第三单元专项练习07：八种问题其三圆柱与圆锥的关系问题（含解析）-2024-2025学年六年级数学下册典型例题（人教版）

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第三单元专项练习07：八种问题其三.圆柱与圆锥的关系问题
一、填空题
1．一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是( )立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是( )。
2．用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的( )。
3．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
4．一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差20立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。一个圆锥的体积是18立方分米，高是6分米，底面积是( )。
5．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去的部分是6立方厘米，原来圆柱的体积是( )立方厘米，削成的圆锥的体积是( )立方厘米。
6．把一个底面直径为12厘米的圆柱形容器装满水，再将水倒入一个与它高度相等的圆锥形容器中，如果圆锥形容器里的水也刚好装满，那么圆锥形容器的底面积是( )平方厘米。
7．如图，一个长方体容器内装有水，已知容器内壁的底面长30厘米，宽20厘米。现把一个圆柱和一个圆锥浸没于水中，水面上升了2厘米，如果圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，圆锥的体积是( )立方厘米。
二、选择题
8．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分与圆柱体积的比是（ ）。
A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3
9．把一段圆柱形木料切削成一个最大的圆锥体，切削掉的正好是，圆锥体的体积是（ ）。
A．12 B．4 C．24 D．16
10．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，已知圆锥的底面积是39平方厘米，那么圆柱的底面积是（ ）平方厘米。
A．39 B．13 C．117 D．156
11．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，如果圆柱的高是圆锥的，那么圆柱的底面积（ ）。
A．等于圆锥底面积 B．是圆锥底面积的 C．是圆锥底面积的3倍
12．在一次科学展览中，一个展品展示了一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是48立方分米。观众们好奇圆柱的体积是（ ）立方分米。
A．36 B．24 C．12 D．48
13．开心幼儿园开展制作蛋糕亲子活动，装奶油的容器是一个圆锥体，这个圆锥体容器的体积是45立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是（ ）。2-1-c-n-j-y
A．45立方厘米 B．90立方厘米 C．135立方厘米 D．180立方厘米
14．下面说法正确的有（ ）个。
①如果一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面直径等于高。
②在一个扇形统计图中，所有扇形所占百分比加起来一定等于100%。
③圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱和圆锥不一定等底等高。
④底面周长相等、高也相等的长方体、正方体和圆柱，圆柱的体积最大。
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
15．把一根圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，削去的木料体积是48立方厘米。这根圆柱形木料的体积是多少立方厘米？
16．一个圆柱形木料，它的底面周长是15.7厘米，高是4厘米。把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数）
17．李师傅用一个底面半径是2厘米，高是15厘米的圆柱形木料做一个最大的圆锥形木料，应削去多少立方厘米的木料？www.21-cn-jy.com
18．一个圆柱形橡皮泥，底面直径是4厘米，高是6厘米。如果把它捏成底面同样大小的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？21cnjy.com
19．一个圆锥形麦堆的底面半径是2米，高是15米，这个麦堆的体积是多少立方米？与它等底等高的圆柱体积是多少立方米？
20．一个圆柱形水桶，底面直径是2分米，高是3分米。若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），桶里还剩多少升水？
21．一个圆柱体侧面展开后是一个长6.28厘米，宽3厘米的长方形，如果把它削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的底面直径是多少厘米？削去部分的体积是多少？
22．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了水。圆锥的高为12厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.884立方厘米/分。
（1）圆锥里的水漏完需要多少分？
（2）圆锥里的水全部漏到圆柱里，圆柱里水面的高度是多少厘米？
23．积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取21·cn·jy·com
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题号 8 9 10 11 12 13 14
答案 B B B A A C C
1． 10.048 30.144立方厘米/30.144cm3
【分析】已知底面周长是12.56厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据求出底面半径；然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆锥的体积；已知圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，所以用圆锥的体积乘3即可求出与它等底等高的圆柱体积。
【详解】12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
3.14×22×2.4×
＝3.14×4×2.4×
＝10.048（立方厘米）
10.048×3＝30.144（立方厘米）
一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是10.048立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是30.144立方厘米。21教育网
2． 37.68
