北师大版数学九年级上册第三章第8节《图形的位似》课时练习

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
北师大版数学九年级上册第3章第8节图形的位似同步检测
一、选择题
1．如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A．1：8
B．1：6
C．1：4
D．1：2
答案：C
解析：解答：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．
故选：C．
分析：先由已知条件及位似图形的性质，得AC∥DF，求得AC：DF=OA：OD=1：2，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得△ABC与△DEF的面积比．掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
2．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）
A．（-，0）
B．（-1.5，-1.5）
C．（-，-）
D．（-2，-2）
答案：C
解析：解答：∵正方形OABC，点A的坐标为（1，0），
∴B点坐标为：（1，1），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴E点的坐标为：（-，-）．
故选：C．
分析：首先利用正方形的性质得出B点坐标，然后利用位似图形的性质，将B点横纵坐标都乘以-得出答案． 此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，得出E点与B点坐标关系是解题的关键．
3．已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，图像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（　　）
A．（1，）
B．（4，2）
C．（1，）或（-1，-）
D．（4，2）或（-4，-2）
答案：D
解析：解答：如图，
则点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故选：D．
分析：先由已知条件画出符合条件的两个图形，再根据图中点的位置写出坐标．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
4．如图，在3×3正方形网格中，顶点是网格线的交点的三角形叫做格点三角形，给出下列命题：
①一定存在全等的两个格点三角形
②一定存在相似且不全等的两个格点三角形
③一定存在两个格点三角形是位似图形
④一定存在周长和面积均为无理数的格点三角形
其中真命题的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
答案：B
解析：解答：根据题意，得
如图所示：
△FBG≌△AFH，①正确；
△ABC∽△FBC，但两者不全等，②正确；
△ABC与△DBE位似，③正确；
因为可以得到格点三角形两直角边长为整数，所以面积无法得到是无理数的格点三角形，④错误；
故选：B．
分析：根据题意，先在图中作出三角形，再分析得到答案．此题考查了位似、全等、相似的相关知识，注意三者的区别与联系．
5．下列语句正确的是（　　）
A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比
C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形
D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形
答案：B
解析：解答：相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误．
故选：B．
分析：如果相似图形的对应点的连线都经过同一点，那么这两个图形是位似图形，并且位似比等于相似比，也能扩大原有图形，也能缩小原有图形．相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形．
6．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（　　）
A．（2，5）
B．（2.5，5）
C．（3，5）
D．（3，6）
答案：B
解析：解答：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
分析：利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．解答此题的关键是正确把握位似比与对应点坐标的关系．
7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，2）
B．（1，1）
C．（-，-）
D．（2，1）
答案：B
解析：解答：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为（1，1）．
故选：B．
分析：先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似求得答案．若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，ky）．
8．已知△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．3：4
B．3：7
C．9：16
D．9：49
答案：C
解析：解答：∵△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，
∴根据位似图形的性质，得△ABC与△DEF的位似比为：3：4，△ABC∽△DEF，
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为9：16．
故选：C．
分析：由△ABC与△DEF是关于点P的位似图形，它们的对应点到P点的距离分别为3cm和4cm，得△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得△ABC与△DEF的面积比．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
9．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　）
A．1：6
B．1：5
C．1：4
D．1：2
答案：C
解析：解答：∵△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴两图形的位似之比为1：2，
则△DEF与△ABC的面积比是1：4．
故选：C．
分析：根据两三角形为位似图形，且点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方求出面积之比．熟练掌握：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
10．下列说法中正确的是（　　）
A．位似图形可以通过平移而相互得到
B．位似图形的对应边平行且相等
C．位似图形的位似中心不只有一个
D．位似中心到对应点的距离之比都相等
答案：D
解析：解答：∵位似是相似的特殊形式，
∴位似图形的对应边平行但不一定相等，
位似图形的位似中心只有一个，
平移图形是全等图形，也没有位似中心．
位似中心到对应点的距离之比都相等
∴正确答案为D．
故选：D．
分析：根据性质可知，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应边平行但不一定相等，位似图形的位似中心只有一个，平移图形是全等图形，也没有位似中心．位似中心到对应点的距离之比都相等，由此得到正确答案．
11．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是（　　）
A．2DE=3MN
B．3DE=2MN
C．3∠A=2∠F
D．2∠A=3∠F
答案：B
解析：解答：∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似，
∴DE：MN=AB：FG=2：3，
∴3DE=2MN．
故选：B．
分析：位似是特殊的相似，相似图形对应边的比相等．根据相似多边形对应边成比例得出DE：MN=2：3即可求解．
12．已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为（　　）
A．（2，-1）或（-2，1）
B．（8，-4）或（-8，4）
C．（2，-1）
D．（8，-4）
答案：A
解析：解答：∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选：A．
分析：注意位似的两种位置关系，利用位似比为1：2，可求得点E的对应点的坐标为（2，-1）或（-2，1）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
13．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点，，．下列说法正确的是（　　）
A．△与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△与△ABC不是相似图形
答案：B
