8.1.2 三角形的内角和与外角和 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
8.1.2 三角形的内角和与外角和
第8章 三角形
华东师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数;
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.
我会从教学目标、教学重难点、教学方法等方面入手，为你撰写一份完整的教案。
# 一元一次方程教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解一元一次方程的概念，能准确识别一元一次方程。
- 掌握一元一次方程的解法，能熟练求解简单的一元一次方程。
2. 过程与方法目标
- 通过观察、分析、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
- 经历从实际问题中建立一元一次方程模型的过程，体会方程是解决实际问题的重要数学工具。
3. 情感态度与价值观目标
- 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
## 二、教学重难点
1. **重点**
- 一元一次方程的概念和方程的解的概念。
- 一元一次方程的解法，特别是移项法则的应用。
2. **难点**
- 从实际问题中抽象出一元一次方程模型，找出等量关系。
- 正确理解和运用移项法则解方程。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
1. **导入新课（5分钟）**
- 通过展示生活中的实际问题，如购物打折、行程问题等，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题，从而引出方程的概念。
2. **讲授新课（25分钟）**
- 一元一次方程的概念
- 展示一些方程，让学生观察它们的特点，引导学生归纳出一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 方程的解的概念
- 给出一些方程，让学生尝试代入不同的值，看哪个值能使方程左右两边相等，从而引出方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
- 一元一次方程的解法
- 以简单的一元一次方程为例，如2x + 3 = 7，讲解移项法则：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。通过移项将方程化为ax = b（a≠0）的形式，然后求解x = b/a。
3. **课堂练习（15分钟）**
- 给出一些一元一次方程，让学生进行练习，巩固所学的解法。教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
4. **课堂小结（5分钟）**
- 与学生一起回顾本节课所学的内容，包括一元一次方程的概念、方程的解的概念以及一元一次方程的解法。
5. **布置作业（5分钟）**
- 布置适量的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
## 五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极参与课堂活动，通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣。在讲解一元一次方程的解法时，要注重步骤的规范性和逻辑性，让学生理解每一步的依据。同时，要关注学生的练习情况，及时反馈和纠正学生的错误，确保学生掌握一元一次方程的解法。
这份教案你觉得怎么样？如果你对教学过程中的某个环节还有更具体的要求，比如导入新课的实际问题、课堂练习的题目类型等，都可以告诉我。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观察与思考
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.
知识点1 三角形的内角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
C E
A
B
1
2
3
D
解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行）
∵CD //BA,
∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
由此得到：
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
三角形的内角和等于180°.
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
∴3x＝99，x＋15＝48.
答： ∠A，∠B，∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解:由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
问题1　如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？
A
B
C
知识点2 直角三角形的两锐角互余
由三角形的内角和等于180°，得
∠A+∠B+∠C=180°.
由此可以推出
∠A+∠B=180°∠C=90°，
即∠A与∠B互余.
应用格式：
在直角三角形ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.
归纳 直角三角形的两个锐角互余．
例3 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数.
（
1
65°(
A
B D C
解 在Rt△ABD中
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B=90°-∠1（等式性质）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
问题1　如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
知识点3 三角形的外角的性质
∵∠ACD+∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACD =180°-∠ACB，∠A +∠B =180°-∠ACB.
∴∠ACD =∠A +∠B.
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例4 如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：∵∠B+∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD-∠B，
∴∠C=100°-30°=70°.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
（
4
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，∠1+∠2+∠3
就是△ABC的外角和.
问题2　如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：在图中，有
∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°，
∠3+∠ABC=180°，
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，
而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
由此可知，三角形的外角和等于360°.
∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
A
B D C
例5 如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数.
解 （1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°（三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B=∠BAD（已知）,
∠B=80°×=40°（等量代换）.
A
B D C
（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）.
又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），
∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）.
规律总结 在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补.
1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，∠C= 76°，则∠DAC的度数为________.
34°
1. 如图，已知是的 边延长线上一
点，且满足 ， ，则 的度数为
( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，，为 的两个
外角， ， ，
则 的邻补角是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 如图，，， 的大小关系是( )
B
（第3题）
A. B.
C. D.
无法确定三个角存在的外角与内角的关系导致判断
错误.
返回
（第4题）
4. 一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，
看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：
“李明，我考考你，若这个人字架中的
，你能求出比 大多少
吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案
是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. [2024北京朝阳区期中] 一副三角板按
如图所示摆放，其中，图中 的
度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.[2024柳州期中] 如图，在 中，
，分别是，上的点，点在
的延长线上，， ，
，则 ______.
返回
7.如图，已知 ， ，且
.若 ，求 的度数.
【解】延长交于点 ，如图.
， ，
.
.
，是 的外角，
.
返回
（第8题）
8. [2024郑州期末] 如图，在
中，，为边 上的动点
（不与点，重合），点在边 上，
始终保持.当 的度
数每增加 时， 的度数( )
C
A. 增加 B. 减小 C. 增加 D. 减小
（第8题）
【点拨】
，
， ，
.
又， .
当的度数每增加 时，
的度数增加 .
返回
（第9题）
9. 如图，已知 ，
，是上的一点，连结 ，
将沿所在直线折叠，点 落在
点处，连结,.若 ，
，则
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】如图，延长交 于点
， .由折叠的性
质可知 .
. ,
.又, ,
.
.
，
.
. .
. .
故选D.
返回
（第10题）
10. 如图是可调躺椅示意图，
与的交点为， ，
， .为了舒适，需调
整大小，使 ，且
，，保持不变，则图中 应
调整为____ .
50
【点拨】如图，延长交于点 ，
， ，
.
.
， ，
.
又 ， ， ，
即应调整为 .
返回
（第11题）
11.如图，是中 的平分线，
是的外角 的平分线，如果
， ，则
____.
（第11题）
【点拨】是中 的平分线，
是的外角 的平分线，
， ，
，
.
，
.
内角和
三角形的内角和与外角和
三角形内角和等于180°
直角三角形两锐角互余
外角
1.外角的性质
2.三角形的外角和
谢谢观看！