【分析】分析题目，削成的最大的圆锥和圆柱是等底等高的，即圆锥的底面直径就等于圆柱的底面直径，圆锥的高就等于圆柱的高，据此结合圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据求出圆锥的体积即可；圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的木块的体积是圆柱体积的（1－），据此用除法求出削成最大圆锥的体积是削去木块体积几分之几即可。www-2-1-cnjy-com
【详解】3.14×（4÷2）2×9×
＝3.14×22×9×
＝3.14×4×9×
＝12.56×9×
＝113.04×
＝37.68（cm3）
÷（1－）
＝÷
＝×
＝
用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是37.68cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的。
3． 27 9
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3：1，根据比的意义，把圆柱的体积看作3份，则圆锥体积是1份，圆柱和圆锥的体积之和就是（份），可知圆柱的体积是圆柱和圆锥体积之和的，圆锥的体积是圆柱和圆锥体积之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。
【详解】根据圆柱和圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3∶1。
3＋1＝4
36×＝27（立方厘米）
36×＝9（立方厘米）
等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是27立方厘米，圆锥的体积是9立方厘米。
4． 10 9平方分米
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍，则圆柱的体积就是3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差是圆锥体积的（3－1）倍，由此可以求出圆锥的体积；根据圆锥的体积公式可知：圆锥的底面积＝体积×3÷高，据此代入数据求出圆锥的底面积。
【详解】20÷（3－1）
＝20÷2
＝10（立方厘米）
18×3÷6
＝54÷6
＝9（平方分米）
一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差20立方厘米，这个圆锥体的体积是10立方厘米。一个圆锥的体积是18立方分米，高是6分米，底面积是9平方分米。
5． 9 3
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的，把圆柱的体积看作单位“1”，削成一个最大的圆锥，则削去部分的体积是圆柱的（1－），对应的是削去部分的体积6立方厘米，求单位“1”，用6÷（1－）解答；求削成的圆锥的体积，用圆柱的体积－6立方厘米，即可解答。
【详解】6÷（1－）
＝6÷
＝6×
＝9（立方厘米）
9－6＝3（立方厘米）
把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去的部分是6立方厘米，原来圆柱的体积是9立方厘米，削成的圆锥的体积是3立方厘米。
6．339.12
【分析】将圆柱形容器装满水倒入圆锥形容器中，水刚好装满，说明圆柱的体积等于圆锥的体积。由于圆锥和圆柱的高度相等，根据体积公式可知，圆柱的底面积是圆锥底面积的，根据圆柱的底面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积，进而求出圆锥的底面积。
【详解】3.14×（12÷2）2
＝3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方厘米）
113.04×3＝339.12（平方厘米）
那么圆锥形容器的底面积是339.12平方厘米。
7．300
【分析】根据题意，将圆柱和圆锥浸没在水中后，水面上升了2厘米，上升的这部分水的体积就等于圆柱和圆锥的体积之和。由于这部分水的形状为长方体，其底面是长方体容器的底面，长30厘米，宽20厘米，高2厘米，根据长方体体积公式V＝abh（其中V为长方体体积，a为长，b为宽，h为高），可得上升的水的体积（即圆柱与圆锥体积之和）： 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积之和就是1＋3＝4份。用圆柱和圆锥的体积之和除以4求出１份是多少立方厘米，也就是圆锥的体积。
【详解】30×20×2
＝600×2
＝1200（立方厘米）
1200÷（1＋3）
＝1200÷4
＝300（立方厘米）
所以圆锥的体积是300立方厘米。
8．B
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1，则圆柱体积是3，削去部分的体积是（3－1），两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出削去部分与圆柱体积的比即可。21世纪教育网版权所有
【详解】（3－1）∶3＝2∶3
削去部分与圆柱体积的比是2∶3。
故答案为：B
9．B
【分析】把一段圆柱形木料切削成一个最大的圆锥体，则该圆锥体的底面圆面积和圆柱底面圆面积一样且高相等，根据相同底面圆面积且等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍可知，削掉部分占圆柱体积的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用即可计算出圆柱的体积，用圆柱的体积减去削掉的部分体积即是圆锥的体积。据此计算。
【详解】
则圆锥体的体积是。
故答案为：B
10．B
【分析】根据圆柱的体积：V＝sh，圆锥的体积V＝sh，当圆柱与圆锥的体积相等，高也相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答即可。2·1·c·n·j·y
【详解】（平方厘米）
圆柱的底面积是13平方厘米。
故答案为：B
11．A
【分析】假设圆柱和圆锥的体积都是36立方厘米，圆锥的高是9厘米，则圆柱的高是（9×）厘米，根据圆柱的底面积＝体积÷高，圆锥的底面积＝体积×3÷高，分别计算出圆柱和圆锥的底面积，比较即可。【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】假设圆柱和圆锥的体积都是36立方厘米，圆锥的高是9厘米。
圆柱的高：9×＝3（厘米）
圆柱的底面积：36÷3＝12（平方厘米）
圆锥的底面积：36×3÷9＝12（平方厘米）
圆柱的底面积等于圆锥底面积。
故答案为：A
12．A
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，设圆柱的体积是x立方分米，则圆锥的体积是x立方分米，圆柱的体积＋圆锥的体积＝48立方分米，列方程：x＋x＝48，解方程，即可解答。21·世纪*教育网
【详解】解：设圆柱的体积是x立方分米，则圆锥的体积是x立方分米。
x＋x＝48
x＝48
x＝48÷
x＝48×
x＝36
在一次科学展览中，一个展品展示了一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是48立方分米。观众们好奇圆柱的体积是36立方分米。【出处：21教育名师】
故答案为：A
13．C
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，可知圆柱和圆锥的体积关系：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，据此解答。
