模型7 “角平分线”模型（含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型7 “角平分线”模型
基础模型
图示
条件 OP 平分∠MON,点 A 为OM上一点,PA⊥OM OP 平分∠MON,点 A 为OM上一点 OP 平分 ∠MON,点 A 为OM 上一点,AP⊥OP
作法 过点P作PB⊥ON于点B 在ON上截取 OB=OA,连接 PB 延长AP交ON于点B
结论 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB
结论分析
作法1 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB
证明:如图①,过点 P作 PB⊥ON于点 B,
∴ ∠OAP=∠OBP=90°.
∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP,
在△AOP 和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(AAS)(结论1),∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).
作法2 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB
自主证明:如图②,在ON上截取OB=OA,连接PB.
作法3 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB
自主证明:如图③,延长AP 交 ON 于点 B.
模型拓展
拓展方向：角平分线+平行线构造等腰三角形
图示
条件 OP平分∠MON
作法 过点 P作PQ∥ON交OM于点Q 过点 Q作OP的平行线交NO 的延长线于点 R
结论 1. OQ=PQ;2. ∠QOP=∠QPO 1.
模型解题三步法
例1 如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,过点 D作DE⊥AC于点 E.若BD=3,CD=5,则△CDE的面积为 .
例2 如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则BD 的长为 .
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题以类解
1. 如图,BH 是∠ABC 的平分线,BD 和 CD 是△ABC 两个外角的平分线,延长 DC 与 BH交于点 H,若∠D = 60°,∠ACB = 65°,则∠HBC的度数为 ( )
A. 27.5° B. 30° C. 32.5° D. 35°
2. 一题多解 如图,∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC,作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 AC 于 点 F,连接 DF,DF 恰好平分∠EFC,过点 D 作 DG⊥AC 于点 G,若 EF=5，则DG的长为 ( )
A. C. 2 D. 6
3. 如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点 A ,∠A BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ，得∠A ,…,∠A BC的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ,则.
4. 如图,在△ABC 中, 若∠AED = 35°,则∠C 的度数为 .
5. 如图,在△ABC中,∠A =120°,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC= ,若BG,CG分别是∠ABC,∠ACB 的外角平分线,则∠G=
模型7 “角平分线”模型
模型展现
作法2 自主证明：
初高教辅站 如图②,∵OP 平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP.
在△AOP 和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(SAS)(结论1),
∴ PA=PB(结论2).
作法3 自主证明：
如图③,∵OP 平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP,
∵AP⊥OP,∴ ∠APO=∠BPO=90°.
在△AOP 和△BOP 中,
∴ △AOP≌△BOP(ASA)(结论1),
∴ PA=PB(结论2),OA=OB(结论3).
模型解题三步法
例 1 6 【解析】∵ AD 平分∠BAC,∠B =∠DEA=90°,根据“角平分线”模型可得:BD = DE = 3, 在 Rt△CDE 中, CE = 3×4=6.
例2 CD ∠ACB BD CD
2 【解析】如解图，延长BD交AC于点E,根据“角平分线”模型得 BC=CE,BD=DE,∵AC=9,BC=5,∴CE=5,∴AE=AC-EC=9-5=4,∵ ∠A=∠ABD,
题以类解
1. B 一题多解
解法一：找模型：是否存在角平分线：BD 平分∠ABC；缺少：过角平分线上一点平行于角一边的线段.构造模型：如解图①，过点 D 作DE∥AB,交 BC 于点 E. 用模型:根据“角平分线”模型可得:BE=DE.设 BE=a,则DE=a, 即 解得
解法二：如解图②，过点 A 作 BD 的平行线交CB的延长线于点 E.∴ ∠CBD=∠E,∠ABD= ∠BAE.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD =∠CBD,∴∠BAE=∠E,∴BE=BA=3(“角平分线”模型)，
2. B 【解析】找模型：是否存在角平分线：BD平分∠ABC.是否存在过角的一边上一点垂直于角平分线的线段.线段 CE.抽离模型：如解图，用模型：延长CE，BA 交于点 F.根据“角平分线”模型可得:CE=EF,∵CE⊥BD,∴ ∠FEB = ∠CEB = 90°. ∵ ∠BAC = 90°,∴∠BAD = ∠CEB, ∵ ∠ADB = ∠EDC,∴∠ABD=∠ACF.又∵ AB =AC,∠BAD =∠CAF=90°,∴ △ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF.∵CE=4,∴BD=2CE=8.
3. B 【解析】如解图,过点 G 作GE⊥AD 于点E,过点 G 作 GF⊥BC 于点 F,∵AD∥BC,∴E,G,F 三点共线,∵ BG,AG 分别平分∠ABC,∠BAD,GH⊥AB,∴GE=GH=5,GF=GH=5(“角平分线”模型),∴EF=5+5=10,即AD 与 BC 之间的距离为10.
4. 【解析】如解图,过点 E作 EF⊥AB 于点F,∵ AE 平分∠DAC,AD⊥CD,∴ ∠DAE =∠FAE, ∠D = ∠AFE = 90°,∵ AE = AE,∴△ADE≌△AFE(AAS)(“角平分线”模型),
【解析】如解图，在AC上截取AD，使AD=AB,连接DI.∵点I是△ABC 的角平分线的交点,∴ ∠BAI = ∠DAI, ∠ABI =∠CBI,∠ACI=∠BCI.在△BAI 和△DAI中,
∴ BI=DI,∠ABI=∠ADI.
∵AB+BI=AC=AD+DC,∴ DC =BI= DI,
∴ ∠ACI=∠DIC.设∠ACI=β,则∠ACB=2β,
∠ABC= 2∠ABI = 2∠ADI = 4∠ACI = 4β.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=α,
6.【问题解决】
证明:∵OC平分∠AOB,∴∠POD=∠POE,
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP,
在△OPD 和△OPE中,
∴△OPD≌△OPE(AAS),
∴PD=PE;
【类比探究】
解:如解图,过点 P 作 PF⊥OA 于点 F,作 PG⊥OB于点 G,
∵ OC 是∠AOB 的平分线,PF⊥OA,PG⊥OB,
∴ PG=PF(“角平分线”模型),∠PGN =∠PFM=90°,
∵ ∠PNO+∠PNG=180°,∠PMO+∠PNO=180°,
∴∠PNG=∠PMO(等角代换),在△PNG和△PMF中,
∴△PNG≌△PMF(AAS),
∴ PN=PM=3.