10 D．10
答案:C
解析：解答: ∵正方形的周长为40，
∴正方形的边长为10，
∴对角线长为10
故选C．
分析: 根据正方形的周长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形对角线的长求出．
6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
答案:B
解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
分析:根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可
7. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（　　）
A．114 B．124 C．134 D．144
答案:A
解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AB=BC=AD，
设AB=BC=AD=x，
则DE=x-7，
∵CD2+DE2=CE2，
∴x2+（x-7）2=132，
解得：x=12，或x=-5（不合题意，舍去），
∴BC=AB=12，
∴阴影部分的面积=（AE+BC） AB=×（7+12）×12=114；
故选：A．
分析: 本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键
8.如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．22.5° C．15° D．45°
答案:B
解析：解答: ∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，
故选B．
分析: 由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案．
9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
答案:D
解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAS=90°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-150°）=15°，
∴∠DFE=∠AFB=90°-15°=75°，
故选D．
分析: 根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAS=90°，根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，求出∠BAE=150°，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15°，求出∠AFB即可
10.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（　　）
A．5个 B．12个 C．9个 D．15个
答案:B
解析：解答: 在四条边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；
在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；
共有8+4=12个点满足条件．
故选：B．
分析: 在四条边垂直平分线上，每一条可以找到两个点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；在两条对角线上，每一条可以找出2个点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；由此得出共有8+4=12个点满足条件
11.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：
①GM⊥CM；
②CD=CM；
③四边形MFCG为等腰梯形；
④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
答案:A
解析：解答: ∵由已知，AG∥FC且AG=FC，
故四边形AGCF为平行四边形，
∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，
可知∠ADE=∠BAF
∴DE⊥AF，DE⊥CG．
又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，
可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．
又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．
故选A．
分析:要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可
12.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论：①BE=AF；②∠DAF=∠BEC；③∠AFB+∠BEC=90°；④AF⊥BE中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④
答案:D
解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC，
∵BF=CE，
∴△ABF≌△BCE．
∴AF=BE．（①正确）
∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC，（③错误）
∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠DAF=∠BEC．（②正确）
∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CBE+∠AFB=90°，
∴AF⊥BE．（④正确）
所以正确的是①②④．
故选D．
分析:分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解
13.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:B
解析：如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2
∴OD=
∴直线l∥AC并且到D的距离为
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
故选：B．
分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．
14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
答案:A
解析：解答：A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
分析:本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断
15.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
答案:B
解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AE=AB=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
即∠BED=135°，
∴∠BEF=180°-135°=45°．
故选：B．
分析: 由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF
二、填空题（共5题）
16.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形
答案: AB=AD
解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，
∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．
故答案为：AB=AD．
分析: 由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案
17.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是
_________（只填写序号）
答案: ②③或①④
解析：解答: 有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______
答案: 答案不唯一如：AB=BC，或AC⊥BD等
解析：解答: 由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，
若使AB=AC．可进一步确定其为正方形，
故答案为：AB=AC．
分析: 要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB=AC，即可满足题意
19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________
①BC=AC； ②CF⊥BF； ③BD=DF； ④AC=BF．
答案：①②③
解析：解答：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当①BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项①正确；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．
故答案为：①②③．
分析: 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可
20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有_________（只填写序号）
答案：①②③④
解析：解答：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，故②正确；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，
∴若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．
故答案为：①②③④．
分析: 分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可
三、解答题（共5题）
21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
答案：（1）四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
答案：（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，
由（1）知CE=AB，∴AC=CE
又四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
答案：解答：（3）四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形
解析：
分析: 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中根据特殊角的正弦函数值求∠B的度数是解题的关键
22. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
答案: 解答：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件
答案: （2） AC⊥BD
解析：
（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD
分析：（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90°，即可得出答案；
（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案
23.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形
答案：见解答
解析：解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
分析:本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强
24.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1） 求证：BE=CE．
答案：解答：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中
AB＝CD
∠BAE＝∠CDE
AE＝DE
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）求∠BEC的度数
答案：∠BEC=30°
解析： 解答：
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°-15°×2=30°
分析: 本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．
25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
答案：解答：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
CB＝CA
∠BCD＝∠ACE
CD＝CE
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形
答案：解答: （2）证明：∵点D为AB中点，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形
解析：
分析: 此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠ACE是解题关键
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