【详解】45×3＝135（立方厘米）
这个圆锥体容器的体积是45立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是135立方厘米。
故答案为：C
14．C
【分析】
①圆柱的侧面展开后，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高；
②扇形统计图中用整个圆表示总数量100%，圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分比；
③当圆锥和圆柱等底等高时，圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，但圆锥的体积等于圆柱体积的时，它们不一定等底等高，举例说明即可；
④周长相等的平面图形中，图形越接近圆形面积越大，则圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积，再利用“底面积×高”比较它们体积的大小关系，据此解答。21教育名师原创作品
【详解】①如果一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面周长等于高，题目说法错误；
②在一个扇形统计图中，所有扇形所占百分比加起来一定等于100%，题目说法正确；
③假设圆锥的底面积为9，高为2，圆锥的体积为；假设圆柱的底面积为2，高为9，圆柱的体积为2×9＝18，圆锥的体积÷圆柱的体积＝6÷18＝，所以圆锥的体积等于圆柱体积的，圆柱和圆锥不一定等底等高，题目说法正确；
④长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，它们的高相等，圆柱的底面积＞正方体的底面积＞长方体的底面积，则圆柱的体积＞正方体的体积＞长方体的体积，圆柱的体积最大，题目说法正确。
综上所述，说法正确的有②③④，一共3个。
故答案为：C
15．72立方厘米
【分析】把一根圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，说明圆柱和圆锥等底等高，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，则消去部分的体积占圆柱形木料的（1－），对应的是48立方厘米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此用48÷（1－）列式计算即可解答。
【详解】48÷（1－）
＝48÷
＝48×
＝72（立方厘米）
答：这根圆柱形木料的体积是72立方厘米。
16．26.17立方厘米
【分析】已知圆柱形木料的底面周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；
把这个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥与圆柱等底等高；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出它的体积，得数根据“四舍五入”法保留两位小数。
【详解】底面半径：15.7÷3.14÷2＝2.5（厘米）
3.14×2.52×4×
＝3.14×6.25×4×
＝78.5×
≈26.17（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是26.17立方厘米。
17．125.6立方厘米
【分析】做成的最大圆锥形木料与圆柱形木料等底等高，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆柱体积－圆锥体积＝削去的体积，据此列式解答。
【详解】3.14×22×15－3.14×22×15÷3
＝3.14×4×15－3.14×4×15÷3
＝3.14×4×（15－15÷3）
＝12.56×（15－5）
＝12.56×10
＝125.6（立方厘米）
答：应削去125.6立方厘米的木料。
18．18厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成底面同样大小的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等体积等底面积；
根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆锥和圆柱等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。【版权所有：21教育】
【详解】6×3＝18（厘米）
答：这个圆锥的高是18厘米。
19．62.8立方米；188.4立方米
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出麦堆的体积；等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式解答。
【详解】3.14×22×15÷3
＝3.14×4×15÷3
＝12.56×15÷3
＝62.8（立方米）
62.8×3＝188.4（立方米）
答：这个麦堆的体积是62.8立方米，与它等底等高的圆柱体积是188.4立方米。
20．6.28升
【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出原来水的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的，将原来水的体积看作单位“1”，放入等底等高的圆锥形铁块，桶里剩下的水是原来的（1－），原来水的体积×（1－）＝剩下水的体积，据此列式解答。
【详解】3.14×（2÷2）2×3×（1－）
＝3.14×12×3×
＝3.14×1×3×
＝6.28（立方分米）
＝6.28（升）
答：桶里还剩6.28升水。
21．2厘米；6.28立方厘米
【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，将圆柱削成最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的，底面直径＝底面周长÷圆周率÷2，削去部分的体积＝圆柱体积×，圆柱体积＝底面积×高，据此列式解答。
【详解】6.28÷3.14＝2（厘米）
3.14×（2÷2）2×3×
＝3.14×12×3×
＝9.42×
＝6.28（立方厘米）
答：这个圆锥的底面直径是2厘米，削去部分的体积是6.28立方厘米。
22．（1）60分
（2）4厘米
【分析】（1）圆锥的体积＝底面积×高，据此求出水的体积，再用水的体积除以水的流速，求出水漏完需要的时间；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，则圆柱内水的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详解】（1）
（分）
答：圆锥里的水漏完需要60分。
（2）12（厘米）
答：圆柱里水面的高度是4厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式。
23．301.44立方厘米
【分析】把这个圆柱削成一个等底等高的圆锥形，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。21*cnjy*com
【详解】
（立方厘米）
答：加工制作过程中削去木料的体积是301.44立方厘米。
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