解析：解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点，，的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=-x，y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=-x，y=0，可知△与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
14．下列3个图形中是位似图形的有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：C
解析：解答：根据位似图形的定义可知：
两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），
所以位似图形的是第1个和第3个．
故选：C．
分析：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．正确掌握位似图形的定义是解答此题的关键．
15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（ ）
A．（-1.4，-1.4）
B．（1.4，1.4）
C．（-，-）
D．（，）
答案：D
解析：解答：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（0，1），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：D．
分析：根据题意可得OA：OD=1：，由点A的坐标为（1，0），可求得OD的长，再由正方形的性质，可求得E点的坐标．此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），（6，2）．
若△ABC的面积为m，则△的面积（用含m的代数式表示）是
答案：4m
解析：解答：∵△ABC与△的相似比为1:2
∴，∴
∴
故答案为：4m．
分析：利用位似是特殊的相似，利用面积比等于位似比的平方得出即可．此题考查位似变换；坐标与图形性质；相似三角形的性质．
17．如图，已知E（-4，2），F（-1，-1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点的坐标为
答案：（2，-1）
解析：解答：根据题意可知，点E的对应点的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以，
所以点的坐标为（2，-1）．
故答案为：（2，-1）．
分析：以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO缩小，结合图形得出，则点E的对应点的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以，而得到的点的坐标为（2，-1）．关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．
18．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△的面积是
答案：12
解析：解答：∵△ABC与△是位似图形，且△ABC与△的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△的面积比为：1：4，
则△的面积是：12．
故答案为：12．
分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出答案．此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解答此题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为
答案：（4，4）
解析：解答：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，
∴可得F点位置如图所示：
故P点坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）
分析：根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．此题考查位似的定义，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点就是位似中心．
20．如图，已知两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1：3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是
（2，1）或（-2，-1）
答案：（2，1）或（-2，-1）
解析：解答：如图所示：
∵A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，
∴、的坐标分别是（2，1），（-2，-1）．
故答案为：（2，1）或（-2，-1）．
分析：易得线段AB垂直于x轴，根据所给相似比把各坐标都除以3或-3即可．此题主要考查了位似图形变换，用到的知识点为：各点到位似中心的距离比也等于相似比．
三、解答题
21．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1．
求△ABC与△A′B′C′的面积比．
答案：
解析：解答：∵由已知条件可知∽
∴．
分析：已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1，根据位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方计算求解．
22．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映的银幕规格为2m×2m，若影机的光源距胶片20cm时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个银幕？
答案：m
解析：解答：如图，O为位似中心，先计算位似比K=．
设银幕距镜头xcm，则
，
解得：x=．
答：银幕应在离镜头m，放映的图象刚好布满整个银幕．
分析：由题意可知此题可以利用位似知识来解答，先根据胶片和银幕边之比，求出位似比，再借助位似比求得问题的答案．
23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，2）、B（-3，0）、C（0，0）
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点的坐标；
答案：（-1，-2）
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并求出的面积；
答案：12
解析：解答：（1）∵点A的坐标为（-1，2），
∴点A关于x轴对称的点的横坐标为-1，纵坐标为-2，
∴点的坐标为（-1，-2）；
（2）的面积=×6×4=12．
分析：（1）已知点A的坐标，点A的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，即得点的坐标；（2）连接AC延长到使=2AC，延长BC到，使=2BC，点的对应点为C，顺次连接各点即可；的面积=×底边×高．
24．如图，四边形ABCD和四边形位似，位似比=2，四边形A′B′C′D′和四边形位似，位似比=1．四边形和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
答案：是位似图形｜位似比为
解析：解答：∵四边形ABCD和四边形位似，
∴四边形ABCD∽四边形．
∵四边形和四边形位似，
∴四边形∽四边形．
∴四边形∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，
∴四边形和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形位似，位似比=2，
四边形和四边形位似，位似比=1，
∴四边形和四边形ABCD的位似比为．
分析：此题考查位似图形的判定方法与性质．因为位似图形是特殊的相似图形，四边形和四边形ABCD位似，所以四边形∽四边形ABCD；相似具有传递性，可得四边形∽四边形ABCD；因为位似比等于相似比，所以求得四边形和四边形ABCD的位似比．
25．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是2，求点B的横坐标．
答案： 2.5
解析：解答：过点B、分别作BD⊥x轴于D，⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠=90°．
∵△ABC的位似图形是，
∴点B、C、在一条直线上，
∴∠BCD=∠，
∴△BCD∽△．
∴，
又∵，
∴，
又∵点的横坐标是2，点C的坐标是（-1，0），
∴CE=3，
∴CD＝1.5．
∴OD＝2.5，
∴点B的横坐标为 2.5．
分析：过B和向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给的横坐标即可求得点B的横坐标．难点是利用对应点向x轴引垂线构造相似三角形，关键是利用相似比解决问题．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网