北师大数学八下第一章三角形的证明小测试（含解析）

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第一章三角形的证明小测试
时间45分钟 满分120分
班级 姓名 编号
一．选择题（每小题8分，共48分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（ ）
1题图 2题图 3题图 4题图 5题图
A．16 B．12 C．10 D．8
2．如图，∠D＝∠E＝∠ACB＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件有（　　）
①∠ABC＝45°；②AD＝CE；③AC＝2AD；④CD＝BE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　）
A．40° B．20° C．30° D．15°
5．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
6．如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
二．填空题（每小题9分，共36分）
7．（2024秋 襄城县期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 　．
8．（2025 东台市开学）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 　 　．
6题图 7题图 8题图 9题图 10题图
9．（2024秋 太仓市期末）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A在直线l1上，l2与△ABC的两边AC、BC相交．若∠1＝138°，则∠2的度数为 　 　．
10．（2024秋 白云区期末）如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　 　米．
三．解答题（共36分）
11．如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AB∥CD；（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长．
11题图 12题图 13题图
12．（2024秋 连云港期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
13．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
第一章三角形的证明小测试
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题8分，共48分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C B C B
1．（2024秋 天门期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，
∴AB＝2BC＝16，∠B＝60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴AD＝AB﹣BD＝12，
故选：B．
2．（2024秋 昭阳区期末）如图，∠D＝∠E＝∠ACB＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件有（　　）
①∠ABC＝45°；
②AD＝CE；
③AC＝2AD；
④CD＝BE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：根据三角形全等的判定条件“AAS、ASA”，
∴①∠ABC＝45°，②AD＝CE和④CD＝BE满足定理“AAS和ASA”，
综上所述，正确的有①②和④，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
3．（2025 碑林区校级开学）如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13，
∵AB＝5，
∴AC＝8．
故选：C．
4．（2024秋 盐田区校级期末）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E在AD上，CE交BD于点F，AE＝EC，若∠CBD＝2∠DCE，则∠DCE的度数为（　　）
A．40° B．20° C．30° D．15°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，
由条件可知AB＝AD，∠BAD＝∠ADB＝60°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，AC垂直平分BD，
∴∠ACE∠BAD＝30°，
∴∠ACE＝∠EAC＝30°，
∴∠DEF＝∠ACE+∠EAC＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠DFE＝60°，
∴∠CDB＝2∠DCE，
∵∠CDF+∠DCE＝∠DFE＝60°，
∴2∠DCE+∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝20°，
故选：B．
5．（2025 秦都区校级一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝2AE，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
6．（2024秋 遵义期末）如图，已知∠AOB＝50°，点C，D分别在OA，OB上，OC＝OD．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在OA上，以E为圆心，EO为半径画弧，交射线OP于点F，连接EF．则∠EFO的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【答案】B
【解答】解：由题意可知：OP平分∠AOB，∠AOB＝50°，
∴，
∵EF＝EO，
∴∠AOF＝∠EFO＝25°，
所以∠EFO的度数为25°，
故选：B．
二．填空题（每小题9分，共36分）
7．（2024秋 襄城县期末）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　BC＝FE　．
【答案】BC＝FE．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
故答案为：BC＝FE．
8．（2025 东台市开学）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 　15　．
【答案】15．
【解答】解：由条件可知∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，
∴BD＝DO，CE＝EO，
∴△ADE的周长为AD+DO+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝9+6＝15，
故答案为：15．
9．（2024秋 太仓市期末）如图，l1∥l2，等边△ABC的顶点A在直线l1上，l2与△ABC的两边AC、BC相交．若∠1＝138°，则∠2的度数为 　102°　．
【答案】102°．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝138°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝42°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠4＝∠C+∠3＝60°+42°＝102°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝102°．
故答案为：102°．
10．（2024秋 白云区期末）如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，那么MN的长是　1.6　米．
【答案】1.6．
【解答】解：有一个长为1.6米的梯子斜靠在墙上，倾斜角分别为75°，45°，
结合图形得：∠ACM＝75°，∠BCN＝45°，CM＝1.6米，
∴∠MCN＝180°﹣∠ACM﹣∠BCN＝60°，
∵CM＝CN，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN＝CM＝1.6米，
故答案为：1.6．
三．解答题（共36分）
11．（2024秋 吉安县期末）如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠DCA＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠E，
∴，
∴∠CAE＝90°，
∵AE＝5，AC＝12，
∴CE13．
12．（2024秋 连云港期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
13．（2024秋 兴庆区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
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